Il numero di Nepero è trascendente. Parte prima ***

Categorie: Matematica Teoria degli insiemi Scritto da: Umberto Cibien Commenti:0

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Stiamo parlando del numero e, ma purtroppo nel titolo non riesco a d evidenziarlo in nessun modo. Per cui mi affido alla storia, che lo associa a Nepero. In realtà ci sarebbe da ridire su questa affermazione, in quanto altri grandi matematici si sono occupati di questo numero "magico".

La matematica è tutta bella, ma concordo con Gauss che la teoria dei numeri è la regina della matematica. Vediamo come affrontare la trascendenza di e; lo faremo con una dimostrazione dovuta a Hilbert, eminente matematico tedesco che svolse anche una grande attività coordinatrice nella comunità matematica del tempo. Per non parlare degli spazi di Hilbert, base matematica per la meccanica quantistica. La dimostrazione tratterà a fondo delle proprietà di certi integrali. Per comprenderle è necessario conoscere l'integrazione per parti. Non tutti credo conoscono questa tecnica, per cui faccio un breve richiamo. Come di consueto solo chi vuole potrà aprire tale trattazione. Chi pensa di conoscerla bene, può andare pure avanti.Inoltre, per chi è completamente a digiuno, consiglio la lettura degli articoli scritti da Vincenzo sugli integrali, che trovate qui.

Mostra integrali per parti

Quello che ci proponiamo in questa prima parte è di dimostrare che:

$\dpi{120} \int_{0}^{\infty}e^{-t}\cdot t^{n}dt=n!$

qualsiasi sia il numero naturale n.

Questo risultato ci permetterà di affrontare la dimostrazione vera e propria della trascendenza di e. Procediamo dunque per gradi.

La funzione Gamma di eulero.

Non vogliamo fare una trattazione sulla funzione di Eulero, ma servircene con il minimo sforzo per la nostra dimostrazione. Ne riparleremo con calma più avanti. Definiamo tale funzione gamma in questo modo:

$\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}\cdot t^{x-1}dt$ , x>0

Questo a prima vista può sconcertare i non matematici; badare che è una funzione di x, numero reale, mentre l'integrale definito è eseguito usando t come variabile di integrazione sulla semiretta positiva. Vogliamo dimostrare la seguente proprietà di gamma:

Per ogni x > 0 , $\Gamma(x+1)=x\cdot \Gamma(x))$
Ed ecco intervenire subito l'integrazione per parti; essendo gli integrali in dt, per non creare confusione riscrivo la formula usando t come variabile di integrazione:

$\int_{a}^{b} f(t)\cdot g^{'}(t)dt=[f(t)\cdot g(t)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f^{'}(t)\cdot g(t)dt$

L'integrale che dobbiamo calcolare è $\Gamma(x+1)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}\cdot t^{x}dt$

la funzione g'(t) di qui riconosciamo subito la primitiva è $\dpi{120} g'(t)=e^{-t}$ (e tale primitiva é $\dpi{120} g(t)=-e^{-t}$ );

mentre f(t)= $t^{x}$ , $f'(t)=x\cdot t^{x-1}$ (attenzione che la derivazione viene fatta rispetto a t)

per cui l'integrazione per parti ci dà:

$\Gamma(x+1)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}\cdot t^{x}dt=[-t\cdot e^{-t}]_{0}^{\infty}+x\cdot \int_{0}^{\infty}t^{x-1}\cdot e^{-t}dt$

quindi abbiamo due termini; una espressione $[-t\cdot e^{-t}]_{0}^{\infty}$ da valutare e un integrale da calcolare.

Notiamo però subito che $\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}\cdot e^{-t}dt$ pertanto $x\cdot \int_{0}^{\infty}t^{x-1}\cdot e^{-t}dt=x\cdot \Gamma (x)$ .

Il primo termine dobbiamo calcolarlo con un passaggio al limite:

$[-t\cdot e^{-t}]_{0}^{\infty}=lim_{t\rightarrow \infty }-t\cdot e^{-t}-0\cdot e^{0}=0-0=0$

Quindi rimane solo il secondo termine, e pertanto $\Gamma(x+1)=x\cdot \Gamma(x)$ .

Applichiamo questo risultato ai numeri naturali; se vale per x qualsiasi, tale relazione deve valere anche per ogni $n\in N$ .

$\Gamma(n+1)=n\cdot \Gamma(n)$ . Consideriamo adesso $\Gamma(1)$ ;

$\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}dt=[-e^{-t}]_{0}^{\infty}=0-(-1)=1$

Vogliamo dimostrare che $\Gamma(n+1)=n!$

Supponiamo che tale relazione sia vera per n; allora $\Gamma(n)=(n-1)!$

ma $\Gamma(n+1)=n\cdot \Gamma(n)$

allora $\Gamma(n+1)=n\cdot \Gamma(n)=n\cdot (n-1)!=n!$

da $\Gamma(n+1)=n!$ deriva un'altro fatto interessante; se consideriamo la definizione di Gamma:

$\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}\cdot t^{x-1}dt$ abbiamo che:

$\Gamma(n+1)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}\cdot t^{n}dt=n!$ che era proprio il nostro obiettivo. Teniamolo quindi bene a mente.

La prossima puntata di questa mini-serie cominceremo la dimostrazione vera è proprio.

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