1/06/19

Matematizziamo il nastro di Möbius ,parte 12°: il Piano proiettivo .****

Proseguiamo con le nostre superfici generate in modo astratto, tramite la topologia quoziente. Vogliamo costruire un nuovo spazio topologico, il piano proiettivo, tramite le nostre identificazioni di punti. Ma ricordiamoci prima la definizione "canonica" di piano proiettivo , che è la seguente:

Consideriamo l'insieme R^{3}- \begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix}, ovvero l'insieme dei  punti dello spazio tridimensionale individuati da terne (x1,x2,x3) di numeri reali ,privato dello 0. Consideriamo in tale insieme la relazione di equivalenza così definita:

x \sim y se e  solo se esiste  \lambda \neq 0 tale che  y=\lambda x, ossia, scritto per esteso: (y_{1},y_{2},y_{3})=\lambda(x_{1},x_{2},x_{3}).

Tale relazione è riflessiva:

x=1*x

simmetrica:

se esiste  \lambda \neq 0 tale che  y=\lambda x, allora x=\frac{1}{\lambda}y

transitiva:

se   x \sim y allora y=\lambda x ;  se y \sim z allora z=\mu y quindi z=\mu \lambda x, e posto \lambda \mu =\nu sia ha z=\nu x che implica x \sim z.

Quindi \sim è una relazione di equivalenza. Lo spazio quoziente R^{3}- \begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix}/ \sim è pertanto un spazio topologico, si chiama   piano proiettivo reale, e si indica con \mathbb{R}\mathbb{P}^{2} .

Poichè i vettori appartenenti a una stessa retta vengono identificati tra loro, \mathbb{R}\mathbb{P}^{2} può essere identificato con l’insieme delle direzioni, ovvero come l’insieme delle rette di R^{3} passanti per l’origine.

fascio-di-rette

Lo spazio proiettivo è di Hausdorff ; per una volta credetemi sulla parola, in quanto non siamo ancora in grado di dimostralo (ricordo che uno spazio topologico è di Hausdorff  se punti distinti ammettono intorni disgiunti. Tale tipo di  spazio si dice anche separato).

Un altro modo di generare il piano proiettivo consiste nel utilizzare la sfera unitaria (S^{2}) e considerare equivalenti i punti della superficie che sono antipodali, ossia p ∼ −p. Intuitivamente , per definire tutte le direzioni non serve l'intero spazio R^{3}- \begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix}, ma bastano i punti della superficie sferica, a patto di identificare i punti antipodali come lo stesso punto in quanto le due rette passanti per essi e per l'origine coincidono, ed individuano pertanto la stessa direzione, ovvero lo stesso punto di \mathbb{R}\mathbb{P}^{2}

antipodali

La proiezione \pi : S^{2}\rightarrow S^{2}/\sim=RP^{2}  ,  ha come immagine il piano proiettivo; essendo la sfera  S^{2} compatta anche RP^{2}  essendo l'immagine tramite la funzione continua \pi  della sfera risulta compatto.

Un altro modo per costruire il piano proiettivo è il seguente:

Consideriamo nel piano il disco unitario D=\begin{Bmatrix} (s,t): \sqrt{s^{2}+t^{2}} \leq 1\end{Bmatrix}

disco

In esso, definiamo una relazione di equivalenza dove i punti interni corrispondono a se stessi, mentre un punto x sul bordo ha un  solo punto equivalente, che è il simmetrico di x rispetto al centro,ovvero x \sim -x. Come nella sfera, lo spazio quoziente genera lo stesso spazio topologico \mathbb{R}\mathbb{P}^{2}, o meglio due spazi topologici omeomorfi. Ma dimostrare questo non è immediato. Possiamo comunque provarci.  Ma andiamo per gradi.

Richiami sulle funzioni quoziente

In questo articolo  abbiamo trattato le funzioni quoziente. Penso sia meglio riprendere un attimo il discorso prima di continuare.  Dati i tre spazi topologici X,Y,Z:

dia

dove X è uno spazio topologico, Y lo spazio quoziente, Y=X/\sim rispetto ad una certa relazione d'equivalenza e Z uno spazio topologico.

il nostro problema era costruire un omeomorfismo che va da Y--->Z.

Sappiamo che se esiste una f: X-->Z  continua, tale che  assuma gli stessi valori su punti equivalenti, simbolicamente:

p \sim q \Rightarrow f(p)=f(q)) *

allora definendo g([p])=f(p) sappiamo che la definizione di g è ben posta, ossia non dipende dal rappresentante della classe. Ci viene adesso in aiuto un noto teorema di topologia (chiamato  Proprietà universale del quoziente), che ci assicura che g:Y--->Z è continua se e solo se la composizione g \circ \pi  è continua.

Vogliamo adesso estendere questo tipo di  ragionamento a due spazi quoziente. Siano A,B due  spazi topologici e su ciascuno di essi sia definita una relazione di equivalenza.Per non complicare la notazione, pur commettendo un abuso, scriveremo \sim in luogo di \sim_{A},\sim_{B}. Pertanto  la relazione verrà identificata dall' insieme in cui viene considerata.

Vogliamo risolvere il seguente  problema: trovare una funzione continua g fra i due quozienti:

g: A/\sim\rightarrow B/\sim. Ricordo che con [p] indichiamo la classe degli elementi equivalenti a p, ovvero l'elemento dell'insieme quoziente rappresentato da  p.

Supponiamo che esista una funzione f: A--->B, continua, che soddisfi la seguente proprietà:

p\sim q \Rightarrow f(p)\sim f(q) **

ovvero che mandi punti equivalenti in punti equivalenti. Consideriamo il seguente diagramma:

quoziente

Definiamo g come g([p])=[f(p)]. Valendo **, la definizione è ben posta.

si ha che g\circ \pi_{A}=\pi_{B}\circ f; infatti se p\in Ag(\pi_{A}(p))=g([p])=[f(p)]=\pi_{B}(f(p)).

\pi_{B}\circ f è continua, essendo la  composizione di due funzioni continue. Ma allora  anche g\circ \pi_{A} è continua, vista l'eguaglianza. Siamo allora nelle condizioni della Proprietà universale del quoziente:

quoziente11

Quindi anche g è continua. 1)

Siamo adesso in grado di dimostrare che i due spazi quoziente, uno costruito sul disco e l'altro dalla sfera sono omeomorfi e rappresentano quindi lo stesso spazio,il piano proiettivo.

Per far ciò, costruiamo una funzione f:D\rightarrow S^{2} che sia compatibile con le due relazioni di equivalenza definite su disco e sfera.

f(s,t)=(s,t,\sqrt{1-s^{2}-t^{2}})

questa funzione  manda il disco nell’ emisfero superiore della sfera.

sfera111

La funzione f è continua, in quanto le sue tre componenti sono continue.

La f soddisfa la proprietà **:

p\sim q \Rightarrow f(p)\sim f(q)** ;

se infatti sul disco prendiamo due punti equivalenti, o sono uguali (se sono interni) oppure sono sul bordo del disco. Sia (s,t) un tale punto, per esso vale l'eguaglianza s^{2}+t^{2}=1. Ma allora:

f(−x) = f(−s,−t) = (−s,−t, 0) = −f(x)

x \sim -x\Rightarrow f(x)\sim -f(x)=f(-x)  che è proprio la proprietà **. La funzione g definita come g([p])=[f(p)] che va da :

g:D/\sim\rightarrow S^{2}/\sim è quindi continua, per quanto visto in 1).Per dimostrare che g è suriettiva è sufficiente osservare ogni classe di equivalenza in S^{2}/\sim ha almeno un rappresentante nell’ immagine di f, e questo è  vero, infatti dato un punto p della sfera almeno uno dei punti p e −p è contenuto nell'emisfero superiore (cioè nell' immagine di f).

La mappa quoziente g è iniettiva se e solo se f soddisfa f(x)\sim f(x')\Leftrightarrow x\sim x' . (in una direzione l'abbiamo già visto, nell'altra è quasi banale) Se ci ricordiamo ora del nostro teorema "necessario" :

Sia f : X -->Y un’applicazione continua e biunivoca. Se X  è compatto e Y è di Hausdorff allora è un omeomorfismo.

Possiamo quindi concludere che g è un omeomorfismo.

Un terzo modo per costruire il piano proiettivo.

Un altro modo classico per costruire il piano proiettivo è considerare il quadrato [0,1] x [0,1]: questa volta incolliamo (identifichiamo) i lati in questo modo:

prioettivo

che corrisponde  a considerare equivalenti  i punti del bordo del quadrato in questo modo:

(0, t) ∼ (1, 1 − t) e (s, 0) ∼ (1 − s, 1). Al solito i punti interni del quadrato sono equivalenti solo a se stessi. Lo spazio quoziente rispetto a questa relazione di equivalenza è ancora lo spazio proiettivo. Perchè? ricordiamoci che il quadrato è omeomorfo al cerchio, lo abbiamo visto in uno dei primi articoli de questa serie:

quadrato

l'omeomorfismo è semplicemente quello della figura,che associa ad un punto del quadrato il punto della circonferenza che si trova nell'intersezione col segmento OX che congiunge il punto X con il centro della circonferenza.  Ma torniamo adesso al nostro schema di identificazione dei lati, e condensiamo tutto in un unico disegno, dove mettiamo anche il disco con la relazione antipodale.

q

Chiamiamo Q il quadrato e D il disco; vogliamo dimostrare che il quoziente del quadrato è omeomorfo al quoziente del disco con la relazione antipodale. Sia f  funzione descritta nei due disegni sopra; f è un omeomorfismo, quindi è continua. Come si vede dal disegno p\sim q \Rightarrow f(p)\sim f(q) **. Ci troviamo con un discorso analogo a quello visto sopra nel caso di sfera e disco; se definiamo g([p])=[f(p)]  avremo un omeomorfismo g fra:

g: Q/\sim\rightarrow D/\sim; quindi anche  con la relazione definita sul quadrato il quoziente topologico è il piano proiettivo.

Il  piano proiettivo è una superficie chiusa non orientabile

Analogamente a quanto visto per la bottiglia di Klein, lo spazio proiettivo essendo  compatto e privo di bordi, è una superficie chiusa. Abbiamo poi  appena visto che il piano proiettivo si può definire con la relazione di equivalenza definita dallo schema:

prioettivo

analogamente a quanto fatto per la bottiglia di Klein, notiamo graficamente che il piano proiettivo  contiene un nastro di MÖBIUS (il rettangolo azzurro):

mob

pertanto il piano proiettivo è una superficie chiusa  non orientabile.

Piano proiettivo e spazio quadridimensionale.

Non esiste un omeomorfismo del piano proiettivo in una superficie dello spazio tridimensionale , ma esiste invece  nello spazio di dimensione 4. Riprendiamo in mano la sfera S^{2} immersa nello spazio tridimensionale. Sappiamo che se su di essa consideriamo la relazione antipodale, il quoziente S^{2}/\sim rappresenta proprio lo spazio proiettivo \mathbb{R}P^{2}. Consideriamo ora la funzione f:S^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{4} definita da:

f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}^{2}-x_{2}^{2},x_{1}x_{2},x_{1}x_{3},x_{2}x_{3})

la funzione f assume gli stessi valori su punti equivalenti della sfera. Infatti  f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}^{2}-x_{2}^{2},x_{1}x_{2},x_{1}x_{3},x_{2}x_{3})=f(-x_{1},-x_{2},-x_{3}) come si verifica banalmente. Pertanto possiamo definire una funzione g:S^{2}/\sim\rightarrow f(S^{2}) data da: g([p])=f(p) , essendo indipendente dal rappresentante della classe [p]

g è continua e chiaramente suriettiva su  f(S^{2}); g è anche iniettiva, quindi possiamo concludere ,in base al  teorema "necessario" , che è proprio un omemomorfismo di  g:S^{2}/\sim\rightarrow f(S^{2}), quindi anche di g:\mathbb{R}P^{2}\rightarrow f(S^{2}).

Le superfici rappresentative di \mathbb{R}P^{^{2}} nello spazio tridimensionale.

Non possiamo trovare una superficie omeomorfa al piano proiettivo nello spazio tridimensionale. Esistono però delle superfici che rappresentano il piano proiettivo avendo però delle autointersezioni. Le presentiamo così, solo graficamente, per dare una idea della complessità  e della bellezza del piano proiettivo. Una di queste è la superficie di Steiner, detta anche superficie romana.

stei
la superficie di Steiner

Un'altra rappresentazione del piano proiettivo è data dalla superficie di Boy , che fu allievo di Hilbert:

 

boy
la superficie di Boy

 

 

 

2 commenti

  1. Oreste Pautasso

    Caro Umberto, giustamente parli di bellezza, concludendo questo dodicesimo articolo dedicato alla topologia.

    Come non si può restare ammirati davanti a quelle due ultime figure?  Ma oltre alla loro rilevanza estetica la bellezza sta anche nel pensiero che le ha generate, nel loro intrinseco significato matematico.

    Complimenti per questa serie di articoli che ci accompagna alla scoperta di queste meraviglie.

  2. umberto

    grazie. Penso seguirà un appendice almeno sulla superficie di Steiner. É troppo importante.Come dici quell immagine nasce più dal pensiero matematico che dal calcolatore.

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