9/12/16

Matematiche pure 5) Gruppi liberi 1/3 ***/****

Questo articolo è un po' più difficile di quelli trattati finora,in quanto richiede una certa astrazione. Vedremo come generare un gruppo partendo da un insieme. Qualcuno si chiederà a cosa può servire una cosa del genere.. vi anticipo solo che è di fondamentale importanza per comprendere uno dei più importanti paradossi della matematica moderna, quello di Banach-Tarski.

Negli articoli precedenti abbiamo definito la struttura di gruppo, oggetto fondamentale dell'algebra moderna.  Ci chiediamo se è possibile generare in qualche modo un gruppo,  partendo da alcuni dei suoi elementi.  Chi conosce gli spazi di vettori , vede immediatamente una analogia; in tali spazi combinando dei vettori fra di essi, si possono ottenere tutti i vettori ; se poi scegliamo dei vettori particolari (ad esempio tre vettori fra loro ortogonali nello spazio tridimensionale)  sappiamo che  possiamo ottenere tutti i vettori dello spazio. E in tal caso tali vettori si dicono  indipendenti. Nel caso di gruppo si parlerà invece di generatori di gruppi e di generatori liberi.

Generatori di gruppi

Consideriamo un gruppo G e un suo sottoinsieme X\subseteq G; Su G è definita una certa operazione  \cdot; consideriamo tutte le combinazioni di questa operazione applicata ad elementi di X; chiaramente non tutti gli elementi combinati apparterranno ad X (senz'altro appartengono a G). Chiamiamo  \left \langle X \right \rangle  il più piccolo (minimo) sottogruppo di G  che contenga X. Per dirlo più formalmente: \left \langle X \right \rangle=\begin{Bmatrix} x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot x_{2}^{\alpha _{2}}....x_{n}^{\alpha _{n}} \end{Bmatrix} dovex_{1},...,x_{n}  sono elementi di X e \alpha_{1}....\alpha _{n} numeri interi relativi; infatti questo equivale a considerare direttamente anche gli inversi di x_{i} con un loro esponente. Chiariamo meglio nel dettaglio cosa conveniamo con la scrittura sopra.

Se \alpha =0x^{\alpha }=e

se \alpha >0 , x^{\alpha }=x\cdot x\cdot ...x:\alpha volte

se \alpha <0, x^{\alpha }=x^{-1}\cdot x^{-1}\cdot ...x^{-1}:-\alpha volte

Se \left \langle X \right \rangle=G, X si dice insieme  generatore  del gruppo G.

Se X è un generatore di G, qualsiasi sia g appartenente a G, g si scrive come

g=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot x_{2}^{\alpha _{2}}....x_{n}^{\alpha _{n}}

Notiamo che con il puntino  (\cdot) abbiamo indicato l'operazione interna in G, (volevo cioè sottolineare che non indica un prodotto), e con e l'elemento neutro generico.Infatti In Z la scrittura assume un altra forma (con il +) e so che questo può generare confusione.

esempio: chiariamo meglio cos'è  il secondo membro di\left \langle X \right \rangle=\begin{Bmatrix} x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot x_{2}^{\alpha _{2}}....x_{n}^{\alpha _{n}} \end{Bmatrix} quando consideriamo Z con l'addizione usuale l'operazione da considerare è la somma, "+";potremmo pensare di generare Z usando come generatore X={1} in questo caso la scrittura 1^{\alpha } vuole semplicemente dire  1+1...+1+ 1  \alpha volte se \alpha>0, 1^{\alpha }  vuole dire  ,-1-1...-1  -\alpha volte se \alpha<0, sappiamo infatti che qualsiasi numero intero z si può pensare come somma di z volte 1 se z è positivo, -z volte -1 se z è negativo. Quindi X={1} genera Z.

Gruppi finitamente generati e gruppi ciclici

Un gruppo si dice finitamente generato (o n-generato) quando X è un insieme finito.

Un gruppo con un solo generatore si dice gruppo ciclico.

Prendiamo come esempio  \mathbb{Z}(interi relativi) con l'addizione usuale; è finitamente generato, anzi è ciclico, \mathbb{Z}=\left \langle 1 \right \rangle, ossia è generato dal solo elemento 1 come abbiamo visto sopra.

Vediamo altri esempi con gruppi (\mathbb{Z}_{n}, Z x Z) che abbiamo conosciuto nell'articolo precedente, qui:

Il gruppo \mathbb{Z}_{n} (classi di resti modulo n).

Consideriamo \mathbb{Z}_{n}; se con [1] indichiamo la classe degli interi che divisi per n danno 1 come resto,  \mathbb{Z}_{n} è ciclico; [1]  è il generatore del gruppo. Infatti [1] +[1]=[2], [1] +[1]+[1]=[3],  [1]+ [1]+...+[1] n volte dà [n]=0] (infatti n diviso n dà resto 0).

Il gruppo Z x Z

Z x Z  ha come generatori (1,0) (0,1); infatti  (a,b)=(1+...1,0) + (0,1+...1) nel caso siano entrambi positivi; facilmente si vede anche negli altri casi.

 Gruppi liberi

Sia X un insieme di generatori di un gruppo G; sappiamo allora che ogni elemento g può essere scritto nella forma:

g=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot x_{2}^{\alpha _{2}}....x_{n}^{\alpha _{n}} con gli x_{i} appartenenti a X, e gli \alpha _{i} interi relativi. La scrittura sopra non è in generale univoca, nel senso che esistono più sequenze che possono dare come risultato X, basti pensare che   se una sequenza realizza g, anche la sequenza a cui aggiungiamo x^{-1}\cdot x=e (e elemento neutro) realizza g. Ad esempio se G=Z per generare 4 possiamo usare (1+1+1+1) ma anche (1+1+1+1) -1+1 . Potremmo pensare di evitare quel tipo di scritture, contenenti sequenze di un elemento e il suo inverso. Ma in ogni caso non saremmo mai sicuri. Diamo la seguente definizione:

Un insieme di generatori X di un gruppo G si dice libero se , comunque si scelga una sequenza x_{1},x_{2},...,x_{n},con x_{i}\neq x_{i+1},x_{i}\in X,  e con \alpha _{1},...,\alpha _{n}\in \mathbb{Z}, si abbia:

x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot x_{2}^{\alpha _{2}}....x_{n}^{\alpha _{n}}= e; (e elemento neutro di G) solo nel caso che gli \alpha _{i} siano tutti nulli.

Conseguenza di questa definizione è che sotto queste ipotesi ogni elemento g\neq e si scrive in modo unico nella forma: g=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot x_{2}^{\alpha _{2}}....x_{n}^{\alpha _{n}} ,con x_{i}\neq x_{i+1}  e con \alpha _{1},...,\alpha _{n}\in \mathbb{Z}, \alpha _{i}\neq 0.

Consideriamo per semplicità che i generatori siano 2, ovvero n=2(è solo per visualizzare meglio le operazioni).

Supponiamo per assurdo che g abbia due espressioni diverse, ovvero che si possa scrivere :

g=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot x_{2}^{\alpha _{2}}=x_{1}^{\beta _{1}}\cdot x_{2}^{\beta _{2}}

utilizziamo adesso le due diverse espressioni per esprimere g e il suo inverso:

g=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot x_{2}^{\alpha _{2}}

dico che g^{-1}=x_{2}^{-\beta _{2}}\cdot x_{2}^{-\beta _{1}}; infatti:

g\cdot g^{-1}=x_{1}^{\beta _{1}}\cdot x_{2}^{\beta _{2}}\ x_{2}^{-\beta 2}\cdot x_{1}^{-\beta1} =x_{1}^{\beta _{1}}\cdot e\cdot x_{1}^{-\beta1}=x_{1}^{\beta _{1}}\ x_{1}^{-\beta1}=e, quindi x_{2}^{-\beta _{2}}\cdot x_{1}^{-\beta _{1}} è proprio l'inverso di g. Per trovare l'inverso di g partendo dalla sua espressione, abbiamo dovuto considerare gli inversi dei singoli fattori scritti nell'ordine inverso; questo è necessario perchè il gruppo G non è in generale commutativo.

Combiniamo adesso le due espressioni, una in funzione di \alpha, l'altra in funzione di \beta:

1)e=g\cdot g^{-1}=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot x_{2}^{\alpha _{2}}\ x_{2}^{-\beta 2}\cdot x_{1}^{-\beta1}=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot x_{2}^{\alpha _{2}-\beta2}\cdot x_{1}^{-\beta1}; se fosse \alpha _{2 }\neq\beta _{2}

potremmo scrivere e come e come combinazione di x_{1},x_{2} con un esponente (\alpha _{2 }-\beta _{2}) non nullo ma questo va contro l'ipotesi.  Allora deve essere \alpha _{2 }=\beta _{2}. La 1) diventa:

e=g\cdot g^{-1}=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot x_{2}^{0}\cdot x_{1}^{-\beta1}= x_{1}^{\alpha _{1}-\beta1}; ma allora anche \alpha _{1 }=\beta _{1}, altrimenti l'esponente di x_{1} sarebbe non  nullo. Dunque \alpha _{i }=\beta _{i} qualsiasi sia i e quindi le due espressioni di g coincidono.

 

Un gruppo G si dice libero se ammette un insieme libero di generatori.

Il gruppo Z che come abbiamo visto è un gruppo generato da {1} è un gruppo libero. Facciamo attenzione che qui l'operazione interna è l'addizione, e l'elemento neutro lo zero. Applichiamo il risultato sopra; non è possibile scrivere 0 sommando degli 1 in nessun modo.

Anche Z x Z con generatori (1,0) e (0,1) è libero; infatti non si può scrivere (0,0) come combinazione di  somme di  (1,0) e (0,1) in alcune modo.  Se n(1,0)+m(0,1)=(0,0), allora (n,m)=0, quindi n=0,m=0 . Gli esempi di gruppi liberi non sono purtroppo molti; vedremo però nel prossimo articolo come costruire un gruppo libero partendo da un insieme qualsiasi.

 

 

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