3/12/17

Può il calcolo delle probabilità aver scongiurato una guerra nucleare? Parte 1°.

Per poter capire come il calcolo delle probabilità possa avere avuto una forte incidenza sullo studio dei bombardamenti, abbiamo prima bisogno di riprendere alcuni concetti fondamentali; prima di tutti il valor medio, di cui abbiamo visto il valore pratico nel quiz Quazel al Casinò .
Valor medio o valore atteso
Per introdurre brevemente il valore medio o valore atteso, dobbiamo prima introdurre il concetto di variabile aleatoria. Meglio di tutto prima è fare un esempio. Lancio un dado; definisco il risultato dell'esperimento semplicemente il numero che esce. Il risultato chiaramente può variare da 1 a 6; ciascun numero ha probabilità i/6 di uscire; in questo modo ho definito una variabile aleatoria. Ho infatti dei valori, e la probabilità con cui essi possono verificarsi. Per definire una variabile aleatoria, basta quindi dare una tabella:
valore 1 2 3 4 5 6
probabilità 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Vediamo adesso di introdurre il valor medio.Dato per esempio un gioco, per avere un indice per sapere se a lungo termine si vinca o no, ovvero si abbia un utile, bisogna introdurre il valore medio, o valore atteso. Come introduciamo tale valore? Se in un gioco  si hanno due probabilità, una p di vincere e una q di perdere, e se in caso di vincita vinco x e in caso di perdita y,allora il valore atteso sarà:

Va=p*x +q*y. Perchè definirlo così? Sappiamo che vincita e perdita sono due eventi complementari, inoltre se la probabilità di vincere è minore di quella di perdere, in caso di vincita dovrei prendere più denaro, quanto basta almeno per andare a pari.Nel caso del rosso o nero il calcolo  è questo, indicando con G il guadagno, se gioco per 37 volte sul rosso, mi aspetto chiaramente che esca 18 volte il rosso e 19 il nero più lo zero: G=18*1-19*1=-1<0 quindi mi  aspetto un guadagno negativo giocando 37 volte;che possiamo anche riscrivere  con un rapporto (dividendo per 37) per calcolare un valore medio:

V_{m}=\frac{18}{37}\cdot 1-\frac{19}{37}\cdot 1=-1/37

Quindi in un numero diverso di giocate, ad esempio 100, mi aspetto di perdere 100/37 di euro.

Abbiamo diviso per 37, che sono poi tutte le possibilità; notiamo che 18/37 e 19/37 sono proprio le rispettive probabilità di vincere o perdere.

In generale , si dice variabile aleatoria una quantità numerica associata ad un evento; Se abbiamo n valori per una variabile, possiamo indicarli con X1,.....Xn; se chiamiamo P1,...Pn le rispettive probabilità, ovvero P1 è la probabilità che si verifichi X1, ..Pn la probabilità che si verifichi Xn, tale valore medio sarà espresso dalla formula:

E(X)=\sum_{1}^{n}X_{i}P_{i}=X_{1}P_{1}+...X_{n}P_{n}

Nel caso dell'esempio X1=1, P1=18/37; X2=-1, P2=19/37. Possiamo farci una domanda; quanto dovrebbe prendere chi gioca sul rosso o nero per andare a pari, ovvero far si che il gioco sia equo? Bisogna fare il modo che il valor medio si annulli. Se 1 Euro  è la perdita, allora indichiamo con v quale dovrebbe essere tale vincita. 0=V_{m}=\frac{18}{37}\cdot v-\frac{19}{37}\cdot 1, quindi \frac{18}{37}\cdot v= \frac{19}{37},

v= \frac{19}{37}\cdot \frac{37}{18}=\frac{19}{18}. quindi un euro e 5 centesimi.

Valor medio del numero di tentativi per avere un successo in uno schema Bernulliano

Nei due articoli sul paradosso di  Borel, abbiamo parlato a fondo di processi di tipo Bernulliano.

Esempio semplicissimo; giochiamo a testa e croce; vinciamo se esce croce. Ma dopo quanti tentativi ci aspettiamo di vincere? Chiaramente tutti possono immaginare che ci vogliano almeno due tentativi. Tale valore, 2, è proprio il valor medio del numero dei tentativi. Ma è detto che prima o poi esca croce? Si, lo abbiamo dimostrato nel paradosso di Borel.

Complichiamo un po' l'esempio; supponiamo di lanciare un dado e di vincere quando esce il 5. Intanto sappiamo che la probabilità che esca il 5 (come ogni altro numero del resto) è 1/6, mentre che non esca è 5/6. Consideriamo adesso la variabile aleatoria:

n="numero di tentativi per fare uscire il 5". Chiaramente questa variabile può assumere tutti i valori da 1 a infinito. Indichiamo con S l'evento successo,con F l'evento fallimento. Proviamo a simulare le sequenze in una tabella:

1 2 3 4 5 6 7 8 9
S FS FFS FFFS FFFFS FFFFFS FFFFFFS FFFFFFFS FFFFFFFFS

 

chiaramente la tabella prosegue all'infinito. Sembrerebbe che il valore medio del numero di tentativi debba essere un numero molto alto, ma così non è. Proviamo a scrivere le rispettive probabilità. Ricordiamo che l'evento successo all'n-esimo tentativo è dato da:

p\cdot q^{n-1}; nel nostro caso p=1/6, q=5/6

1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,16 0,13 0,11 0.09 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03

come si vede la probabilità calano molto velocemente al crescere di n; essendo il valor medio definito come somma tra numero tentativi moltiplicati per la probabilità, anche questi termini diventeranno sempre più piccoli ed ininfluenti sul risultato finale. Formalmente, il valore medio diventa la somma di una serie, potendo essere infinito il numero di tentativi:

E(T)=\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot p\cdot q^{n-1}

che essendo p costante possiamo riscrivere così:

E(T)=p\cdot \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot q^{n-1}

ci riduciamo allora a calcolare la somma della serie:

S=\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot q^{n-1}

Cambiamo un attimo notazione, come siamo più abituati. consideriamo nell' intervallo -1<x<1 la serie :

S=\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot x^{n-1};

Un noto teorema sulle serie ci assicura che questa serie è convergente nell'intervallo specificato, e costituisce la serie derivata di S=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}; sono paroloni grossi che cerchiamo di aggirare in modo intuitivo.

Notiamo che il termine dentro la sommatoria, è proprio la derivata rispetto ad x  di x^{n}; sappiamo poi che l'operazione di derivazione è additiva, ovvero la derivata della somma di qualsivoglia termini è la somma delle derivate

S=\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot x^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dx}x^{n}=\frac{d}{dx}\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}

 

\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}+1=\frac{1}{1-x}; abbiamo aggiunto 1 a sinistra  per avere la somma di una serie geometrica.

\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}-1=\frac{x}{1-x}

ma allora S=\frac{d}{dx}\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}=\frac{d}{dx}\frac{x}{1-x}=\frac{1-x+x}{(1-x)^{2}}=\frac{1}{(1-x)^{2}}

Se adesso torniamo alle notazioni iniziali,

E(T)=p\cdot \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot q^{n-1}=p\cdot \frac{1}{(1-q)^{2}}=\frac{p}{p^{2}}=\frac{1}{p}

Che è proprio quello che ci aspettavamo; lanciando un dado con sei facce, ci aspettiamo che esca per esempio il 5 dopo sei lanci (p=1/6, 1/p=6)

Cattura
Il grafico della sommatoria in funzione del numero dei tentativi nel caso p=1/6; notare la velocità di convergenza al valor medio.

 

La linearità delle media.

Un'altra importante proprietà che i servirà per arrivare ai nostri scopi è la seguente:

se X e Y sono due variabili casuali con valori X1,X2..., Y1,Y2... ecc. ci proponiamo di calcolare il valor medio della somma di X, Y. Ebbene , tale valor medio non è altro che la somma dei ripettivi valori medi, in formule:

E(X+Y)=E(X) + E(Y).

Dimostrare questo fatto in modo  generale comporta delle tecniche su cambiamenti di indice sotto il segno di sommatoria che lasciamo ai più esperti. Noi ci limiteremo a giustificarlo con degli esempi, ed in modo intuitivo. Il discorso intuitivo da fare è il seguente; abbiamo introdotto il valor medio nell'esempio del guadagno del gioco al rosso nero della roulette (che in questo caso è negativo). Supponiamo adesso di essere interpreti di due realtà diverse; da una parte gioco al rosso nero come giocatore, dall'altra come banco. Ho a che fare con il valor medio di due variabili aleatorie., la cui somma costituisce la mia vincita, qual' è il suo valor medio? Sappiamo che deve essere zero. Ma allora E(X+Y)=0

ma questo è anche  E(X)+E(Y), in quanto E(X)=-E(Y).  Comunque proviamo a fare un piccolo calcolo di esempio, su due variabili aleatorie X,Y. Supponiamo

X: X1=5, X2=6, e che entrambi i valori si verifichino con probabilità 1/2

Y: Y1=7,Y2=8. e che entrambi i valori si verifichino con probabilità 1/2

Che valori può assumere la variabile somma X+Y? Dobbiamo vedere in che modo si combinano le somme di X,Y

5+7=12

5+8=13

6+7=13

6+8=14

Notiamo che il 13 si può ottenere in due modi diversi.

questi sono i valori; ma con che probabilità si possono verificare?

12 come somma di 5+7, ovvero si verifichi congiuntamente l'evento (5,7);

4

Visto che tutti i numeri hanno (separatamente in X e in Y ) la stessa probabilità di uscire e che le possibili coppie in  X x Y sono quattro:

(5,7)

(5,8)

(6,7)

(6,8)

quindi ciascuna di queste coppie ha probabilità 1/4 di uscire, essendo 4 le possibilità.

Allora il 12 , inteso come somma di 5+7, ha probabilità 1/4 di uscire.

il 13 può invece uscire in due modi diversi, ciascuno con probabilità 1/4; quindi 1/4+1/4=1/2, mentre il 14 con una sola combinazione, (6,8) , quindi ancora con probabilità 1/4

Abbiamo allora:

E(X+Y)=12*1/4+13*1/2+14*1/4=42/4=26/2

se calcoliamo in vece E(X)=(5+6)/2=11/2, E(Y)=(7+8)/2=15/2

E(X)=11/2+15/2=26/2, cioè otteniamo lo stesso valore. Ripeto che questa non è una dimostrazione, ma solo una giustificazione.

Abbiamo visto dunque che E(X+Y)=E(X) + E(Y). In generale (e ci servirà molto nel prossimo articolo)

E(X1+X2+....Xn)=E(X1)+E(X2)+....E(Xn). Questo si dimostra per induzione. Per n=2  è vero:

  1. E(X+Y)=E(X) + E(Y).

supponiamo che sia vero per n-1:

E(X1+X2+....Xn-1)=E(X1)+E(X2)+....E(Xn-1)

ma allora:

E(X1)+E(X2)+....E(Xn-1)+E(Xn)=E(X1+X2+....Xn-1)+E(Xn)=E(X1+X2+....Xn-1+Xn) valendo per ipotesi induttiva la 1.

Ci fermiamo qui; le conclusioni relative alo studio dei bombardamenti le vedremo nella seconda parte.

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