24/01/19

Il numero di Nepero è trascendente. Parte quarta.*****

Ricapitoliamo

Ricordo che dobbiamo dimostrare la falsità dell'eguaglianza:

P1+P2=0. Che è equivalente a dimostrare la falsità di:

\fn_cm \fn_cm \fn_cm \frac{P_{1}+P_{2}}{\rho!}=\frac{P1}{\rho!}+\frac{P_{2}}{\rho!}=0.

Cioè:

\fn_cm \fn_cm \fn_cm \frac{P1}{\rho!}+\frac{P_{2}}{\rho!}\neq 0

per un certo valore di \fn_cm \rho.  Il primo termine è un intero, mentre vogliamo dimostrare che il secondo non lo è.

La dimostrazione continua.

Nell'ultima puntata di questa serie ,abbiamo dimostrato che P1, definito da:

\dpi{120} \dpi{120} \dpi{120} P_{1}= a_{0}I_{\rho}(0)+a_{1}\cdot eI_{\rho}(1)+a_{2}\cdot e^{2}I_{\rho}(2)+....+a_{n}\cdot e^{n}I_{\rho}(n)

è divisibile per \fn_jvn \rho! .

\fn_cm I_{\rho}(0) =    \fn_cm \fn_cm \fn_cm \fn_cm \fn_cm \dpi{120} \pm (n!)^{\rho+1}\cdot \rho! + N(\rho+1)!  dove N è un certo intero. (Infatti \fn_cm I_{\rho}(0) si compone di un termine divisibile per \fn_cm \rho! e di una somma di termini tutti divisibili per  (\fn_cm \fn_cm \rho+1)!, per cui possiamo raccogliere  (\fn_cm \fn_cm \rho+1)! )

i termini rimanenti che compongono P1 sono:

\fn_jvn a_{1}\cdot eI_{\rho}(1)+a_{2}\cdot e^{2}I_{\rho}(2)+....+a_{n}\cdot e^{n}I_{\rho}(n)

e abbiamo visto che sono tutti divisibili per ( \dpi{120} \rho+1)!

Possiamo quindi scrivere :

\fn_cm \fn_cm P_{1}=\pm a_{0} (n!)^{\rho+1}\cdot \rho! + a_{0}N(\rho+1)! + M(\rho+1)! dove M è un intero. Raggruppando possiamo compattare la scrittura:

\fn_cm \fn_cm P_{1}=\pm a_{0} (n!)^{\rho+1}\cdot \rho! + Z(\rho+1)! dove \fn_cm Z=M+a_{0}N è ancora un intero. Dividiamo adesso ambo i termini per \fn_cm \rho!

\fn_cm \fn_cm \fn_cm \fn_cm \fn_cm \frac{P_{1}}{\rho!}=\frac{ \pm a_{0}(n!)^{\rho+1}\rho!}{\rho!}+\frac{Z(\rho+1)!}{\rho!} e semplificando:

\fn_cm \fn_cm \dpi{120} \dpi{120} \frac{P_{1}}{\rho!}= \pm a_{0}(n!)^{\rho+1}+Z(\rho+1) e portando a primo membro  \fn_cm \pm a_{0}(n!)^{\rho+1} otteniamo:

\fn_cm \fn_cm \fn_cm \fn_cm \fn_cm \frac{P_{1}}{\rho!}-(\frac{ \pm a_{0}(n!)^{\rho+1}\rho!}{\rho!})=Z(\rho+1) che significa:

\dpi{120} \dpi{120} \frac{P_{1}}{\rho!}\equiv \pm a_{0}(n!)^{\rho+1} mod (\dpi{120} \rho+1) *

ovvero che  \fn_cm \frac{P1}{\rho!},  \fn_cm \pm a_{0}(n!)^{\rho+1} danno lo stesso resto divisi  per \dpi{120} \rho+1.

Il  fatto che \dpi{120} \dpi{120} \frac{P_{1}}{\rho!}\equiv \pm a_{0}(n!)^{\rho+1} mod (\dpi{120} \rho+1) è molto importante, e ci permetterà di concludere la dimostrazione nell'articolo finale.

*( due numeri a, b  sono equivalenti modulo z se e solo se la loro differenza è multipla di z)

Adesso che abbiamo finito con le proprietà di P1, veniamo a a P2:

\dpi{120} \dpi{120} \dpi{120} \dpi{120} P_{2}= a_{1}\cdot eJ_{\rho}(1)+a_{2}\cdot e^{2}J_{\rho}(2)+....+a_{n}\cdot e^{n}J_{\rho}(n)

Vogliamo dimostrare che per \fn_jvn \rho abbastanza grande, \fn_cm \fn_cm \frac{|P_{2}|}{\rho!} è un numero arbitrariamente piccolo. Riprendiamo la definizione dei \fn_cm \fn_cm \dpi{120} J\rho(b):

\fn_cm \dpi{120} J\rho(b)=\int_{0}^{b}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz.

Da adesso in poi lavoreremo con i valori assoluti.

Ricordo che una funzione continua definita in un intervallo chiuso ha sempre un massimo e un minimo. A noi , in questo conteso, ci interessa che esista un massimo.

max

Consideriamo il massimo K di \fn_cm \fn_cm |z(z-1)(z-2)....(z-n)| nell'intervallo [0,n] e il massimo \fn_cm k_{1} di

\fn_cm \fn_cm \fn_cm |(z-1)(z-2)....(z-n)e^{-z}|  sempre in  [0,n]. si ha:

\fn_cm \fn_cm |z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}|\leq k_{1}K^{\rho} basta infatti moltiplicare membro a membro le le due diseguaglianze:

\fn_cm \fn_cm \fn_cm \fn_cm \fn_cm |z(z-1)(z-2)....(z-n)|^{\rho}\leq K^{\rho}

\fn_cm \fn_cm \fn_cm \fn_cm \fn_cm |(z-1)(z-2)....(z-n)e^{-z}|\leq k_{1}

consideriamo adesso i singoli integrali \fn_cm \fn_cm \dpi{120} |J\rho(b)|\leq \int_{0}^{b}|z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}|dz  per b=1....n

per ogni b avremo \fn_cm \fn_jvn \fn_cm \fn_cm \dpi{120} |J\rho(b)|\leq bk_{1}K^{\rho}, visto che b è l'ampiezza dell'intervallo.

\fn_cm \fn_cm \left\{\begin{matrix} |J\rho(1)|\leq 1\cdot k_{1}K^{\rho}\\ |J\rho(2)|\leq 2\cdot k_{1}K^{\rho}\\ .....\\ |J\rho(n)|\leq n\cdot k_{1}K^{\rho} \end{matrix}\right.

area
Chiaramente l'area sottesa da una funzione f positiva limitata da un numero M è minore del prodotto M*b che è l'area del rettangolo OMPb che la contiene.

Sommiamo adesso tutti i membri di destra e di sinistra e poi poniamo \fn_cm \fn_cm k_{2}=(|a_{1}|e +2 |a_{2}|e^{2}+....+ n|a_{e}|e^{n})\cdot k_{1}

Otteniamo :  \fn_cm \fn_cm \fn_cm \dpi{120} \dpi{120} \dpi{120} \dpi{120} |P_{2}|=| a_{1}\cdot eJ_{\rho}(1)+a_{2}\cdot e^{2}J_{\rho}(2)+....+a_{n}\cdot e^{n}J_{\rho}(n)|<|a_{1}\cdot eJ_{\rho}(1)|+|a_{2}\cdot e^{2}J_{\rho}(2)|+....+|a_{n}\cdot e^{n}J_{\rho}(n)|

ma quest'ultima espressione è minore di \fn_cm \fn_cm (|a_{1}|e +2 |a_{2}|e^{2}+....+ n|a_{e}|e^{n})\cdot k_{1}K^{\rho} e la somma dentro parentesi è proprio \fn_cm k_{2}.

Concludiamo allora che \fn_cm \fn_cm |P_{2}|\leq k_{2}K^{\rho}, e quindi  \fn_cm \frac{|P_{2}|}{\rho!}\leq \frac{k_{2}K^{\rho}}{\rho!}.

Il termine di destra può assumere valori molto piccoli al crescere di \fn_cm \rho. Ma lo vedremo in dettaglio nella prossima parte, che sarà anche quella finale.

 

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