Il numero di Nepero è trascendente. Quinta e ultima parte. ****
Indice di tutti gli articoli di Umberto presenti in archivio-Matematica
Siamo arrivati alla fine. Prima di fare un breve riassunto vorrei ricordare un limite fondamentale:
1)
qualsiasi sia K intero. Chi conosce il criterio del rapporto per le successioni,può verificarlo immediatamente.
Nell'articolo sui polinomi di Niven, che trovate qui, trovate una spiegazione. La metto sotto con il metodo show/hide così chi vuole può consultarla.
2) Un'altro risultato importante
Dati due numeri a,b è sempre possibile trovare un numero c primo con il prodotto ab.
Basta scomporre il prodotto ab in fattori primi; per trovare un c primo con ab, basta prendere dei fattori primi che non sono nella scomposizione di ab. Che questo avvenga sempre, è conseguenza del teorema dell'infinità dei numeri primi: comunque si scelga un numero naturale k, esiste sempre un numero primo maggiore di k. Questo teorema era già noto a Euclide (Elementi (libro IX, proposizione 20).
Esempio:
Sia a=5, b=12 quindi ab= è la scomposizione in primi. Basta prendere un c con fattori primi che non compaiono in tale scomposizione. Ad esempio c=7. notiamo poi che c possiamo prenderlo grande quanto vogliamo, infatti
va bene qualsiasi si n e possiamo ingrandirlo quanto vogliamo.
3) Un piccolo richiamo sulle classi di resti modulo z.
Ricordo che due numeri a,b sono equivalenti modulo z se danno lo stesso resto divisi per z. In simboli questo si scrive:
mod z. Da questa definizione vogliamo trarre un piccola ma importante conclusione. Supponiamo che b non sia divisibile per z; allora nemmeno a è divisibile per z, in quanto deve dare lo stesso resto. Inoltre a non è zero; infatti se a fosse zero, allora sarebbe divisibile per z, in quanto 0*z=0, quindi prendendo q=0, avremmo q*z=a.
Finiamo la dimostrazione riassumendo.
Nella prima puntata abbiamo parlato della funzione gamma:
, x>0
e abbiamo visto che per valori di x interi, l'integrale vale:
.
Nella seconda parte, abbiamo impostato una dimostrazione per assurdo; se e non è trascendente allora deve essere algebrico, ovvero deve esistere un polinomio a coefficienti interi, , tale che e sia radice di tale polinomio. In formule:
.
Notiamo una cosa, anche se non lo abbiamo mai detto esplicitamente:
Possiamo supporre che termine noto sia diverso da zero.
Infatti, supponiamo che e sia radice di un polinomio a coefficienti interi in cui il termine noto è nullo. Sia k il minimo valore per cui
. dividiamo allora il polinomio per
, ottenendo;
deve essere ancora p(x)=0 quando x=e; questo significa che , essendo e diverso da zero. Quindi e è radice di un polinomio a coefficienti interi in cui il termine noto è diverso da zero. Continuiamo a chiamare i coefficienti di questo polinomio a0,a1,...,an.
Sempre nella seconda parte, definendo opportune espressioni:
dove :
tramite l'integrale e opportuni calcoli e raccoglimenti siamo riusciti a dimostrare che se è vero che e non è trascendente, ossia che è algebrico,allora
. Questa è adesso la condizione di cui dimostrare la falsità.
Nelle terza parte, abbiamo dimostrato che P1 è un numero divisibile per !, nella quarta invece che
mod (
) . Per quanto riguarda P2, sempre nella quarta parte, abbiamo visto che
.
Ed eccoci al gran finale. Come preannunciato nell'ultimo articolo, ci basterà dimostrare che esiste un (grande) tale che:
. Sappiamo che
è un intero; ed è anche un numero diverso da zero.
Infatti mod (
); Possiamo scegliere un
tale che
+1 sia primo con
. In pratica cerchiamo un
+1 che non abbia fattori in comune con
. Come si fa? Ricordiamoci cosa abbiamo detto in 3) :si scompone in fattori primi
e si sceglie poi un primo che non contenga nessuno dei suddetti fattori.
Notiamo poi che possiamo farlo grande quanto vogliamo, prendendo un esponente grande a piacere. Questo vuole anche dire che è primo con (
). Quindi non è divisibile con (
).
Ma allora nemmeno è divisibile per (
), , essendo
mod (
), ovvero avendo lo stesso resto se diviso per (
).
Quindi per 3) possiamo escludere il fatto che sia nullo. Che dire adesso di P2?
ma come abbiamo visto all'inizio dell articolo
. Chiaramente anche
, quindi riusciamo a trovare un
tale che
. Osserviamo che ogni
maggiore di questo va bene ,quindi prendiamo un
che soddisfi entrambi le condizioni, ovvero che sia primo con
.
Quindi è un intero non nullo, mentre
. Quindi la somma
non può essere nulla.
Questo prova che e è trascendente.
2 commenti
Ora che siamo arrivati al termine, volevo ringraziare Umberto per avere proposto ed averci guidato lungo l’articolato percorso di questa dimostrazione. Della dimostrazione mi ha colpito l’utilizzo delle funzioni I e J. In un primo momento sembrano aggiungere complessità al problema, per poi rivelarsi le chiavi della soluzione. Mi sono domandato: ma come gli sono venute in mente a chi ha concepito la dimostrazione. Probabilmente molta ferrea razionalità, ma anche una buona dose di intuizione che definirei artistica.
E' lo stessa cosa che pensavo ogni volta che mi mettevo a scrivere questi articoli sulla dimostrazione di Hilbert. La tua osservazione è importante. Qualcosa mi era venuto in mente, ma adesso penso sia proprio necessario scrivere una appendice contenente sia la storia, sia il perchè di certe costruzioni. Si accettano suggerimenti.
Grazie