10/02/19

Il numero di Nepero è trascendente. Quinta e ultima parte. ****

Siamo arrivati alla  fine. Prima di fare un breve riassunto vorrei ricordare un limite fondamentale:

\fn_cm lim_{\rho\rightarrow \infty} \frac{K^{\rho}}{\rho!}=0   1)

qualsiasi sia K intero. Chi conosce il criterio del rapporto  per le successioni,può verificarlo immediatamente.

Nell'articolo sui polinomi di Niven, che trovate  qui, trovate una spiegazione. La metto sotto con il metodo show/hide così chi vuole può consultarla.

  2) Un'altro risultato  importante

Dati due numeri a,b è sempre possibile trovare un numero c primo con il prodotto ab.

Basta scomporre il prodotto ab in fattori primi; per trovare un c primo con ab, basta prendere dei fattori primi che non sono  nella scomposizione di ab. Che questo avvenga sempre, è conseguenza del teorema dell'infinità dei numeri primi: comunque si scelga un numero naturale k, esiste sempre un numero primo maggiore di k. Questo teorema era già noto a Euclide (Elementi (libro IX, proposizione 20).

Esempio:

Sia a=5, b=12 quindi ab=\fn_cm 3\cdot 5\cdot 2^{2} è  la scomposizione in primi. Basta prendere un c con fattori primi che non compaiono in tale scomposizione.  Ad esempio c=7. notiamo poi che c possiamo prenderlo grande quanto vogliamo, infatti \fn_cm 7^{n} va bene qualsiasi si n  e possiamo ingrandirlo quanto vogliamo.

3) Un piccolo richiamo sulle classi di resti modulo z.

Ricordo che due numeri a,b sono equivalenti modulo z se danno lo stesso resto divisi per z. In simboli questo si scrive:

a\equiv b    mod z. Da questa definizione vogliamo trarre un piccola ma importante conclusione. Supponiamo che b non sia divisibile per z; allora nemmeno a è divisibile per z, in quanto deve dare lo stesso resto. Inoltre non è zero; infatti se a fosse zero, allora sarebbe divisibile per z, in quanto 0*z=0,  quindi prendendo q=0, avremmo q*z=a.

Finiamo la dimostrazione riassumendo.

Nella prima puntata abbiamo parlato della funzione gamma:

\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}\cdot t^{x-1}dt,  x>0

e abbiamo visto che per valori di x interi, l'integrale vale:

\Gamma(n+1)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}\cdot t^{n}dt=n! .

Nella seconda parte, abbiamo impostato una dimostrazione per assurdo; se e non è trascendente allora deve essere algebrico, ovvero deve esistere un polinomio a coefficienti interi, \fn_cm a_{0},a_{1},.....,a_{n}, tale che  sia radice di tale polinomio. In formule:

\dpi{120} a_{0}+a_{1}\cdot e+a_{2}\cdot e^{2}+....+a_{n}\cdot e^{n}=0  .

Notiamo una cosa, anche se non lo abbiamo mai detto esplicitamente:

Possiamo supporre che termine noto a_{0} sia diverso da zero.

Infatti, supponiamo che e sia radice di un polinomio p(x)=b_{1}x+b_{2}x^{2}+.....b_{n}x^{m} a coefficienti interi  in cui il termine noto è nullo. Sia k il minimo valore per cui b_{k}\neq 0 . dividiamo allora il polinomio per x^{k}, ottenendo;

p(x)=x^{k}(b_k+.....b_{n}x^{m-k})

deve essere ancora p(x)=0  quando x=e; questo significa che b_{k}+....b_{m}e^{m-k}=0, essendo e diverso da zero. Quindi e è radice di un polinomio a coefficienti interi in cui il termine noto è diverso da zero. Continuiamo a chiamare i coefficienti di questo polinomio a0,a1,...,an.

Sempre nella seconda parte, definendo opportune espressioni:

\dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \dpi{120} \dpi{120} P_{1}= a_{0}I_{\rho}(0)+a_{1}\cdot e\cdot I_{\rho}(1)+a_{2}\cdot e^{2}\cdot I_{\rho}(2)+....+a_{n}\cdot e^{n}\cdot I_{\rho}(n)

\dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \dpi{120} \dpi{120} \dpi{120} P_{2}= a_{1}\cdot e\cdot J_{\rho}(1)+a_{2}\cdot e^{2}\cdot J_{\rho}(2)+....+a_{n}\cdot e^{n}\cdot J_{\rho}(n)

dove :

\dpi{120} \fn_cm \dpi{120} I\rho(a)=\int_{a}^{\infty}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz

\dpi{120} \fn_cm \dpi{120} \fn_cm \dpi{120} J\rho(b)=\int_{0}^{b}z^{\rho}[(z-1)(z-2)....(z-n)]^{\rho+1}e^{-z}dz

tramite l'integrale \dpi{120} \fn_cm \int_{0}^{\infty}e^{-z}\cdot z^{\rho}dz=\rho! e opportuni calcoli e raccoglimenti siamo riusciti a dimostrare che se è vero che e non è trascendente, ossia che è algebrico,allora \dpi{120} \dpi{120} P_{1}+P_{2}= 0.  Questa è adesso la condizione di cui dimostrare la falsità.

Nelle terza parte, abbiamo dimostrato che P1 è un numero divisibile per \fn_cm \rho!, nella quarta invece che

\dpi{120} \dpi{120} \frac{P_{1}}{\rho!}\equiv \pm a_{0}(n!)^{\rho+1} mod (\dpi{120} \rho+1) . Per quanto riguarda P2, sempre nella quarta parte, abbiamo visto che \fn_cm \frac{|P_{2}|}{\rho!}\leq \frac{k_{2}K^{\rho}}{\rho!}.

Ed eccoci al gran finale. Come preannunciato nell'ultimo articolo, ci basterà dimostrare che esiste un  \fn_cm \rho (grande) tale che:

\fn_cm \fn_cm \fn_cm \frac{P1}{\rho!}+\frac{P_{2}}{\rho!}\neq 0. Sappiamo che  \fn_cm \fn_cm \fn_cm \fn_cm \frac{P1}{\rho!} è un intero; ed è anche un numero diverso da zero.

Infatti  \dpi{120} \dpi{120} \frac{P_{1}}{\rho!}\equiv \pm a_{0}(n!)^{\rho+1} mod (\dpi{120} \rho+1);  Possiamo scegliere un \fn_cm \rho tale che  \fn_cm \rho +1 sia primo con \fn_cm a_{0}(n!). In pratica cerchiamo un \fn_cm \rho+1  che non abbia fattori in comune con  \fn_cm a_{0}(n!). Come si fa? Ricordiamoci cosa abbiamo detto in 3) :si scompone in fattori primi \fn_cm a_{0}(n!) e si  sceglie poi un primo che non contenga nessuno dei suddetti fattori.

Notiamo poi che possiamo farlo grande quanto vogliamo, prendendo un esponente grande a piacere. Questo vuole anche dire  che \fn_cm \pm a_{0}(n!)^{\rho+1}  è primo con (\dpi{120} \rho+1).  Quindi non è divisibile con (\dpi{120} \rho+1).

Ma allora nemmeno \fn_cm \fn_cm \fn_cm \fn_cm \frac{P1}{\rho!} è divisibile per (\dpi{120} \rho+1), , essendo \dpi{120} \dpi{120} \frac{P_{1}}{\rho!}\equiv \pm a_{0}(n!)^{\rho+1} mod (\dpi{120} \rho+1), ovvero avendo lo stesso resto se diviso per (\dpi{120} \rho+1).

Quindi  per 3) possiamo escludere il fatto che \fn_cm \fn_cm \fn_cm \fn_cm \frac{P1}{\rho!} sia nullo.  Che dire adesso di P2? \fn_cm \frac{|P_{2}|}{\rho!}\leq \frac{k_{2}K^{\rho}}{\rho!} ma come abbiamo visto all'inizio dell articolo \fn_cm lim_{\rho\rightarrow \infty} \frac{K^{\rho}}{\rho!}=0. Chiaramente anche \fn_cm \fn_cm lim_{\rho\rightarrow \infty} \frac{k_{2}K^{\rho}}{\rho!}=0, quindi riusciamo a trovare un \fn_cm \rho tale che  \fn_cm \fn_cm \frac{|P_{2}|}{\rho!}\leq \frac{k_{2}K^{\rho}}{\rho!}< 1.   Osserviamo che ogni \fn_cm \rho maggiore di questo va bene ,quindi prendiamo un \fn_cm \rho che soddisfi entrambi le condizioni, ovvero che sia primo con  \fn_cm a_{0}(n!).

Quindi \fn_cm \fn_cm \fn_cm \fn_cm \frac{P1}{\rho!} è un intero non nullo, mentre  \fn_cm \fn_cm \fn_cm \frac{|P_{2}|}{\rho!}< 1. Quindi la somma  \fn_cm \fn_cm \fn_cm \fn_cm \frac{P1}{\rho!}+\frac{P_{2}}{\rho!} non può essere nulla.

Questo prova che e è trascendente.

2 commenti

  1. Fabrizio

    Ora che siamo arrivati al termine, volevo ringraziare Umberto per avere proposto ed averci guidato lungo l’articolato percorso di questa dimostrazione. Della dimostrazione mi ha colpito l’utilizzo delle funzioni I e J. In un primo momento sembrano aggiungere complessità al problema, per poi rivelarsi le chiavi della soluzione. Mi sono domandato: ma come gli sono venute in mente a chi ha concepito la dimostrazione. Probabilmente molta ferrea razionalità, ma anche una buona dose di intuizione che definirei artistica.

  2. Umberto

    E' lo stessa cosa che pensavo ogni volta che mi mettevo a scrivere questi articoli sulla dimostrazione di Hilbert. La tua osservazione è importante.  Qualcosa mi era venuto in mente, ma adesso penso sia proprio necessario  scrivere una appendice contenente sia la storia, sia il perchè di certe costruzioni. Si accettano suggerimenti.

    Grazie

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