Mag 25

Ultime proprietà del polinomio di Niven (il seguito degli ultimi miniquiz).

Questo articolo costituisce l'ultima parte degli argomenti che trovate nei  tre miniquiz: polinomi e derivateuno strano polinomioUna funzione particolare. L'idea era di proporre sotto forma di quiz i prerequisiti necessari per poter comprendere un noto teorema che per ora tengo ancora nascosto. Purtroppo vista la scarsa partecipazione, ho deciso di non proporre l'ultimo quesito e risolverlo direttamente. Non vorrei tediare ulteriormente i lettori che cercano altri tipi di quiz.Ciò non toglie che chi ha in mente una soluzione migliore può scriverla tranquillamente nei commenti. Il tema dell'articolo riguarda come sempre il polinomio di Niven, f(x)=\frac{x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}  .

Per poter accedere facilmente alla dimostrazione del famigerato e innominato teorema, ci mancano da dimostrare dei confronti numerici fra il nostro polinomio e delle particolari costanti.

Consideriamo intanto l'intervallo aperto (0,a/b), con a,b>0, a>b e il nostro polinomio:

f(x)=\frac{x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}   , n>0

Per prima cosa proviamo la seguente maggiorazione:

vogliamo dimostrare che in tale intervallo vale la diseguaglianza;

0<f(x)=\frac{x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}\frac{a^{2n }}{b^{n}}\cdot \frac{1}{n!}

intanto f(x)>0 essendo x>0 e a-bx>0, in quanto x<a/b;

x^{n}<\frac{a^{n}}{b^{n}}  essendo 0<x<a/b

f(x)=\frac{x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}<\frac{a^{n}}{b^{n}}\frac{(a-bx)^{n}}{n!}

ma (a-bx)^{n}<a^{n},  in quanto   o<(a-bx)<a per cui:

\frac{a^{n}}{b^{n}}\frac{(a-bx)^{n}}{n!}<\frac{a^{n}}{b^{n}}\frac{(a)^{n}}{n!}=\frac{a^{2n}}{b^{n}}\frac{1}{n!}

per cui la diseguaglianza è vera.

Vogliamo adesso dimostrare che il termine:

\frac{a^{2n}}{b^{n}\cdot n!}

o più in generale, per semplificare le scritture, che  il termine

\frac{c^{n}}{n!}

è infinitesimo per n tendente a infinito, ovvero si può sempre trovare un n affinchè esso diventi piccolo a piacere.

Limitiamoci al caso in qui c>1, altrimenti chiaramente il limite è senz'altro zero, essendo c^{n} infinitesimo per n tendente a infinito.

Osserviamo  innanzitutto che la successione  dei \frac{c^{n}}{n!} è decrescente da un certo punto in poi; infatti se è vero che

\frac{c^{n+1}}{(n+1)!}<\frac{c^{n}}{n!} , dividendo otteniamo:  \frac{\frac{c^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{c^{n}}{n!}}=\frac{c}{(n+1)}<q<1 , a patto di prendere n> c-q .Chiamiamo m tale valore di n e consideriamo la successione dei \frac{c^{n}}{n!} quando  n>m.  Facciamo bene attenzione il  rapporto  fra il successivo di un termine e il precedente  è minore di q<1   qualsiasi sia n>m. Attenzione che m è un numero fissato, uno volta noto c ! Per fissare le idee , se per esempio c=9,4, m=9.

Si ha

\frac{c^{m+1}}{(m+1)!}<\frac{c^{m}}{m!}\cdot q\frac{c^{m+2}}{(m+2)!}<\frac{c^{m+1}}{(m+1)!}\cdot q, ...

quindi 0<  \frac{c^{m+2}}{(m+2)!}<\frac{c^{m}}{(m)!}\cdot q^{2}

e procedendo in tal modo:

0<\frac{c^{m+3}}{(m+3)!}<\frac{c^{m}}{(m)!}\cdot q^{3}

0<\frac{c^{m+4}}{(m+4)!}<\frac{c^{m}}{(m)!}\cdot q^{4}

 

.......

\frac{c^{n}}{(n)!}<\frac{c^{m}}{(m)!}\cdot q^{n}

quindi tutti i termini della nostra successione, da un certo m in poi sono limitati da \frac{c^{m}}{(m)!}\cdot q^{n}

ma \frac{c^{m}}{(m)!} è un termine costante, che dipende da quel valore di m iniziale;  la successione  k\cdot q^{n} con q<1 tende ovviamente a zero. Lo stesso deve fare anche la successione dei \frac{c^{n}}{n!}, in quanto 0<\frac{c^{n}}{n!}<q^{n}. (questo fatto è noto in analisi come teorema dei due Carabinieri, per ovvi motivi.)

Notare che in pratica abbiamo costruito una sottosuccessione che ha inizio da m  in poi, che equivale al fatto di aver tolto i termini minori di m che sono in numero finito; in ogni caso a noi serve il comportamento per n tendente ad infinito.

Questa seconda parte è immediatamente risolvibile per chi conosce il criterio del rapporto, un famoso teorema sulle successioni. Io ho cercato di aggirare il teorema proponendo la soluzione di sopra.

Bene la prossima volta , dopo aver riassunto tutti i risultati sui polinomi dei Niven, procederemo alla dimostrazione del teorema   che sarà fatta in poche righe!

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