7/08/18

Matematizziamo il nastro di Möbius ,parte 5°:Componenti connesse e connessione per archi.

Nell'ultimo articolo di questa serie abbiamo parlato di spazi connessi. Ricordo le due definizioni più importanti di connessione, che ci serviranno subito.

Due definizioni equivalenti di connessione.

Sia X un insieme: X è connesso se:

1) Non esistono due aperti che siano non vuoti, disgiunti e tali che la loro unione dia tutto X.

2)  Non esistono due chiusi che siano non vuoti, disgiunti e tali che la loro unione dia tutto X.

Continuiamo il discorso sugli spazi connessi, introducendo le componenti connesse e la connessione per archi.

Una osservazione importante:

Siano Y e Z connessi in uno spazio topologico X. Se Y Ç Z ¹ Æ, allora Y È Z è connesso.

connessi

Facciamo una premessa:      sia un sottoinsieme connesso di X, e supponiamo S\subseteq A \cup B con A e B aperti non vuoti e disgiunti, allora S  \subseteq A oppure \subseteq B infatti, se non fosse così, potremmo scrivere S=(S\cap A)\cup (S\cap B)) unione di aperti in S non vuoti e disgiunti che implica che S  è sconnesso; quindi valeS \cap A=\Phi oppureS \cap B=\Phi, da cuiS=S \cap Aoppure S=S \cap B, che è possibile solo se   S  \subseteq A oppure \subseteq B

unio

Torniamo alla proposizione:

Siano Y e Z connessi in uno spazio topologico X. Se Y Ç Z ¹ Æ, allora Y È Z è connesso.

Assumiamo per assurdo che esistano A, B aperti, non vuoti, disgiunti tali che A \cup B=Y \cup Z. Questa uguaglianza comporta che  Y\subseteq A \cup B e che Z\subseteq A \cup B.

Per ipotesi Y  è connesso, quindi \subseteq A oppure \subseteqB, (osservazione precedente) questo vale anche per Z, inoltre si esclude che \cup Z sia contenuto completamente in A (oppure in B) perché in tal caso B (oppure A) sarebbe vuoto; quindi non perdiamo di generalità assumendo \subseteqA e \subseteqB   che implica che   A\cap  \supseteq Y \cap  Z\not\equiv \Phi, ma sappiamo che  A \cap B=\phi

Componenti connesse

Se consideriamo l'iperbole nel piano come sottospazio topologico, vediamo che è sconnessa:

iperbole

I due rami sono invece connessi . Chiaramente i due rami sono disgiunti, e la loro unione dà l'iperbole. I due rami prendono il nome di componenti connesse. Ciò risulta molto intuitivo. Ma vediamo come si arriva alla definizione formale di componenti connesse.

In uno spazio topologico X, due punti x e y sono detti connessi se $ un  connesso Y tale che x, y Î Y.

La relazione r definita su uno spazio topologico X da: "" x, y Î Xxr y Û e y sono connessi in X" è una relazione di equivalenza :

i) x \rho x;  infatti basta considerare un connesso che contiene x,

ii) se x \rho y, allora y \rho x  se esiste un connesso che contiene x e y, questo contiene anche y e x

iii) se  x \rho y e  y \rho z  allora esiste un connesso C che  contiene  x,y e un connesso C' che contiene y,z; ma allora C e C' hanno un punto in comune, y, pertanto C \cap C'\neq \Phi; ma allora , come dimostrato sopra, C U C'è connesso e contiene x, z  quindi x \rho z

Ma una relazione di equivalenza induce una partizione di X:

Ogni spazio topologico X è unione disgiunta delle sue componenti connesse.

1. L’iperbole in R2 ha 2 componenti connesse, ovvero i due rami, ciascuna dei quali omeomorfo a R.
2. X = [0, 1] ∪ [2, 3] ha due componenti connesse: [0, 1] e [2, 3]

Connessione per archi; un piccolo cenno.

Un altro sistema per verificare la connessione di uno spazio topologico è la seguente.

Sia X uno spazio topologico.Consideriamo l'intervallo [0,1]. Sia f:[0,1]--->X una funzione continua. Tale funzione prende il nome di arco su  X(è una linea continua contenuta in X).

archi

Diciamo che il nostro spazio X è connesso per archi, se comunque scegliamo due punti a,b esiste un arco f tale che f(o)=a,f(1)=b. Uno spazio connesso per archi è connesso:

Assumiamo per assurdo che X = A  U B con Aaperti non vuoti, disgiunti, allora prendiamo a\inb \inB; per ipotesi esiste un arco a che li congiunge:

f : [0, 1] ---> X tale che f(0) = a, f(1) = b= [0, 1] è connesso quindi  f(I) connesso,

f(I)=(A\cap f(I)\cup (B\cap f(I)))

sarebbe unione di aperti non vuoti e disgiunti, quindi sconnesso: assurdo.

Non è però vero il viceversa; ci vuole un controesempio e ne esiste uno molto complesso, detto il seno del topologo,

senotopologo

chissà forse un giorno potremmo provare a  dimostrarlo per esercizio,cercando di approfondire meglio.

Chiudiamo qui con la connessione: la prossima volta affronteremo concetti più avanzati che ci porteranno a definire dei sottospazi importanti, fra i quali il nastro di Möbius. Sto parlando di topologia quoziente.

 

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