Categorie: Astronomia Elementare Matematica
Tags: formule fondamentali sfera celeste sistemi di coordinate sferiche trigonometria sferica
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:0
Curviamo il mondo. 6: risolviamo il triangolo sferico (3) **
Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento nel quale è stato inserito anche il presente articolo
Questa puntata è estremamente corta e anche molto facile. Anche la terza formula fondamentale si ottiene partendo dalla prima e giocando un po’ con la matematica (roba da poco).
Conclusa questa parte puramente didattica, necessaria per sapere con chi abbiamo a che fare e cosa si deve usare per muoversi da un triangolo a un altro, passeremo decisamente alla sfera celeste, il regno dei corpi celesti, dove è necessario saper identificare ogni oggetto utilizzando un solo sistema di coordinate. Vedremo che i triangolo sferici sono il cibo principale, il più delle volte semplificati, ossia con qualche angolo o arco uguale a 90 (o π/2).
Bando alle ciance e determiniamo rapidamente la terza formula fondamentale della trigonometria sferica.
Riprendiamo ancora una volta la (10b), scrivendola in modo un po’ diverso:
sen (c) sen (a) cos (β) = cos (b) - cos (c) cos (a)
E poi anche la (10a)
cos (a) = cos (b) cos (c) + sen (b) sen (c) cos (α)
Sostituiamo cos (a), dato dalla seconda equazione, nella prima:
sen (c) sen (a) cos (β) = cos (b) - cos (c)(cos (b) cos (c) + sen (b) sen (c) cos (α))
sen (c) sen (a) cos (β) = cos (b) - cos2(c) cos (b) - cos (c) sen (b) sen (c) cos (α))
sen (c) sen (a) cos (β) = cos (b) (1 - cos2(c)) - sen (b) sen (c) cos (c) cos (α)
ma:
1 - cos2(c) = sen2(c)
quindi:
sen (c) sen (a) cos (β) = cos (b) sin2(c) - sen (b) sen (c) cos (c) cos (α)
Semplificando, si ottiene:
sen (a) cos (β) = cos (b) sin (c) - sen (b) cos (c) cos (α) …. (14)
Che è la terza formula fondamentale. Ovviamente, anche lei dà luogo a due formule simili facendo girare angoli e lati.
Sembra piuttosto complicata, ma può essere di grande utilità per risolvere i triangoli sferici, soprattutto quando qualche angolo diventa 90°.
Bene, possiamo alzare gli occhi al cielo e scegliere le coordinate celesti che preferiamo e/o che sono più utili allo scopo. Ormai la sfera celeste non ha più segreti.
