18/07/16

Curviamo il mondo. 6: risolviamo il triangolo sferico (3) **

Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento nel quale è stato inserito anche il presente articolo

Questa puntata è estremamente corta e anche molto facile. Anche la terza formula fondamentale si ottiene partendo dalla prima e giocando un po’ con la matematica (roba da poco).

Conclusa questa parte puramente didattica, necessaria per sapere con chi abbiamo a che fare e cosa si deve usare per muoversi da un triangolo a un altro, passeremo decisamente alla sfera celeste, il regno dei corpi celesti, dove è necessario saper identificare ogni oggetto utilizzando un solo sistema di coordinate. Vedremo che i triangolo sferici sono il cibo principale, il più delle volte semplificati, ossia con qualche angolo o arco uguale a 90 (o π/2).

Bando alle ciance e determiniamo rapidamente la terza formula fondamentale della trigonometria sferica.

Riprendiamo ancora una volta la (10b), scrivendola in modo un po’ diverso:

sen (c) sen (a) cos (β) = cos (b) - cos (c) cos (a)

E poi anche la (10a)

cos (a) = cos (b) cos (c) + sen (b) sen (c) cos (α)

Sostituiamo cos (a), dato dalla seconda equazione, nella prima:

sen (c) sen (a) cos (β) = cos (b) - cos (c)(cos (b) cos (c) + sen (b) sen (c) cos (α))

sen (c) sen (a) cos (β) = cos (b) - cos2(c) cos (b) - cos (c) sen (b) sen (c) cos (α))

sen (c) sen (a) cos (β) = cos (b) (1 - cos2(c)) - sen (b) sen (c) cos (c) cos (α)

ma:

1 - cos2(c) = sen2(c)

quindi:

sen (c) sen (a) cos (β) = cos (b) sin2(c) - sen (b) sen (c) cos (c) cos (α)

Semplificando, si ottiene:

sen (a) cos (β) = cos (b) sin (c) - sen (b) cos (c) cos (α)            …. (14)

Che è la terza formula fondamentale. Ovviamente, anche lei dà luogo a due formule simili facendo girare angoli e lati.

Sembra piuttosto complicata, ma può essere di grande utilità per risolvere i triangoli sferici, soprattutto quando qualche angolo diventa 90°.

Bene, possiamo alzare gli occhi al cielo e scegliere le coordinate celesti che preferiamo e/o che sono più utili allo scopo. Ormai la sfera celeste non ha più segreti.

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