7/12/16

Soluzione del quiz dei piedi sulla sabbia **

Come già si era accennato, il problema si collega nientemeno che a Keplero, il quale l’aveva risolto senza dimostralo e solo nel secolo scorso è giunta una dimostrazione matematica della brillante congettura del grande astronomo seicentesco.

Facciamo un po’ di storia… Tutto nasce da un’esigenza di Sir Walter Raleigh che cercava la migliore soluzione per stipare nel minimo spazio possibile le palle di cannone sulle navi. Un problema di grande interesse militare. Il condottiero si rivolse all’amico e assistente Thomas Harrot il quale ci lavorò a lungo, gettando le basi, in un certo senso, per la teoria della disposizione atomica. Tuttavia, fu Keplero, con il quale ebbe una lunga serie di contatti, a formulare la congettura rivelatasi vincente. La densità di sfere accatastate, in modo più o meno random, non riusciva a superare il valore di 0.65, mentre la soluzione di Keplero era di 0.74. Un gran bel vantaggio visto che le navi avevano ben poco posto a disposizione, ma dovevano imbottirsi di palle di cannone.

La struttura può riassumersi nella forma esagonale. Si dispongono le sfere con una centrale e sei tangenti esternamente e si ripete la configurazione su tutta la superficie a disposizione. Il secondo livello vede lo stesso disegno, sfasato in modo da inserire le sfere nei “buchi” di quelle sottostanti (Fig. 1).

Figura 1
Figura 1

Relativamente alle palle di cannone si ottengono le classiche cataste che tutti conoscono (Fig. 2).

Figura 2
Figura 2

Tuttavia, anche la Natura segue Keplero o -molto meglio- Keplero ha intuito perfettamente come opera la Natura per fare stare più materia possibile nello spazio minore. E’ una legge fisica che si nota dappertutto. Ed eccoci alla nostra sabbia che può approssimarsi molto bene con una moltitudine di sferette che cercano di stare nel modo più compatto possibile. Oltretutto, ricordiamo sempre che qualsiasi massa stia sulla Terra è soggetta alla forza di gravità. Ne segue che la sabbia si sistema perfettamente secondo l’impacchettamento previsto da Keplero.

A questo punto è facile capire perché si ottiene una specie di paradosso o -se preferite- un fenomeno del tutto controintuitivo.

Spieghiamolo più facilmente con il famoso “palloncino”, rappresentato nella figura della volta scorsa (QUI). Come giustamente ha fatto presente Arturo, è necessario che non sia elastico, ma che permetta, comunque, di schiacciarlo. Riempiamolo di sabbia fino a un livello piuttosto alto, scuotendola per bene in modo che le sferette che la compongono possano sistemarsi secondo le regole di Keplero. A questo punto versiamo acqua fino a saturare la sabbia, in modo che arrivi fino al collo del palloncino o di chi ne fa le veci. Cosa è successo? L’acqua è andata a riempire tutti i buchi tra le sferette, compattate come meglio non si poteva. Quella che è rimasta senza casa rimane nel collo del palloncino.

Non resta adesso che dire ai vostri amici, che stanno seguendo l’esperimento, e a vostra moglie che trema per la tovaglia, di premere lateralmente il palloncino o sacchetto che sia. Tutti si aspettano che l’acqua fuoriesca dal collo e imbratti la tovaglia. Invece, quasi miracolosamente, l’acqua sparisce ed entra nel palloncino. Se si finisce di premere l’acqua torna al livello di prima: la tovaglia resta immacolata (sempre che tutto sia stato svolto con molta attenzione e precisione).

Cosa è successo dentro al sacchetto? Qualsiasi forza sia stata impressa ha sicuramente deformato la sistemazione delle sferette e, perciò, ha distrutto il miglior impacchettamento possibile. Il volume occupato dalle sferette è sicuramente aumentato e gli spazi tra di loro si è ingrandito. L’acqua ha trovato più spazio a disposizione e, aiutata dalla forza di gravità, si è infilata velocemente negli spazi liberi. Il livello è sceso.

Se si sospende lo schiacciamento, le sferette tendono subito a ricostruire la ragnatela precedente, in modo da ridurre nuovamente gli spazi tra di loro. All’acqua non resta che tornare da dove era venuta e a riempire il collo del sacchetto.

In modo più macroscopico, capita lo stesso alla sabbia umida. Essa ha ottenuto la configurazione migliore secondo la regola di Keplero. L’acqua si è infiltrata tra gli spazi liberi e un poco è rimasta anche in superficie inumidendola. Non appena viene pestata, si deforma la configurazione e i poveri granelli impazziscono e si spostano lateralmente anche negli strati inferiori. L’acqua che era in superficie trova la possibilità di penetrare verso il basso e lascia in superficie granelli senza acqua che tendono ad assumere un colore più chiaro. Non appena si rilascia il piede, la sabbia tende a ricompattarsi, ma il suo volume è minore di quello di prima (è stata pestata, accidenti) e un po’ di acqua è costretta a uscire allo scoperto riempiendo l’impronta. Provare per credere…

Ridendo e scherzando si è fatto il primo passo verso le configurazione degli atomi nelle strutture molecolari…

Il Quiz lo trovate QUI

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