29/05/24

(Q) Un cannone in cima a una collina **

Rileggendo la "vera" storia di Napoleone e spulciando nei vari archivi della sua biblioteca mi sono imbattuto in un semplice problema che il Bonaparte aveva dovuto affrontare durante una delle sue innumerevoli battaglie e che, ovviamente, aveva risolto brillantemente. Visto che vi lascerò una decina di giorni per una breve vacanza ho pensato di proporvelo. Affrontatelo con calma, dato che per la soluzione dovrete aspettare un poco. Sicuramente, qualcuno risponderà velocemente, ma invito anche i meno esperti a provarci da soli senza guardare la soluzione.

Il problema è di pura cinematica e si collega al ben noto moto parabolico. Un cannone di Napoleone era posto sulla cima di una collina che scendeva con pendenza costante verso la pianura sottostante, dove era schierato l'esercito nemico.

Napoleone non poteva colpirlo direttamente, essendo troppo lontano, ma pensò, giustamente, che se fosse stato attaccato durante la salita il caos tra le truppe nemiche sarebbe stato maggiore. Valeva, perciò, la pena di far fuoco mentre queste stavano salendo. Ovviamente, prima le colpiva è meglio era.

A un genio della matematica e della fisica come lui, bastarono pochi minuti per calcolare la gittata massima del suo cannone e, soprattutto, calcolare l'angolo di sparo, rispetto all'orizzontale, necessario a ottenerla.

Insomma, per farla breve, conosciamo la pendenza b della collina e si chiede: qual è l'angolo a, in funzione di b, che ci dà la massima gittata?

4 commenti

  1. sprmnt21

    Ci provo.

    Rispetto ad un sistema di riferimento con origine sulla posizione del cannone, le equazioni del moto sono:

    y(t)=-1/2*g*t^2+v0y*t

    x(t)=v0x*t

    v0x=v0*cos(a)

    v0y=v0*sin(a)

    L’equazione della traiettoria

    y=-1/2*g*1/(v0^2*cos(a)^2)*x^2+tan(a)*x

    Quella del fianco della collina:

    y=tan(b)*x

    Queste si incontrano per x tale che:

    tan(b) = k/cos(a)^2*x^2+tan(a)*x, dove k è una costante che dipende da g.

    Escludendo il caso x=0

    x=(tan(b)-tan(a))*cos(a)^2/k

    Per semplicità di scrittura, cerchiamo il massimo di k*x al posto del massimo di x.

    Quindi cerchiamo il massimo di

    x(a) = tan(b)*cos(a)^2 – sin(a)*cos(a).

    x’(a) = -tan(b)*2cos(a)sin(a)-cos(2a) = -tan(b)sin(2a)-cos(2a)

    escludendo il caso in cui cos(2a)=0 che porta ad x’(a) = -tan(b) che sarebbe 0 solo per b=0 (vedi Nota).

    i massimi della funzione si possono cercare per

    tan(\beta )*tan(2\alpha )+1 = 0

    Nota: il caso particolare b=0, implica cos(2a)=0 che  (ri-)porta al classico a=45°

  2. Andy

    La gittata G(x) si ottiene partendo dall'equazione (1) e operando alcune trasformazioni e "manipolazioni" varie, ma equivale alla classica formula della gittata quando h=0 (parabola passante per l'origine).

    I due differenti valori α per la parabola blu sono in analogia con il caso della parabola ottenuta considerando la bocca di fuoco a quota zero, (quindi anche β=0):

    I due valori angolari che producono la stessa gittata sommano 90°:

    α1 + α2 = 90°  →  α1 = 90° - α2  →  sin(2·α1) = sin(180° - 2·α2) = sin(2·α2)

    Dati una certa velocità iniziale ed una quota dalla quale avviene il tiro, esiste una pendenza β per cosi dire "critica", oltre la quale uno dei due angoli α>90°

    ad esempio se β=18, si ottengono un α1 ≈ 178°,67 e un α2 ≈ 73°,33

    sebbene l'angolo α1 sia una soluzione della (3), da un punto di vista fisico ha poco senso (il cannone dovrebbe sparare "all'indietro"); allora per pendenze ≥ 18° i tre angoli sommano 270°.

    Quindi la relazione che lega i tre angoli è: α1 + α2 + β = 90° + 180° n

    con n=1 se uno dei due α>0, sennò n=0

    Ferme restando le condizioni di velocità iniziale ed altezza dal suolo dell'esempio, la gittata massima (teorica) si ha per un angolo α di circa 40°,3 (non per 45°, probabilmente dovuto alla variata simmetria della parabola blu che "spara" da quota h) con lunghezza (teorica) di circa 1204 metri, per cui se la pendenza del tratto collinare in salita fosse minore di

    arctan(h/G max) = arctan(200/1204) ≈ 9°,4

    significa che il tiro si fermerà nella parte iniziale della salita, costringendo Napoleone ad attendere che le truppe avversarie si avvicinino alla zona tra il piano e la salita per sparare ad alzo 40°

  3. Andy

    Errata corrige:

    "Quindi la relazione che lega i tre angoli è: α1 + α2 + β = 90° + 180° n

    con n=1 se uno dei due α>90° sennò n=0"

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