4/06/17

Soluzione del quiz "l'isola che non c'è"

Il quiz è stato presentato QUI.

Intanto grazie della partecipazione; tutti i partecipanti hanno intuito i legame fra l'isola e l'espressione 27b^{2}+4a^{3}; molto originale la soluzione di Fabrizio  che trovate qui. Mi discosto un po' dalla sua soluzione che comunque vi invito a leggere, per darne un'altra, che assomiglia di più a quella di Maurizio.

Non ci conviene studiare gli zeri della curva ellittica, ma quelli della funzione polinomiale:

f(x)=x^{3}+ax+b

Infatti la curva si annulla se e solo se si annulla tale polinomio:

x^{3}+ax+b=0

Studiamo tale funzione con i metodi dell'analisi matematica; calcoliamo la derivata prima

f'(x)=3x^{2}+a

x^2=-\frac{a}{3};

affinchè sia possibile risolvere tale equazione , deve essere a\leq 0; se a>0 g(x)  è sempre crescente, quindi solo una soluzione; in tal caso risulta anche 27b^{2}+4a^{3}>0 .

Se a=0,  x^{3}+b=0 abbiamo tre soluzioni coincidenti.

vediamo il caso in cui a<0 e , per l'annullarsi della derivata prima abbiamo due valori:

x=\pm \sqrt{-\frac{a}{3}}   , la funzione f(x) decresce strettamente in (-\sqrt{-\frac{a}{3}} , \sqrt{-\frac{a}{3}}) e cresce strettamente altrove; in

-\sqrt{-\frac{a}{3}} ha un massimo, in \sqrt{-\frac{a}{3}}un minimo;infatti il limite per x tendente a meno infinito è meno infinito, per x tendente a più infinito più infinito:

\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty ; \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty

00000

Se nel punto di minimo la funzione è negativa , e se nel punto di massimo la funzione è positiva, allora essendo continua avremo tre soluzioni.

sostituiamo quindi nella funzione:

f(x)=x^{3}+ax+b

il valore \sqrt{-\frac{a}{3}}    otteniamo:

\sqrt{-\frac{a^{3}}{27}}+a\sqrt{-\frac{a}{3}}+b<0

notiamo che:

\sqrt{\frac{(-a)^{3}}{27}}=\sqrt{\frac{(-a)^{2}(-a)}{27}}=-a\sqrt{\frac{(-a)}{27}}

dovrei infatti prendere \pm a, ma la radice di sinistra è positiva, essendo a negativo scarto quella con il +a.

quindi:

\sqrt{-\frac{a^{3}}{27}}+a\sqrt{-\frac{a}{3}}+b=-a\sqrt{-\frac{a}{27}}+3a\sqrt{-\frac{a}{27}}=2a\sqrt{-\frac{a}{3}}

dunque deve essere

2a\left(\sqrt{-\frac{a}{27}}\right)+b<0

analogamente, sostituendo la radice negativa avremo:

-2a\left(\sqrt{-\frac{a}{27}}\right)+b>0

Il fatto che quando l'espressione 27b^{2}+4a^{3} è positiva non ci sia l'isola, ci potrebbe indurre a pensare che l'isola ci sia quando l'espressione 27b^{2}+4a^{3} è negativa. Qualcuno infatti senza far nessun calcolo lo ha intuito subito.

Vogliamo adesso provare come le due condizioni siano strettamente legate all'espressione:

27b^{2}+4a^{3}.

Supponiamo che 27b^{2}+4a^{3}<0;

allora:

b^{2}<-4\frac{a^{3}}{27}

ciò è possibile se:

-\sqrt{\frac{-a^{3}}{27}}<b<\sqrt{\frac{-a^{3}}{27}}

questo significa:

2a\left(\sqrt{-\frac{a}{27}}\right)+b<0 (punto di massimo)

-2a\left(\sqrt{-\frac{a}{27}}\right)+b>0 (punto di minimo)

In questo caso le soluzioni sono tre. Quindi  la condizione:

27b^{2}+4a^{3}<0

unitamente al fatto che a<0 è sufficiente per creare l'isola. Nei casi in cui invece non c'è l'isola, o il massimo è negativo, oppure il minimo è positivo.

Nel caso che il minimo sia zero,  avremo:

2a\left(\sqrt{-\frac{a}{27}}\right)+b=0

ovvero 2a\left(\sqrt{-\frac{a}{27}}\right)=-b

ma 2\sqrt{\frac{(-a)^{3}}{27}}=\sqrt{\frac{(-a)^{2}(-a)}{27}}=2a\sqrt{\frac{(-a)}{27}}

2\sqrt{\frac{(-a)^{3}}{27}}=-b

se elevo al quadrato ottengo:

4\frac{(-a)^{3}}{27}=b^{2}

ovvero

27b^{2}+4a^{3}=0

se qualcuno ha letto questo articolo questa è proprio la condizione di singolarità: abbiamo un nodo.

deltazero
In blue il polinomio f(x); in rosso la curva ellittica; quando il polinomio si azzera nel minimo e il massimo è positivo abbiano in totale due soluzioni

 

Nel caso invece che sia il massimo nullo, vediamo graficamente che abbiamo due soluzioni;la situazione è questa;L'isola si riduce a un punto! Ance in questo caso 27b^{2}+4a^{3}=0.

caso000000
In blue il polinomio f(x); in rosso la curva ellittica; quando il polinomio si azzera nel minimo abbiano in totale due soluzioni

Riassumiamo graficamente gli altri casi:

minimo negativo massimo positivo:

deltanegativo
minimo negativo:tre intersezioni

minimo positivo:

nel caso il minimo sia positivo abbiamo solo due intersezioni con l'asse delle x

 

massimo negativo

massimonegativo

 

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