15/03/18

QUIZ geometrico: un parallelogramma tagliuzzato **

In attesa che Peppa faccia la sua tanto attesa ricomparsa (si sta facendo bella...), beccatevi questo quiz geometrico. Qualsiasi strategia è accettata, ma l'eleganza è sempre premiata...

Il quiz è molto semplice e viene espresso chiaramente dalla figura che segue, dove abbiamo un parallelogramma qualsiasi che è stato tagliuzzato da molte linee. Esse individuano alcune parti colorate in azzurro le cui aree sono state chiamate  a, b, c, e sono considerate note. Si chiede semplicemente di esprimere l'area incognita x (del triangolo colorato in rosso) in funzione  delle quattro aree note (a,b,c,d).

Qualsiasi tipo di approccio (algebrico, trigonometrico o puramente geometrico è ammesso).

Eleganza, però, eleganza....

paralle

 

QUI la soluzione

10 commenti

  1. Arturo Lorenzo

    Suppongo che la posizione dei vertici dei triangoli c e d sui lati DC e BC sia casuale, come pure il vertice del triangolo rosso sul lato AB. Giusto ?

  2. Maurizio Bernardi

    Indico con:

    B' il punto tra A e B

    C' quello tra B e C

    D' quello tra C e D

    Posiziono ad hoc uno di questi punti in modo da azzerare alcune aree e valuto ogni volta l'area incognita che chiamo x.

    1 . solo B' va in B : azzero le aree b,d

    X=a+c     Due triangoli opposti ad un vertice, di uguale area

    2 . solo C' va in  B: azzero b,c

    X=0 = a-d

    3. Solo D' va in D: azzero a,d

    X+b=c.  da cui x=c-b

    Conosco ora i segni dei singoli contributi che danno x

    X= a-b+c-d

    Parto da +a , ruotando in senso orario e alternando i segni + e -

    Al momento non posso inserire immagini ma penso si capisca il ragionamento.

  3. Maurizio Bernardi

    Più velocemente, indico con C' il punto tra B e C.

    L'area di  AC'D è pari all'area esterna ad AC'D

    La somma delle aree interne equivale alla somma delle aree esterne.

    Interne: a,c       Esterne: x,b,d

    Quindi,  a+c =x+b+d     da cui ho x

    X= a+c-b-d

  4. Maurizio Bernardi

    Aree rosse R . Gialle G . Verdi V . Blu B

    R+G = V+B.   evidente

    R-V=B-G .      e inoltre...

    R+V=B+G .      sommando...

    2R=2B.          Quindi . R=B .    e .  G=V

    V . vale     X+ b +d .      G vale .a+c

    X+b+d = a+c .     X= a+c -b-d

  5. Caro Sig. Mau,

    sarebbe così gentile da spiegare perché certe aree sono uguali... cerchi di essere più terra-terra... :wink:

  6. leandro

    E nel caso in cui il parallelogramma fosse un quadrilatero qualsiasi?

  7. e perché no? provaci Leandro... :wink:

  8. maurizio bernardi

    Aree Rosse R .Verdi V .Gialle G . Blu B

    R+G = V+B.   Perchè....

    AC'D ha area uguale alla somma di BAC'+ C'DC perchè le altezze sono uguali e la base AD =BC'+C'C.

    R-V=B-G .    semplice algebra...

    e inoltre...

    R+V=B+G .   Perchè....

    I due triangoli.  Rosso-verdi hanno la stessa altezza dei due triangoli giallo-blu ed inoltre le due coppie hanno come basi due lati orizzontali (identici) del parallelogramma.

    sommando... membro a membro

    R-V .+R+V .=  B-G .+B+G .  Ossia...

    2R=2B.

    Quindi . R=B .

    e ,  dato che .R+G = V+B , risulta.  G=V

    V.  vale     X+ b +d .    e       G vale     a+c

    Sostituendo questi valori, ottengo:

    X+b+d = a+c

    Ricavo quindi x in funzione di abcd...

    X= a+c -b-d

  9. grazie mio caro... sempre molto gentile... :-P

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