Mi riferisco al quiz di Umberto “appendice di whatsapp” e al mio che da esso ha preso spunto, che ha posto un problema di fondo che riguarda la maggior parte di questi problemini che invadono il web e che spesso fanno parte dei test attitudinali e dei concorsi pubblici. Esiste una vera soluzione? E che tipo di soluzione si cerca?

Facciamo un esempio terra-terra

2

2+2

(2+2) -2

((2+2)-2) x2

…. ?

Quale potrebbe essere la linea successiva.

La risposta più ovvia potrebbe essere:

(((2+2)-2)x2): 2

Ma potrebbe anche essere…

(((2+2)-2)x2)²

In generale, molti quiz presuppongono solo di capire la logica (più o meno soggettiva, a volte) che lega le relazioni presentate e, sulla base di quella, trovare un risultato plausibile per quella successiva. Punto e a capo. Forse c’è un po’ di logica, ma poco o niente di matematica.

Personalmente, trovo molto più interessanti i quiz dello stesso tipo in cui si chiede quale tipo di serie logica  si nasconde nelle relazioni presentate. In tale modo non solo si risolve la relazione richiesta, ma si possono calcolare tutti i termini della serie siano essi precedenti o successivi a quella evidenziata. Mi ricorda molto l’approssimazione del pi greco…

Una cosa è trovare una relazione che dia un valore approssimato del celebre numero e un’altra è trovare una serie di operazioni che di volta in volta approssimino meglio un numero senza fine. Archimede con l’esaustione fa qualcosa del genere e quindi il suo salto qualitativo rispetto a quanto fatto prima è enorme. Un ulteriore passo decisivo si avrà con l’introduzione di serie convergenti e/o col passaggio al limite.

Torniamo al nostro quiz e vediamo di risolverlo con i due metodi proposti…

Metodo “locale”

 1 + 4 = 5

2 + 5 = 12

3 + 6 = 21

8 + 11 = ?

Una prima possibilità è quella di eseguire la seguente operazione: moltiplica tra loro i due termini (della “somma” simbolica) e aggiungi il primo termine, ossia ab + a

Funziona? Sembra proprio di sì…

 1 x 4 + 1 = 5

2 x 5 + 2 = 12

3 x 6 + 3 = 21

Da cui:

8 x 11 + 8 = 96

E potremmo fermarci qui, senza preoccuparci se esistono termini successivi o precedenti a quello richiesto, ossia se siamo di fronte a una serie o un puro esercizio di logica numerica.

Ma esiste anche un altro tipo di algoritmo che sembra funzionare molto bene: prendi il risultato della prima riga e sommalo alla seconda. Il segno più è proprio un segno più, ma si nasconde del tutto la somma del risultato precedente. Applichiamolo al nostro caso:

1 + 4 = 5

5 + 2 + 5 = 12

12 + 3 + 6 = 21

21 + 8 + 11 = 40

Un algoritmo diverso e un risultato diverso. Sembrerebbero validi tutti e due, ma solo e soltanto se ci limitiamo a una visione locale e parziale.

Metodo “generale”

 Non solo vogliamo trovare l’algoritmo che ci permette di risolvere la relazione proposta come quiz, ma anche cercare di costruire (se possibile) una serie basata sull’algoritmo trovato, ossia prevedere i termini successivi e (eventualmente) quelli mancanti.

Il primo approccio precedente sembra essere molto promettente. Come ha sintetizzato bene Andy, la relazione generica può essere scritta come:

k x (k +3) + k = k² + 4k    con  (k = 1,n)

Proviamo…

1 + 4 = 5                                k = 1

4 + 8 = 12                              k = 2

9 + 12 = 21

16 + 16  = 32

25 + 20 = 45

36 + 24 = 60

49 + 28 = 77

64 + 32 = 96                           k = 8

81 + 36 = 117

….

Passiamo adesso al secondo algoritmo, quello che sembrava dare come risultato 40.

Per essere veramente semplici svolgiamo i calcoli in modo elementare:

1 +1 + 3 = 5

(1 + 1 + 3) +2 + 2 +3 = 12

(1 + 1 + 3 +2 + 2 +3)  + 3 + 3 + 3 = 21

Si può trovare un termine ricorrente?

Scriviamolo così:

(1+ 1 + 3) + (2 + 2 + 3) + (3 + 3 + 3) = (1+1) + (2+2) + (3+3) + (3 +3 +3)

Per k = 1,n si può scrivere:

Σ_1,n(2k) + k3

2 Σ_1,n(k) + k3

Ma è facile ricordare che:

Σ_1,n(k) = n(n + 1)/2

Il termine k-esimo vale quindi:

k(k+1) + 3k

Proviamo?

1x(1+1) + 3x1 = 5                         k = 1

2x(2+1) + 3x2 = 12                     k = 2

3x(3+1) + 3x3 = 21

4x(4+1) + 4x3 = 32

5x(5+1) + 5x3 = 45

6x(6+1) + 6x3 = 60

7x(7+1) + 7x3 = 77

8x(8+1) + 8x3 = 96                     k = 8

9x(9+1) + 9x3 = 117

…………….

Abbiamo trovato un termine ricorrente che permette di ottenere lo stesso risultato (96) anche nel caso in cui si era arrivati (erroneamente) a 40.

Beh… la faccenda è abbastanza ovvia se paragoniamo i due termini ricorrenti:

k² + 4k

e

k(k+1) +3k = k² + 4k

Il termine ricorrente è lo stesso, come è lo stesso l’algoritmo usato.

L’ambiguità tra 40 e 96 non esiste, in realtà. Basta cercare una serie che dia continuità a entrambi i metodi “locali” utilizzati…

Possiamo dire che la soluzione è 96? Probabilmente sì… sempre che non si trovi un altro algoritmo che porti a una serie continua e a un risultato diverso… Se qualcuno ci riesce lo inserisca pure nei commenti!