14/11/18

Il peso su un pianeta qualsiasi **

Questo articolo è stato inserito nella pagina d'archivio "Dinamica e Meccanica", in Fisica Classica.

Un pianeta davvero interessante...
Un pianeta davvero interessante...

Un piccolo esercizio di meccanica classica per i nostri amici  astronauti sempre in giro per conoscere le meraviglie dell'Universo. Un problema, tuttavia, che viene normalmente affrontato anche nella realtà.

I nostri amici astronauti stanno navigando all’interno di un sistema planetario praticamente sconosciuto. Vedono diversi pianeti molto invitanti, ma, prima di scendere su di loro, vorrebbero sapere le condizioni che troverebbero una volta giunti al suolo. In particolare quanto vale l’accelerazione di gravità, da cui dipende il loro peso.

Fortunatamente, il più attraente, ha anche un satellite in orbita perfettamente circolare. L’unica cosa che conoscono i nostri amici è la distanza tra loro e il pianeta. Sono, comunque muniti di una strumentazione minima, tale da permettergli di misurare angoli anche molto piccoli.

Come devono sistemare la loro astronave (senza avvicinarsi troppo per non consumare carburante) e quali calcoli devono fare per trovare rapidamente l’accelerazione di gravità del pianeta ? Tralasciamo la figura, altrimenti la risposta diventa veramente ridicola…

Basta applicare due volte la legge di gravitazione universale che conoscono molto bene…

Senza avvicinarsi troppo (la strumentazione è più che buona per misurare angoli piccoli), i nostri amici sistemano l’astronave in modo da semplificare la visione dell’orbita del satellite. In altre parole, la direzione pianeta-astronave è perpendicolare al piano orbitale del satellite, come mostrato nella Fig. 1. Tutto diventa piuttosto facile. In particolare, misurare l’angolo β sotteso dall’orbita (circolare) di raggio r del satellite (basta misurare l’angolo tra centro del pianeta e satellite) e l’angolo α sotteso dal diametro del pianeta (2R).

Figura 1
Figura 1

Conoscendo la distanza d (pianeta-astronave) è immediato calcolare il raggio r dell’orbita del satellite e il raggio R del pianeta

R = d tan (α/2)

r = d tan (β)

L’orbita del satellite è ben osservabile e non è difficile dedurre il periodo P in cui viene completata.

Se un satellite di massa m è in orbita attorno a un pianeta di massa M sappiamo benissimo quale legge deve seguire: quella di gravitazione universale. La forza a cui è soggetto il satellite è data da:

F = maS = GMm/r2

aS = GM/r2

l’accelerazione as non è altro che l’accelerazione di gravità calcolata alla distanza r. Essa deve pareggiare l’accelerazione centrifuga, per cui:

GM/r2 = ω2r       …. (1)

La velocità angolare ω è conosciuta, dato che è conosciuto il periodo P, e vale la ben nota relazione:

ω = 2π/P

Dalla (1) possiamo ricavare GM (costante):

GM = ω2r3              …. (2)

Immaginando soltanto, adesso,  di scendere sul suolo del pianeta. Possiamo dire che anche chi si trova in quella posizione è soggetto alla gravità del pianeta: cambia solo la distanza dal centro, che adesso è R.

Risulta allora:

aP = GM/R2

aP = g è proprio l’accelerazione di gravità che vogliamo trovare. Scriviamo allora:

GM = gR2

Ricordando la (2) possiamo uguagliare le due espressioni e ottenere, infine:

g = ω2r3/R2

Un calcolo che si può fare, ovviamente, senza scendere al suolo.

Tutto OK? Bene, adesso possiamo atterrare (o applanetare ?) senza rischiare...

9 commenti

  1. Guido

    Se invece il pianeta non avesse alcun satellite potrebbero usare l'astronave stessa e rilevare il valore di d in due momenti diversi lasciando l'astronave in caduta libera per un intervallo di tempo predefinito?

  2. caro Guido,

    potresti spiegare meglio i passaggi in modo che tutti possano seguire il tuo ragionamento ?

    Grazie :wink:

  3. Guido

    Misuro d1 (distanza dal pianeta) all'istante t1 (l'astronave ha velocità v1), poi misuro d2 all'istante t2 (l'astronave ha cambiato la sua velocità, che è divenuta v2 per via della caduta libera, nessun'altra accelerazione viene imposta dai sistemi a bordo). Poi utilizzo la relazione 2a(d2-d1)=v22 - v12  da cui ricavo a.

    Funziona?

  4. Guido

    Pedici ed elevamenti al quadrato li ho messi ma al mio pc  vedo che nel testo non si distinguono. Cmq v22 sta per v2 al quadrato e v12 per v1 al quadrato

  5. ma l'accelerazione cambia continuamente... a noi interessa quella al suolo...

    aP = g = GM/R2

  6. Guido

    Ripetendo la manovra più volte e avvicinandomi al pianeta non dovrei poter ricostruire il campo gravitazionale?

  7. Teoricamente, la vera incognita è la massa M. Ricavando l'accelerazione dalla variazione di velocità in funzione del tempo è possibile avere un'idea di M. A quel punto si ricava l'accelerazione al suolo...

    Ma è un sistema che va molto meglio se eseguita su un oggetto che cade e non su noi stessi che cadiamo...

  8. Giorgio

    Grazie Enzo per la "sveglia" mattutina!; equivalente, per il cervello, ad una bella camminata in campagna.

    Questi problemi pratici e sintetici, sono molto utili per cementare le regole "base", e permettono di ritornarci sopra facilmente in caso di dubbi...

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