lacomics.org
postyourgirls.webcam
23/07/19

Soluzione al quiz dei tre muri **

Le (poche) risposte arrivate hanno fatto subito capire che diverse sono le vie di soluzione e che molto importante è la scelta dell'origine degli assi. Proponiamo tutte e tre le risposte (compresa la mia), lasciando a voi la scelta della più elegante e immediata (anche se sembrano del tutto equivalenti)...

Soluzione di Enzo

Riporto subito la figura relativa al problema, che ci servirà per tutte le risposte:

gittata

Io ho preso l'origine in OE in modo da potere scrivere l'equazione della parabola nella forma (la concavità è verso il basso, da cui il segno meno davanti ad a):

y = - ax2 + bx            .... (1)

La parabola passa per l'origine, per cui c = 0

Mi servono le coordinate di almeno due punti della parabola per scriverne l'equazione. Tuttavia, possiamo fare alcune considerazioni. La prima è quella di legare i coefficienti a e b alla gittata G.

Basta imporre y = 0 all'equazione (1)

0 = - ax2 + bx = x (b - ax)

La soluzione x = 0 la conosciamo già (origine); la seconda soluzione dà proprio la gittata, ossia la distanza dall'origine del secondo punto in cui si annulla la y.

ax - b = 0

x = G = b/a

Possiamo allora scrivere l'equazione della parabola in funzione non di x , ma della gittata G. Basta dividere tutto per a e si ottiene:

y/a = - x2 + G x  = x (G - x)         .... (2)

Il primo punto per cui vogliamo far passare la parabola ha ordinata h, ma qual'è la sua ascissa? E' facilissimo ricavarla dai dati del problema. Il primo e il terzo muro hanno la stessa altezza h, il che vuole dire che, per simmetria della parabola, la distanza tra l'origine e il primo muro deve essere uguale alla distanza tra il terzo muro (che ha la stessa altezza h) e il punto di caduta.

Chiamiamo x1 questa distanza. Abbiamo:

G = x1 + 3d + x1

da cui:

x1 = (G - 3d)/2

y1 = h

Il secondo punto (secondo muro) in cui far passare la parabola ha un ascissa pari a x1 + d (dato del problema), perciò:

x2 = x1 + d =  (G - 3d)/2 + d = (G - 3d +2d)/2 = (G - d)/2

y2 = (15/7)h

Inserendo i due punti così determinati nell'equazione della parabola (2), si ottiene il sistema

h/a =  x1(G - x1) = (G - 3d) (2G - G + 3d)/4 = (G - 3d)(G +3d)/4 =  (G2 - 9 d2)/4

(15/7)(h/a) =   x2 (G - x2) = (G - d) (2G + d - G)/4 = (G2 - d2)/4

Moltiplichiamo entrambe le equazioni per 4 e otteniamo:

4h/a = G2 - 9d2

(15/7)(4h/a) = G2 - d2

Moltiplichiamo la seconda  per 7/15

4h/a = G2 - 9d2

4h/a = 7(G2 - d2)/15

Essendo uguali i primi membri devono esserlo anche i secondi, per cui:

G2 - 9d2  = (7G2 -7d2)/15

15 G2 - 135 d2 = 7G2 - 7d2

8 G2 = 128 d2

G2 = 16 d2

G = 4d

Risultato del tutto indipendente da h.

Soluzione di Leandro

Se spostiamo gli assi cartesiani in modo che l'asse y passi per il vertice della parabola, la sua equazione diventa, per ragioni di simmetria:

y = - ax2 + c  .... (1)

Le due radici (y = 0) sono simmetriche rispetto all'asse y e si ottengono risolvendo

x= c/a .

La gittata G è, perciò, proprio la distanza 2 √(c/a).

Analogamente a quanto fatto nella soluzione precedente, troviamo le coordinate di due punti per i quali deve passare la parabola.

Dato che la distanza tra il primo muro e il terzo è data da

2d + d = 3d    (dato del problema)

e l'ordinata è la stessa, ne consegue che l'asse delle y deve essere equidistante dai due muri, per cui possiamo scrivere le coordinate relative al punto del primo muro

x1 = - 3d/2

y1 = h

Calcoliamo le coordinate del secondo muro, di altezza y = 15h /7

Sappiamo che la distanza tra il primo muro e il secondo è uguale a d, per cui ne segue che l'ascissa del secondo muro deve essere

x2 = x1 + d = - 3d/2 + d = - d/2

Sostituiamo le coordinate di questi due punti nell'equazione (1)

h= - a (- 3d/2)+ c  = a (3d/2)2 + c

15h/7 = -a (-d/2)2 + c = a(d/2)2 + c

Dividendo entrambe le equazioni per c, otteniamo:

h/c = (a/c) (9d2/4) + 1

(15/7)(h/c) = ad2/4 + 1

e, moltiplicando la seconda per 7/15,

h/c = (a/c) (9d2/4) + 1

h/c = (7/15)(a/c)(d2/4) + 7/15

Essendo uguali i primi due membri devono essere uguali anche i secondi, per cui:

(a/c) (9/4) d2 + 1 = (7/15)(a/c)(1/4)d2 + 7/15

(a/c) (7/60 - 9/4) d2 = 1 - 7/15

(a/c)(-128/60)d2 = - 8/15

(a/c) d2 = (- 8/15)(- 60/128) = 1/4

a/c = 1/(d2)4

c/a = 4d2

G = 2 √c/a = 2√(4d2) = 4d

Soluzione di Arturo

Ci siamo messi nella situazione più generica, non facendo passare la parabola per l'origine (prima soluzione) e nemmeno con l'asse y passante per il vertice (seconda soluzione), dove le intersezioni sono equidistanti, ma opposte come segno. Ne consegue che l'equazione deve essere presa senza alcuna semplificazione.

y = ax2 + bx + c          .... (1)

L'origine viene posta in modo che l'asse y coincida con il primo muro.

Poiché il proiettile passa per per il punto più alto dei tre muri, la parabola passerà per i punti:

A = (0, h)

B = (d, (15/7) h)

C = (3d, h)

Sostituendo ciascun punto nella (1) si ottiene un sistema di 3 equazioni in tre incognite che permette di trovare i coefficienti a, b e c . In realtà, la prima equazione permette immediatamente di porre h = c (le equazioni diventano solo due). Alla fine si ottiene l'equazione della parabola:

y=-\frac{4}{7}\frac{h}{d^{2}}x^{2}+\frac{12}{7}\frac{h}{d}x+h          (1)

Per trovare la gittata bisogna  cercare i punti della parabola con ordinata nulla, che, ovviamente, sono due, imponendo y=0 nella suddetta equazione (e già così si vede che, potendo eliminare la h, la soluzione del problema è indipendente dall'altezza dei muri). Risolvendo la conseguente equazione di secondo grado in x, alla fine si trova:

x1 = - (1/2) d

x2= (7/2) d

La gittata sarà data dalla somma dei valori assoluti delle due suddette ascisse:

G = 1/2 d + 7/2 d = 4d

Io direi che i tre metodi possono considerarsi equivalenti.

Un dovuto "bravo!" anche a Michele che risolve uno dei punti fondamentali, considerando l'asse di simmetria della parabola (come fatto da Leandro):

"I punti posti ad altezza h del primo e terzo muro sono simmetrici rispetto all'asse di simmetria  della parabola che passa per essi e per il punto posto ad altezza 15/7 h.

Dai dati del quiz i punti alti del primo e terzo muro distano dall'asse di simmetria (d+2d)/2 = 3/2 d. Se il cannone fosse posto alla sommità del primo muro la gittata G sarebbe 3/2d + 3/2d = 3d.

La gittata è maggiore.

La distanza del secondo muro (quello alto 15/7 h) dall'asse di simmetria è 3/2d - d = 1/2 d"

Dopo di che risolve il tutto graficamente (bastava che imponesse il passaggio della parabola per due punti...) e trova la soluzione esatta. Un esercizio non completato analiticamente, ma che ha permesso di pensare e di trovare il nocciolo del problema.

Prima di lasciarvi, voglio ricordare che questo problema è stato dato all'Università di Dublino. E viene anche riportata la soluzione che è tutto fuorché semplice. Anzi si complica inutilmente la vita. Per pura curiosità voglio riportarla velocemente...

Soluzione "irlandese"

L'origine è preso nel primo punto in cui y = 0 (come nella nostra prima soluzione)

y = ax − bx2         .... (1)

G =nd     è la gittata, espressa come un numero moltiplicato per d.

Si ottiene la prima relazione: ponendo y =0 nella (1)

a - bx = 0

x è proprio la gittata, per cui:

a = bnd                    .... (2)

La gittata vale anche

G = nr = c + d +2d + c

da cui:

c = (n−3) (d/2          .... (3)

c è la distanza tra l'origine e il primo muro che deve anche essere uguale alla distanza tra il terzo muro e il punto di caduta del proiettile.

La traiettoria passa per i tre punti di coordinate (c,h), (c+d, (15/7)h) e (c+ 3r, h)

Inserendoli nella equazione della parabola si ottiene:

h = ac − bc2           .... (4)

15h/7 = a(c+d) − b(c+d)2           .... (5)

h = a(c+3d) − b(c+3d)2                .... (6)

Combinando tra loro le (2), (3), (4), (5) e (6) si ottiene un sistema di 5 equazioni che risolto dà:

n = 4

Tutto giusto, ovviamente... ma perché complicarsi la vita inserendo delle incognite che tali non sono? E' un po' lo stile inglese... forse. In ogni modo... Italia-Irlanda 2-0 (almeno)!

 

3 commenti

  1. Arturo Lorenzo

    Nel mio caso, in realtà, la prima delle 3 equazioni del sistema, dettata dal passaggio della parabola per il punto A(0,h), restituisce banalmente h=c. Per cui l'incognita c è immediatamente determinata. Restano le altre 2 equazioni nelle altrettante incognite a e b. Alla fine, contando i passaggi necessari per arrivare alla soluzione nei tre casi (mio, Enzo e Leandro) , mi pare che esse siano confrontabili.

    Allego qui l'immancabile schematizzazione del problema con geogebra , per ora solo un'immagine statica, appena posso carico il file sul server di geogebra così chiunque potrà far variare l'altezza dei muri e vedere che la gittata resta la stessa. In pratica, essa dipende solo dal rapporto tra l'altezza dei muri, non dalla loro altezza in assoluto. Forse, partendo da questa constatazione, potrebbe esserci una quarta soluzione ancora più veloce. Chissà.

     

  2. sono perfettamente d'accordo con te... in realtà, sono perfettamente paragonabili ed è interessante aver mostrato come il cambiamento di origine modifichi la trattazione. Vado a correggere...

  3. fatto Arturo! E poi, nella versione finale inserita come problema e non come quiz, vedremo di inserire anche la nuova figura manipolabile...

Lascia un commento

*

:wink: :twisted: :roll: :oops: :mrgreen: :lol: :idea: :evil: :cry: :arrow: :?: :-| :-x :-o :-P :-D :-? :) :( :!: 8-O 8)

 

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.

shemale777.com vrpornx.net kinkydom.net