2/08/19

Soluzione del quiz del soldato sul laghetto

Il quiz, pur se leggermente romanzato, è uno dei tipici esercizi di Fisica classica che si incontrano quando si studia la quantità di moto. In particolare, la legge di conservazione della quantità di moto nel caso di sistemi isolati. Il sistema costituito, nel nostro caso, dalla barca con sopra il soldato e dall'ambiente circostante (acqua del laghetto e aria intorno alla barca), poiché veniva ipotizzato l'assoluta trascurabilità degli attriti tra barca e acqua come pure della resistenza dell'aria, può essere considerato un sistema isolato. Per esso, dunque, vale la legge di conservazione della quantità di moto. Basta , allora, applicare in formule tale legge tra l'istante iniziale , quando tutto è immobile, e l'istante finale, quando la barca dovrebbe potersi muovere verso riva con una certa velocità. A questo punto, come far muovere la barca ? In tutte le risposte è stato pensato allo sparo , in orizzontale, dell'ultimo colpo in canna nel fucile del soldato. Vediamo.

La massa del proiettile era m=4 g = 0,004 kg. La massa del sistema barca+soldato+fucile con il colpo in canna era 160 kg. All'istate di tempo iniziale è tutto fermo, quindi la quantità di moto del sistema è zero. Per la legge di conservazione della quantità moto, tale deve restare anche all'istante di tempo finale. A tale istante di tempo avremo il proiettile che parte orizzontalmente dal fucile, quindi separandosi dal sistema barca+soldato+fucile,  con velocità di sparo vs pari a 920 m/s (valore agevolmente rintracciabile da una ricerca in rete, utilizzando la marca e il modello del fucile). La massa residua del sistema barca+soldato+fucile sarà , quindi, 160 kg - 0,004 kg = 159,996 kg. Tale sistema, in virtù della legge di conservazione della quantità di moto, inizia a muoversi con una certa velocità v, avente la stessa direzione ma verso opposto a quella di sparo del proiettile, e di modulo che dobbiamo calcolare applicando in formule la legge di conservazione della quantità di moto:

m * vs = (M-m) * v

da cui:

v=\frac{m}{M-m}v_{s}       (1)

Sostituendo i valori otteniamo:

v = 0,0230006 m/s

che possiamo tranquillamente approssimare a 0,023 m/s . A quest'ultimo valore si giungeva trascurando la massa del proiettile rispetto a quella del sistema. Ma, nella generalità dei casi, in cui magari abbiamo masse in gioco più importanti, la formula corretta è in effetti la (1).

A fronte di una velocità acquisita a seguito dello sparo del proiettile dal sistema barca+soldato+fucile , vediamo ora quanto tempo passerà prima che la barca arrivi a riva. In tal caso, essedo trascurabili gli attriti, il moto è quello rettilineo uniforme e il tempo ce lo ricaviamo dalla nota formula della velocità:

v=\frac{\Delta s}{\Delta t}

da cui:

\Delta t = \frac{\Delta s}{v}

in cui \Delta s = 100m (raggio del laghetto) e v = 0,023 m/s. Pertanto:

\Delta t = 4348 s ossia , dividendo per 60, circa 72,5 minuti, ossia un'ora e 12,5 minuti. Considerato che l'orario dato dal problema era le 02:30, con lo sparo in orizzontale dell'ultimo colpo in canna nel fucile, quindi, il soldato riesce ad arrivare a riva prima dell'alba.

Ma.... Che dire se, al posto di sparare l'ultimo colpo in canna del fucile, il soldato lanciasse manualmente tutto il fucile, con il colpo in canna, in direzione orizzontale ? E' vero, ammesso che riesca ad arrivare a riva, dopo sarebbe chiamato dallo Stato a rimborsare il costo del fucile e , forse, verrebbe sanzionato in qualche modo che ora non conosco, ma in questo modo eviterebbe di  spaventare  le tante specie animali che riposano nei dintorni del laghetto e chissà, anche di allertare con lo sparo il nemico..  Dalla solita ricerca veloce in rete si evince che la massa di un Beretta AR 70/90 è di circa 4,7 kg. Una persona adulta normalmente abile può di sicuro lanciare orizzontalmente una tale massa. A quale velocità ? Una velocità di 2 m/s appare sicuramente ragionevole. Riapplichiamo, allora, la legge di conservazione della quantità di moto, tenendo presente che, stavolta, la massa che si separa dal sistema è quella dell'intero fucile con il proiettile, non solo quella del proiettile. Riapplichiamo la (1):

v=\frac{4,730+0,004}{160-(4,730+0,004)}2 m/s = 0,061 m/s

In pratica, lanciando orizzontalmente il fucile, il soldato imprime alla barca una velocità quasi tripla rispetto al caso dello sparo del proiettile, giungendo così a riva in un tempo pari a circa 1640 s, cioè circa 27 minuti ! Alle 03:00 il soldato sarà già a riva.

Una aggiunta divertente.

Per visualizzare la situazione senza rischiare arresti per uso di armi da guerra o disturbo della quiete pubblica, ho elaborato un semplice modello virtuale utilizzando Algodoo, un software di modellazione di esperimenti di Fisica nel piano. Il video che segue ne è il risultato. Il corpo orizzontale nero al centro sarebbe il sistema barca+soldato+fucile... Il cerchietto giallo a sinistra, adagiato sul corpo nero, rappresenta l'oggetto che viene lanciato via dal soldato. Poiché non è possibile modellare il lancio manuale di un oggetto, ho fatto in modo che il cerchietto , semplicemente cadendo senza attrito sulla superficie nera a quarto di cerchio , acquisti velocità. Quando il cerchietto arriva al bordo sinistro , la sua velocità sarà orizzontale e in quel momento esso si separerà dal resto del sistema. Si vede dall'animazione che in quell'istante di tempo anche il corpo nero si mette a muoversi verso destra , lentamente, considerata la sua notevole massa rispetto a quella dell'oggetto lanciato. Nei due diagrammi dinamici visibili nel video sono rappresentati l'andamento nel tempo della velocità orizzontale del sistema (a destra) e della velocità dell'oggetto che viene lanciato (a sinistra). Naturalmente, sarebbe molto meglio fare un esperimento direttamente in laboratorio di Fisica, ma in mancanza...  :-)

Grazie a tutti coloro che hanno risposto al quiz o che lo hanno soltanto letto.

 

 

 

 

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