28/08/19

Scivolando su una sfera **

Un problema classico che vale, però, la pena di richiamare: calcolare il punto di caduta di una particella lasciata libera di scivolare su una sfera di raggio R sotto l’effetto della sola gravità terrestre. Un giochino  che non è del tutto intuitivo.

La Figura illustra ogni passaggio necessario al problema.

sfera

Analizziamolo, cominciando a definire le forze a cui è soggetta la particella di massa m. Essa subisce la gravità della Terra e questa forza è diretta verso il basso. L’accelerazione  la chiamiamo, ovviamente g.

Fg = m g

Inoltre, la particella si nuove di moto circolare attorno al centro C della sfera e subisce una forza centripeta che vale:

Fc = m ac

La prima forza è diretta verso il basso, mentre la seconda è diretta verso il centro della sfera.

La forza di gravità può essere scomposta in due componenti: una tangente alla sfera e una diretta verso il centro. Basta un po’ di trigonometria banale per trovare che la componente radiale, FgR, diretta verso il centro, è data da:

FgR= m g cosϑ

Cosa tiene la particella a contatto della sfera è la risultante delle forze che agiscono in senso radiale. La componente tangenziale (dovuta solo alla gravità) è proprio quella che vuole farla scappare per la tangente.

In altre parole, chi comanda è la differenza:

mg cosϑ – mac

La particella se ne va per la tangente quando:

mg cosϑ – mac = 0

Ossia:

g cosϑ = ac

E, ancora:

cosϑ = ac/g    …. (1)

La massa m della particella è già scomparsa e ciò vuol dire che poteva essere qualsiasi. Comunque resta ancora g che è legata strettamente alla massa della Terra.

Non ci resta che utilizzare la solita conservazione dell’energia del sistema. L’energia totale è data dalla somma dell'energia potenziale e dell'energia cinetica:

E = Ecin + Epot

Prima che la particella si muova l’energia è solo potenziale:

E = 0 + Epot = mgh

Quando la particella se ne va per la tangente, l’energia è solo cinetica:

E = Ecin + 0 = ½mv2

Ma l’energia si deve conservare, perciò:

½mv2 = mgh

Ossia

v2 = 2gh  …. (2)

Sappiamo però dalla cinematica del moto circolare che:

ac = v2/R    (l’abbiamo già ricavata varie volte)

Andiamo a sostituire questo valore nell’espressione del coseno (1)

cosϑ = ac/g = v2/Rg

La (2) ci regala il valore di v2 e, sostituendo, si ha:

cosϑ = 2gh/Rg = 2h/R    …. (3)

Accidenti, è sparita anche l’accelerazione di gravità e, quindi, la massa della Terra…

Proseguiamo…

Un po’ di geometria ci dice immediatamente che:

cosϑ = (R–h)/R

La (3) diventa:

(R–h)/R = 2h/R

E, infine:

h = R/3

Abbiamo trovato che la particella lascia la sfera sempre nello stesso punto, indipendentemente dalla massa della pallina e dalla massa della Terra. Tutto dipende solo dal raggio della sfera.

Potete sempre provare a casa…

6 commenti

  1. Frank

    Bellissima Enzo, non ti facevo anche prestigiatore. Questa avrei dovuto conservarla per la prossima gara con sponsor..........

  2. ciao Frankolino di monte...

    talmente prestigiatore che ho trovato tre bei porcini anche dove non dovevano nascere... Che mangiata ieri sera!!!

  3. Frank

    Ci credo, anche se quelli liguri non sono all'altezza di quelli piemontesi. Come li hai cucinati?

  4. Ti sbagli caro Frank detto anche l'Africano... Quelli liguri prendono l'aria di mare e sono giudicati più saporiti ( e poi erano anche sotto i faggi e quindi del tipo aureus, detti anche "testa nera", duri e sodi come pietre (e tutti sanissimi)). La testa del più grande fatta a fette e passata nella farina e fritta appena appena. Il resto in un bel sugo senza pomodoro...

  5. caro Gianluca (risposta pubblica per richiesta privata...),

    Siamo nelle stesse condizioni delle montagne russe. Bisogna stabilire un livello di altezza h dove si considera zero l'energia potenziale. Quello che conta è infatti la differenza di energia potenziale tra l'inizio e la fine della discesa. Nel punto più basso l'energia è solo cinetica (anche se l'energia potenziale rispetto a un livello più basso non è certo zero). Nel caso in oggetto, scegliamo come livello zero quello in cui la pallina si stacca dalla sfera. Niente cambia rispetto a prima... Ovviamente, potendo ancora scendere, la pallina dopo aver lasciato la sfera avrà una certa energia potenziale rispetto a un nuovo livello (quello, ad esempio, su cui è poggiata la sfera) e se ne può studiare il moto, tenendo conto che non vi è più forza centripeta.

  6. Gianluca

    grazie Enzo

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