4/09/19

QUIZ astronomico: Rallentamento della rotazione terrestre e coordinate delle stelle ***

Questo articolo lo devo all'amico Lampo che ha commentato (QUI) relativamente a un tizio che si considera un grande astronomo, ma che ha considerato, per le sue farneticazioni, un rallentamento della rotazione della Terra di 2 millesimi di secondo all'anno al posto dei reali 2 millesimi al secolo. Una bella differenza, non c'è che dire! A parte le sue "strane" conclusioni, che poco ci interessano (guai a seguire il web senza capacità di valutare), mi è venuto in mente un bel problemino che, prima di spiegarlo compiutamente, voglio proporre come quiz puramente astronomico.

Sappiamo, come appena detto, che la rotazione della Terra rallenta di circa 2 millesimi di secondo al secolo. Sembra, in realtà, una vera sciocchezza... Tuttavia, vi chiedo: Di quanto differirà l'angolo orario di una stella qualsiasi tra 1000 anni e tra 2000 anni rispetto a quello odierno, riferendo il tutto a un orologio sincronizzato con il nostro di adesso?

Vi chiedo inoltre che tutte le formule usate siano ricavate compiutamente (passaggio dopo passaggio).

Non ridete troppo... dato che questo tipo di calcolo è servito per stabilire il rallentamento della Terra a partire da  epoche antiche

Forza... non è difficilissimo, ma bisogna imboccare la strada giusta!

Grazie Lampo!

24 commenti

  1. Francesco

    Scusa, con 2 millesimi di secondo al secolo intendi dire:

    1. ogni secolo la terra impiega 2 millisecondi in più a fare un giro (secondo è l'unità di misura del tempo) oppure
    2. ogni secolo in 24h la terra fa 2 millisecondi in meno (secondo è l'unità di misura dell'angolo fatto)?

     

  2. Hai ragione Francesco... parliamo di tempo e non di angolo...

  3. Paolo

    Caro Enzo vediamo se ho ben compreso il quiz.

    La possibile soluzione la scrivo in colore bianco, così ognuno può provare a dare prima la sua risposta e solo dopo, evidenziando la parte in bianco, confrontarla con la mia (che potrebbe anche essere errata). :roll: 

    Dunque, se il ritardo nella rotazione terrestre è di 2 millesimi ogni secolo, in 1000 anni, ossia 10 secoli, il ritardo è di:

    2/1000 x 10 = 2/100 secondo, pari a  2 centesimi di secondo;

    in 2000 anni, ossia 20 secoli:

    2/1000 x 20 = 4/100 secondo,  pari a  4 centesimi di secondo.

    A questo punto vediamo di quanto si sposta apparentemente la volta celeste in 1 centesimo di secondo a causa della rotazione terrestre.

    La Terra per compiere un giro completo, ossia per ruotare su se stessa di 360°, impiega 24 ore (ho usato questo come tempo medio del giorno solare).

    Innanzitutto trasformo i gradi in secondi d’arco, ricordando che 1 grado è uguale a 60 minuti d’arco e 1 minuto d’arco è uguale a 60 secondi d’arco, per cui:

    360° = 360 x 60 x 60 = 1 296 000 ’’ (secondi d’arco)

    Ciò significa che in un giorno (24 ore), a causa della rotazione terrestre, la volta celeste (astri compresi) si sposta apparentemente di un angolo orario pari a 1 296 000 secondi d’arco (che equivalgono a 360°).

    Dopodiché trasformo le ore di 1 giorno terrestre (24 ore) in centesimi di secondi, ricordando che ogni ora è composta da 60 minuti, ogni minuto da 60 secondi e ogni secondo da 100 centesimi di secondo, per cui:

    24 x 60 x 60 x 100 = 8 640 000 centesimi di secondo.

    Ora è semplicissimo calcolare di quanto si sposta apparentemente la volta celeste in 1 centesimo di secondo, a causa della rotazione terrestre, basta dividere i secondi d’arco corrispondenti ad una rotazione completa (1296 000 ’’) per i centesimi di secondo contenuti in 1 giorno (8 640 000):

    1 296 000/8 640 000 = 0,15’’ secondi d’arco.

    Pertanto ogni centesimo di secondo, lo spostamento apparente della volta celeste è pari ad un angolo orario di 0,15 secondi d’arco.

    Ciò significa che ogni 2 centesimi di secondo lo spostamento è pari ad un angolo orario di:

    0,15 x 2 = 0,30” secondi d’arco  :roll: 

    Visto che il ritardo nella rotazione della Terra in 1000 anni è pari a 2 centesimi di secondo, questo corrisponderà ad uno spostamento apparente degli astri rispetto ad oggi di un angolo orario pari a 0,30’’ secondi d’arco.

    Ovviamene per i medesimi motivi in 2000 anni (ritardo di 4 centesimi di secondi) lo spostamento apparente degli astri sarà pari ad un angolo orario di:

    0,15 x 4 = 0,60” secondi d’arco  :roll: 

    Paolo

  4. Mi spiace Paolo, ma non ci siamo proprio...

    La velocità angolare deve subire un rallentamento. Ma la velocità angolare ci dice come varia un angolo con il tempo... Abbiamo bisogno di angoli  e non di tempo... In poche parole, è un moto di un certo angolo che non è costante... Non è un moto circolare uniforme...Cominciamo, quindi, a vedere come influisce quel rallentamento di tempo sulla velocità angolare diurna della Terra, ossia su come varia l'angolo in funzione del tempo, e poi vediamo cosa succede dopo 1000 anni.

    Purtroppo devo restare nel vago, altrimenti...

  5. Guido

    Buongiorno, mi sembra di capire che sia un moto che in sostanza subisce un'accelerazione negativa costante e tale da far sì che il medesimo angolo venga spazzato in un tempo che aumenta al tasso di 1/200 sec ogni 1000 anni.

    E' corretto o sono su una strada sbagliata?

  6. Guido

    Non 1/200 sec ogni 1000 anni ma 0,02 sec ogni 1000 anni

  7. Ripetiamo con maggiore chiarezza (in accordo con Guido) la Terra ruota sempre più piano. In poche parole, un punto sulla Terra si muove di moto circolare uniformemente decelerato. Oggi si considerano  86400 secondi per compiere un giro. Tra 100 anni ci vorranno 86400 secondi attuali più due millesimi di secondo attuali per compiere un giro. Il,  che vuole anche dire che, considerando come secondo quello attuale, anche in un solo anno il punto della Terra impiega un po' più tempo per finire il giro che tradotto in angolo è.... Se consideriamo una stella, dopo 86400 secondi di quelli attuali non ci troveremo più nella stessa posizione dell'anno prima e la stella apparirà leggermente spostata. Poco di certo... ma tra 1000 anni di quanto?

    Ci interessa trovare prima la decelerazione costante della velocità angolare...

    Ovviamente, non consideriamo la precessione...

  8. In poche parole... conosciamo la decelerazione misurata come tempo ma a noi interessa la decelerazione misurata come angolo.

  9. Francesco

    Se oggi facciamo un giro in 24h (86400s), abbiamo una velocità angolare ω0 pari a 1giro/24h (possiamo scrivere 360° al posto del giro, ma non cambia nulla).

    Fra 100 anni per fare un giro ci vorrà 24h+0,002s (86400,002 s), quindi la velocità angolare ω1 sarà 1giro/86400.002s, minore di ϖ0

    Se l'accelerazione è costante, essa risulta (ω1-ω0)/100anni, negativa, e anche piccolina: se non ho sbagliato i calcoli viene

    -4,840962 x 10^-6 gradi/anno^2

    Continua tu a condurre il gioco, che dal calcolo che ho fatto io mi risultano angoli di differenza della stella fissa attuale circa la metà di quelli che ricordavo dal liceo.

  10. Francesco

    Mannaggia a me: me lo scordo sempre (e mi costò una insufficienza al liceo).

    Nei calcoli se lasciamo giro, cambia tutto. Dobbiamo usare l'angolo in radianti, quindi 2π.

    Con questo l'accelerazione diventa:

    -3.04166 x 10^-5 gradi/anno^2

    Ora mi torna con quello che ricordavo

  11. ma a me non torna... francesco...

    Se poi lavori in gradi non vedo cosa c'entri 2pi... va bene 360... ma c'è ancora qualcosa che non torna...

  12. scusa, scusa credevo avessi scritto gradi/giorno2

    Comunque non mi torna... prova a farla al giorno e vediamo se i conti tornano...

     

     

  13. Francesco

    Ricapitolando: ho ragionato nel seguente modo

    r=2*10^-3 sec è il ritardo nel compiere un giro della terra che si accumula in 100anni (indicherò 1anno=y).

    Quindi al tempo t0 (oggi)=0 sec, faccio partire l'orologio di riferimento su cui vedrò la posizione angolare della stella di cui voglio misurare la variazione nel tempo.

    Chiamo α0 questa posizione angolare e per comodità metto il mio goniometro a zero (α0=0°).

    Inoltre mi ricordo che tutti i calcoli devono essere fatti con gli angoli in radianti, quindi 1 giro deve valere 2π.

    La velocità di rotazione al tempo t0 è pari a ω0=1giro/24h (ipotizzo che oggi ci vogliano esattamente 24 ore a compiere un giro)

    Se la terra continuasse a girare a velocità costante ω0, gli angoli che farebbe nel tempo sono

    αc(t)=α0+ω0*t ……..(eqz.1)

    Ma la terra rallenta con il ritardo r ogni 100 anni, quindi dopo 100 anni (t1) la velocità di rotazione è:

    ω1=1giro/(24h+r) < ω 0

    Ipotizzando che l'accelerazione sia costante, risulta:

    acc=(ω1-ω0)/(t1-t0)=-3.04166 x 10^-5 gradi/y^2 ……. (eqz.2)

    Da cui deriva che la velocità di rotazione nel tempo è:

    ω(t)=acc*t+ω0 …... (eqz.3) (nel grafico t-ω, è una retta con coefficiente angolare acc negativo: l'intersezione tra questa retta e l'asse delle ascisse ω=0, mi dice che la terra si ferma fra circa 4,320 miliardi di anni, se non succede null'altro nel frattempo).

    L'angolo sotteso nel tempo t per il moto uniformemente accelerato lo ottengo integrando nel tempo l'eqz.3:

    α(t)=α0+ω0*t+(acc*t^2)/2 ……. (eqz.4)

    Da cui posso calcolare gli angoli sottesi in 1000y (α1000) e in 2000y (α2000).

    Tali angoli li devo confrontare con quelli che avrei spazzato se la terra avesse continuato a girare a velocità costante ωo (il famoso giro/24h), che dalla eqz.1 saranno αc1000 e αc2000.

    Le differenze (αc1000-α1000) e (αc2000-α2000) mi mostrano lo spostamento della stella rispetto allo zero del goniometro iniziale.

    Risultato: resto indietro rispetto allo zero di circa 15° e di circa 60° rispettivamente in 1000y e 2000y.

    Non riesco a riportare il grafico, ma inserisco la tabella con anni da oggi e variazione dell'angolo della stella di riferimento in gradi (cioè αc(t)-α(t)):

     Anni a partire da oggi
     Gradi

     0
    0

    200
    0.60

    400
    2.43

    600
    5.47

    800
    9.73

    1000
    15.2

    1200
    21.89

    1400
    29.8

    1600
    38.93

    1800
    49.27

    2000
    60.83

    4866
    360

    L'ultima riga dice che dopo 4866 anni circa mi ritroverò nella condizione attuale di posizione, ma la velocità angolare sarà minore: il giorno durerà 97 millisecondi in più (e questo mi crea mille domande sulla necessità di regolare spesso gli orologi atomici).

    Ovviamente, se il ragionamento è corretto ed i calcoli non sono sbagliati.

    Ciao

     

  14. Francesco

    Mentre scrivevo la pappardella ho visto il tuo messaggio:

    l'accelerazione in giorni mi risulta:

    -2.2831 x 10^-10 gradi/giorno^2

  15. Francesco

    Ovviamente:

    giorno=24h=86400 secondi

    anno=y=365 giorni=3.1536 x 10^7 secondi

  16. Caro Francesco... un appunto per non travisare il meccanismo FISICO.

    La Terra non si fermerà mai, dato che la stabilità completa si avrà quando il suo periodo di rotazione sarà uguale a quello di rivoluzione della Luna (accoppiamento completo spin-orbita come succede per Plutone e Caronte). La decelerazione, inoltre, cambierà lentamente fino a diventare zero.

  17. Aggiungo ancora... perché non lavorare direttamente in gradi? Dove sta il problema? Basta esprimere tutto in gradi al giorno o in in gradi al giorno2 ...

  18. Francesco

    Me lo immaginavo che ci fosse un effetto che rallentasse il rallentamento e che si farà sentire solo a basse velocità.

    Per quanto riguarda gli angoli in rad o gradi, concordo con te che è questione di unità di misura fintanto che parliamo solo di velocità ed accelerazione angolare. Peró io avevo usato il giro e quando lo trsformavo in unità di velocità mi perdevo un 360gradi o un 2pi.

  19. Lampo

    Oh Enzone, sei stato più Lampo di me! Vedo solo ora purtroppo che l'hai giá scritto...
    Comunque il tizio dell'articolo dava per certo e appurato 2 millisecondi al GIORNO, nemmeno all'anno!

  20. di bene in meglio... 8-O, ma puoi ancora risolverlo  :roll:

  21. Lampo

    Ciao Enzone,

     

    purtroppo come sai tra bambini e nuovo lavoro il tempo che riesco a dedicare ad altro è sempre ridotto all'osso per ora...provo in questi pochi minuti a dire la mia! Non ho ancora letto tutte le altre risposte, spero di non far qualche figuraccia...provo a dire quello penso in poche e semplici formule/considerazioni, anche perché non scrivo formule da più di un decennio e sono più che arrugginito ormai...

     

    Allora, se considero in modo semplicistico un moto di rotazione uniformemente decelerato, la decelerazione che stiamo considerando, ovvero la riduzione della velocità angolare nell'unità di tempo, è pari a 2 ms/giorno al secolo, ovvero 2 ms/giorno ogni 36500 giorni, ovvero 5.479 x 10E-5 ms/giorno^2.

     

    Se voglio esprimere il valore precedente in secondi di arco anzichè in secondi temporali, fissando come unità di misura del secondo quello odierno (con la terra che impiega 86400 secondi a compiere un intero giro su sé stessa), la frazione di angolo che viene spazzata in cielo in un’ora è (360x60x60)/86400 = 15 “/sec, ovvero 15 secondi di arco al secondo, che equivalgono a 0.015 “/ms secondi di arco a millisecondo.

     

    Quindi il valore di decelerazione che ho trovato prima, ovvero 5.479x10^-5 ms/giorno^2 equivalgono a 5.479x10^-5 * 0.015 = 8.219xE-7 secondi di arco/giorno^2.

     

    Ora, non capisco bene cosa chieda il quiz. Tra 1000 anni  la terra anziché spazzare nel cielo 15 secondi di arco al secondo, che è anche uguale a 15 gradi/ora ne spazzerà (360x60x60)/86400,02 = 14,99999653 gradi/ora ovvero la stessa stella in un’ora rimarrà più indietro di 0.00000347 gradi ovvero di 0.00000347*3600 = 0.012492 secondi di arco.

     

    Se invece voglio calcolare in totale quanto sarà rimasta indietro la terra in tutti questi 1000 anni devo integrare il moto uniformemente decelerato usando come accelerazione quella che ho trovato prima.

     

    Scusa Enzo ma ho buttato giù tutto di fretta qui in ufficio e credo di aver fatto qualche casino o di non aver capito bene l’esercizio…appena riesco rileggo tutto, risposte comprese.

     

    A presto!

  22. Francesco

    Per curiosità ho rifatto il calcolo con un rallentamento di 2ms al giorno (come diceva il famigerato articolo dell'ancor più famigerato esperto).

    La tabella con anni da oggi e variazione dell'angolo della stella di riferimento in gradi (cioè αc(t)-α(t)) diventerebbe:

     Anni a partire da oggi
    Gradi di differenza

     0
    0

    1
    0.55

    3
    5

    5
    13.8

    10
    55

    15
    125 circa

    18
    180 circa

    Probabilmente tutti ci accorgeremmo che le stelle fisse si sposterebbero troppo: in 18 anni ci troveremmo girati a guardare dall'altra parte. A me personalmente sembra che Orione (una delle poche costellazioni che conosco) nel solito periodo dell'anno, alla solita ora, sia sempre nel solito posto da quando ho cominciato a guardarla da bambino (ben più di 18 anni fa), e non mi risulta una recente correzione del tempo di mezza giornata.

  23. Dici bene Francesco... non esageriamo!! E' già tanto così...

Lascia un commento

*

:wink: :twisted: :roll: :oops: :mrgreen: :lol: :idea: :evil: :cry: :arrow: :?: :-| :-x :-o :-P :-D :-? :) :( :!: 8-O 8)

 

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.