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Tags: cinematica corsa slittini quiz
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:19
(CIN) (QI) Una corsa sugli slittini **
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Abbiamo svolto parecchi esercizi di cinematica sia mono che bidimensionale. Vediamo ora se anche i meno esperti sono in grado di agire da soli.
A chi ha letto il mio libro di fisica divulgativa "La Fisica addormentata nel Bosco" i due personaggi che danno luogo al quiz, sono ben noti: il principe e il boscaiolo. Essi passano il loro tempo cercando di spiegare i fenomeni dovuti al movimento (tutto si muove nell'Universo) e si rendono conto di quanto splendida sia la Natura sia nell'infinitamente piccolo che nell'infinitamente grande. Tuttavia, ogni tanto si prendono dei momenti di puro divertimento, ben sapendo, però, che anche in quei casi le leggi della fisica sono sempre in agguato. Poco male, in fondo... Cosa c'è di meglio di divertirsi pensando e pensare divertendosi?
L'occasione per una giornata di riposo capita dopo un'abbondante nevicata che ha rivestito di bianco le pianure e i fianchi delle colline. Fa molto freddo e la neve si trasforma velocemente in ghiaccio, l'ideale per una bella discesa sugli slittini. Il ghiaccio è perfetto e le lamine degli slittini perfettamente levigate, tanto che l'attrito non influisce minimamente sul moto.
Decidono il luogo dove mettere l'arrivo e piantano una bandierina gialla e poi risalgono il fianco della collina, senza accorgersi che non tutta la discesa è dolce e continua come previsto. Cosa c'è di meglio che una bella competizione amichevole? E così decidono che chi perderà la sfida preparerà il pranzo e laverà i piatti per un'intera settimana.
Giunti in alto, nel punto di partenza, si lanciano nella discesa. Hanno ormai raggiunto una bella velocità ma rimangono perfettamente appaiati. A quel punto l'imprevisto ... Il principe (rosso) si trova davanti a una discesa perfetta che lo conduce all'arrivo. Il boscaiolo, invece, vede davanti a sé un profondo avvallamento che lo conduce verso il basso e che, inoltre, lo costringe a risalire per toccare il traguardo. Una situazione disperata per il boscaiolo che, al limite, potrebbe accodarsi al principe perdendo comunque troppo tempo per cambiare la sua rotta.
Il boscaiolo vede già davanti a sé un' enorme pila di piatti da lavare, ma ecco che si accende una lampadina: "Non tutto è perduto", pensa, "qualcosa si può ancora fare" .
Chi vincerà la gara?
Dimostrare esattamente la conclusione.
Ecco di seguito il campo di gara. Notiamo che l'avvallamento forma un triangolo inscritto in un cerchio...
La soluzione è quasi soltanto cinematica, con un finale che tocca la dinamica elementare.
QUI la soluzione
19 commenti
Il lato maggiore del triangolo coincide con un diametro?
La figura mostra chiaramente che non è un diametro (linea tratteggiata), dato che non passa per il centro.
Visto che le forze di attrito possono considerarsi praticamente nulle si può dire che che le forze peso applicate agli slittini sono conservative ovvero il lavoro da esse compito non dipende dal percorso effettuato ma solo dalla posizione iniziale e quella finale che sono le stesse.
Pertanto oserei affermare che gli slittini arrivano insieme
Caro Michele, ricordati della brachistocrona ... e delle gare tra Achille e la Tartaruga sulla neve.
Ad esempio questa: http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2018/05/08/quiz-la-rivincita-achille/ con molti interessanti commenti.
caro Michele,
ti allego una nuova figura con i percorsi diversi... Pensi che anche così arriverebbero assieme ? Direi proprio di no... Non pensare a curve strane e ragiona in termini cinematici molto più semplici. La soluzione dipende molto dal percorso...
Un piccolo aiuto...
il semicerchio tratteggiato è molto importante e deve contenere il punto di inizio del percorso diversificato, il punto più in basso che raggiunge il boscaiolo e l'arrivo. I percorsi sono rettilinei e non seguono curve strane. Ovviamente, si ipotizza che il cambiamento di direzione drastico del boscaiolo non influisca sul suo moto...
Chiaro Michele (e Mau) ?
Sì, è tutto chiaro, ma conto di non interferire oltre.
Il mo precedente commento aveva solo lo scopo di mostrare come il fatto di partire dallo stesso punto e arrivare al medesimo punto sottostante non implica che il tempo impiegato sia lo stesso sui due diversi percorsi.
In realtà il tempo impiegato varia con la traiettoria e non può scendere sotto un certo limite ( che non si realizza con percorsi rettilinei).
Ok Vincenzo
Quindi il raggio della semicirconferenza è un dato che dobbiamo assumere come dato ?
caro Michele,
non abbiamo bisogno di "dati" ulteriori... ti basta sapere che i due percorsi toccano una semicirconferenza, ossia:
punto di inizio percorsi diversi, punto in cui il boscaiolo arriva in fondo e traguardo devono stare su uno stesso semicerchio.
Maurizio sta solo dicendo che i percorsi sono più o meno lunghi e che il tempo per eseguirli dipende dalla traiettoria. In realtà, il problema è proprio questo: chi arriva primo? L'unico vero aiuto è quello che ti sto dando io sul semicerchio...
caro Mau,
mi dà l'idea che il tuo percorso per arrivare alla soluzione sia diverso dal mio (puramente cinematico nella parte fondamentale). Puoi quindi esporlo senza creare problemi per Michele...
Non ho sviluppato alcuna soluzione alternativa ma, come dicevo, ho solo fatto osservare che i tempi dipendono dal tipo di percorso e non solo dalle posizioni iniziale e finale, come ipotizzato da Michele.
La soluzione cinematica resta certo la più semplice rispetto quella generale che avevamo visto nel commento di Umberto al vecchio quiz sulla discesa lungo una qualsiasi curva ( in questo caso la "curva" è costituita dalla linea spezzata dei due piani inclinati).
Aggiungo solo alcune considerazioni intuitive, a beneficio di Michele, anche se sono osservazioni che avrà già fatto lui stesso.
Nel tratto di discesa più ripida del boscaiolo la velocità aumenta. Giunto alla fine della discesa, la velocità finale avrà una componente nella direzione della linea di risalita. Se l'angolo tra discesa e risalita è maggiore di 90° il moto potrà proseguire, rallentato dalla presenza della componente di accelerazione g lungo la direzione della salita che avrà un effetto frenante. Se invece l'angolo tra discesa e risalita è uguale o minore di 90° questa componente della velocità finale della discesa sarà nulla o negativa e il boscaiolo si fermerà a fondovalle.
Affinché l'angolo sia maggiore di 90° il centro del cerchio che unisce i tre punti dovrà trovarsi, come appare nella figura del quiz , al di sopra della linea di discesa del principe, che taglia il cerchio formando una corda. (Se la corda contenesse il centro sarebbe un diametro e tutti i punti della circonferenza sarebbero visti sotto un angolo di 90°)
Tutti i punti dell'arco sotteso dalla corda, tra il punto di separazione dei due percorsi e il traguardo, in cui si ricongiungono, sono visti sotto lo stesso angolo e la relazione tra la lunghezza della corda e lunghezza dei due tratti di discesa e risalita è espressa dal teorema di Carnot.
Se l'angolo, come dicevo, è maggiore di 90°, avremo situazioni diverse a seconda di dove si trova, sull'arco di circonferenza, il punto in cui discesa e salita si saldano. Esisterà un punto di questo arco in corrispondenza del quale i tempi dei due concorrenti risulteranno identici. Prima di tale punto vince il principe, oltre tale punto vince il boscaiolo.
.
caro Mau,
L'angolo ha poco interesse in quanto come ho detto in un commento:
Ovviamente, si ipotizza che il cambiamento di direzione drastico del boscaiolo non influisca sul suo moto...
In altre parole, la velocità si conserva...
Tu dici: Se l'angolo, come dicevo, è maggiore di 90°, avremo situazioni diverse a seconda di dove si trova, sull'arco di circonferenza, il punto in cui discesa e salita si saldano. Esisterà un punto di questo arco in corrispondenza del quale i tempi dei due concorrenti risulteranno identici. Prima di tale punto vince il principe, oltre tale punto vince il boscaiolo.
Quanto dici tu non può avvenire... Nelle condizioni imposte vi è una e una sola soluzione.
Il tutto è più semplice di quanto possa sembrare.
Non pensare all'angolo, dato che si ipotizza che non influisca sul proseguimento del moto (siamo in cinematica).
E' chiaro che una volta fissato il punto intermedio dell'arco , dove si passa da discesa a salita, esiste una sola possibile soluzione ma questo punto non lo vedo definito nel testo, se non qualitativamente nella figura, in cui si potrebbe (forse) supporre che i due tratti siano di uguale lunghezza. Ma non penso sia così dato che parli genericamente di "un triangolo".
Quando dici che il cambiamento di direzione non influisce sul moto del boscaiolo intendi dire che il modulo della sua velocità iniziale nella nuova direzione coincide con quello della velocità finale della discesa?
Sulla velocità quella è l'ipotesi (si può sempre pensare a un picco archetto che permetta che il moto continui senza problemi).
tu dici:
qualitativamente nella figura, in cui si potrebbe (forse) supporre che i due tratti siano di uguale lunghezza...
ebbene, proprio qui sta il problema cinematico! La figura può permettersi di essere qualitativa, tanto il risultato è SEMPRE lo stesso. Qualsiasi punto porta alla stessa soluzione. L'importante è che il tragitto del boscaiolo sia più basso. Beh... ormai il più è fatto (Galileo sarebbe contento)
Arriva prima chi ci mette minor tempo ad arrivare.
Se il problema è solo cinematico e non si tiene conto delle accelerazione dovute alle variazioni della direzione della velocità ma se questa si conserva alla fine della discesa ( boscaiolo ) e diminuisce durante la risalita abbiamo:
se indichiamo con zp la differenza di quote z tra il piano di partenza e quello di arrivo la velocità del principe alla fine della discesa è
vp = (2gzp)1/2 ed anche vp = g tp ( tp = tempo che impiega il principe per effettuare la discesa)
(2gzp)1/2= g tp tp = (2gzp)1/2/g
il boscaiolo alla fine della discesa ha una velocità ( indicando con z la differenza di quote tra il piano di partenza e il punto più basso
v = (2gzp)1/2 e anche v=gt
il tempo impiegato per la discesa è
t = (2gz)1/2/g
nella risalita la sua velocità non si annulla ma corrisponde a quella dovuta alla differenza di quote tra il piano di partenza e quello di arrivo ovvero alla velocità del principe alla fine della discesa
per cui il tempo di risalita è dato da
tr = (2gzp)1/2/g
in totale il tempo del suo percorso è
(2gz)1/2/g + (2gzp)1/2/g
quindi è maggiore di quello del principe
_____
PS
scrivere formule e inserire disegni con gli strumenti messi a disposizione da questa applicazione mi mette molto in difficoltà soprattutto non riesco ad inserire disegni
Ragionando sulle velocità dei concorrenti nei punti significativi...
Sappiamo che nel punto iniziale I le due velocità sono uguali ( potremmo considerarle anche nulle)
Anche nel punto finale F le velocità devono essere uguali perché l'energia totale si conserva ed essendo uguali le due energie potenziali devono essere uguali anche le due energie cinetiche, quindi le velocità.
In F il valore della velocità è rad(2gh). (vedi legge di Torricelli) dove h è il dislivello tra I e F.
Il punto intermedio della discesa del boscaiolo si trova sull'arco di cerchio.
Se lo fissiamo nel punto P (allo stesso livello di F) avremo evidentemente v = rad(2gh) e nel tratto seguente PF, pianeggiante, la velocità resterà costante ( infatti non vi è alcuna componente di g che agisca come freno).
Se invece lo fissiamo nel punto Q (ad un livello più basso di I) con un dislivello rispetto I pari a k, allora la velocità finale del primo tratto in discesa sarà v=rad(2gk) maggiore di rad(2gh) e nel tratto seguente, in salita, si ridurrà per effetto della componente frenante di g fino ad assumere il valore finale di rad(2gh).
Ora, conoscendo le velocità nei punti I P F ( oppure nei punti I Q F) è possibile calcolare facilmente le velocità medie lungo il percorso IF (quello del principe) , e anche lungo i due percorsi IP e PF ( o IQ e QF) del boscaiolo.
Avendo la velocità media e conoscendo la lunghezza del percorso si ricava il tempo di percorrenza come rapporto T = lunghezza / V media per ciascun percorso. Il tempo del principe va confrontato con la somma dei due tempi necessari al boscaiolo per arrivare al traguardo.
Il problema si riconduce quindi a stabilire le lunghezze dei percorsi, ossia le distanze IF , IP e PF ( oppure IQ e QF) tenendo conto del vincolo che tutti i punti appartengano all'arco di cerchio sotteso dalla corda IF.
E' proprio quello il punto chiave, caro Mau... La parte qualitativa scompare leggendo bene il testo:
Il boscaiolo, invece, vede davanti a sé un profondo avvallamento che lo conduce verso il basso e che, inoltre, lo costringe a risalire per toccare il traguardo
In altre parole B è più basso di T e, quindi, la soluzione è sempre la stessa: vince il boscaiolo, mani grosse e cervello fino!!!
Tra pochi minuti inserirò la soluzione, anche se Galileo è un po' arrabbiato...
Caro Michele, per inserire immagini devi seguire questo procedimento.
Collegati a questo link https://postimages.org/ (è un servizio gratuito come diversi altri simili)
vedrai questo schermo:
clicca su "scegliere le immagini" e seleziona sul tuo computer l'immagine da caricare.
Una volta eseguito il caricamento vedrai questa pagina:
Ora devi copiare il collegamento alla tua immagine, cliccando sulla seconda riga (vedi freccia rossa).
Nel commento che stai scrivendo posiziona il cursore dove intendi inserire la figura, poi clicca sulla icona delle figure (penultima in alto a destra), in questo modo :
A questo punto vedrai la casella in cui incollare il link che hai copiato precedentemente.
Incolla il link ed eventualmente scegli le dimensioni, oppure lascia tutto come è perché potrai ridimensionare la figura anche dopo averla inserite nel commento.
L'immagine apparirà nel punto in cui avevi posizionato il cursore. Puoi quindi proseguire con la scrittura.
Non è uno scherzo, si fa proprio in questo modo. (peggio del quiz cinematico, vero?) Comunque dopo un po' ti abitui e ti viene facile.
Per quanto riguarda le formule puoi osare ad usare Latex ma se riesci a farne a meno è meglio. Se lo conosci non ti uccide ma qualche segno lo lascia sul tuo sistema nervoso.
In alternativa, se non vuoi scrivere direttamente nel testo le formule perché sarebbero poco chiare, puoi scriverle su un foglio di carta da scannerizzare o fotografare, ottenendo una immagine che poi inserisci nel modo descritto.
Ciao
Grazie Maurizio, seguirò senz'altro le tue indicazioni. purtroppo non ho molta dimestichezza con i
"trucchi" del Web.
Ciao