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4/10/19

Soluzione del quiz sul cane, il gatto e il topo **

Il problemino sembra subito più difficile di quanto non sia in realtà. Basta ricordarsi che per determinare gli angoli di un triangolo è sufficiente conoscere le dimensioni relative dei lati (come dice Guido).

Ciò vuol dire che possiamo porre un lato qualsiasi uguale a 1 e determinate gli altri in relazione a questo.

Possiamo perciò ridurre il tutto a due sole incognite:

AB = 1

BC = x

CA = y

Ovviamente, il tempo t di percorrenza non è una vera incognita, dato che è uguale per tutti e tre i nostri amici. Possiamo perciò scrivere tre relazioni, ciascuna per ogni animale, ricordando che la velocità non è altro che uno spazio diviso un tempo e che quindi un tempo non è altro che uno spazio diviso per la velocità:

v = s/t

t = s/v

Chiamiamo t il tempo comune ai tre corridori:

t = 1/12 + x/10 + y/15                   cane

t = 1/15 + x/15 + y/10                   gatto

t = 1/10 + 1/20 + 1/12                  topo

il minimo comune multiplo tra 10, 12, 15  e 20 è 60, per cui le relazioni si trasformano in

60t = 5 + 6x + 4y

60t = 4 + 4x + 6y

60t = 6 + 3x + 5y

Uguagliandole tra loro si ottiene:

5 + 6x + 4y = 4 +4x + 6y

4 + 4x + 6y = 6 + 3x + 5y

Un banale sistema lineare di due equazioni in due incognite...

E' anche immediato semplificarle:

2y = 2x  + 1

y = - x + 2

Da cui (uguagliando y):

-2x + 4 = 2x + 1

4x = 3

x = BC = 3/4

e, di conseguenza:

y = CA = - 3/4 + 2 = 5/4

In conclusione:

AB =1, BC = 3/4, CA = 5/4

Possiamo tranquillamente moltiplicare ogni segmento per 4 (ciò che conta sono le dimensioni relative) e abbiamo:

AB = 4

BC = 3

CA = 5

Ovviamente noti i 3 lati basterebbe utilizzare il teorema di Carnot per determinare ogni angolo (caso generale), ma i tre amici sono molto svegli e si ricordano che se un triangolo ha i lati pari a 3, 4 e 5 esso deve essere un triangolo rettangolo con CA come ipotenusa e, di conseguenza, l'angolo opposto (ABC ) deve essere retto (bravo Arturo)! Pitagora insegna...

(32 + 42)1/2 = (9 + 16)1/2 = (25)1/2 = 5

tridog

 

 

 

2 commenti

  1. Guido

    Mi mangio le mani! E anche parte del cervello, già che ci sono. Lo sapevo che c'era di mezzo la terna pitagorica! (l'unica altra possibilità per arrivare in modo semplice all'angolo era che fosse un triangolo equilatero, da escludersi visti i dati di partenza). Purtroppo mi sono sbagliato bovinamente nel fare i conti e mi sono infognato.

    Comunque bel quiz, molto divertente.

  2. Sì, abbastanza carino...

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