Mar 15

Soluzione di "chi è il maggiore"? ***

Un problema che ci avvicina  al numero di Nepero (o di Eulero) "e" e che, inoltre, ci permette di richiamare lo studio di una funzione, i limiti e le derivate, nonché un po' di logaritmi naturali.

Come si può notare facilmente, facendo un po' di esempi, la faccenda è tutt'altro che immediata. A volte è maggiore AB, a volte è maggiore BA. Tutto quello che si può fare è cercare di trovare una regola che permetta di dare la risposta senza calcolare ogni volta i due valori e, soprattutto, che sia descrivibile con una sola funzione.

Cerchiamo, perciò, la funzione che ci appare più maneggevole e trattabile. Per fare questo dobbiamo ricordarci le proprietà delle disuguaglianze e, in particolare, di quelle che utilizzano numeri reali positivi. La più importante, per noi, è quella che dice: "Elevando alla stessa potenza reale e positiva "m" i due membri della diseguaglianza, il suo segno NON CAMBIA". In parole matematiche

se

a ≥< b

anche

am ≥< bm

Applichiamola al nostro caso, ad esempio dicendo che:

se

AB > BA

allora vale anche:

(AB)m > (BA)m

che si può anche scrivere (proprietà delle potenze):

ABm > BAm

Che ne dite di scegliere

m = 1/AB ?

Ottima idea, infatti si ha:

AB/AB > BA/AB

A1/A > B1/B

Ogni membro è adesso diventato funzione di una sola variabile, ma il segno di diseguaglianza non è certo cambiato, per cui possiamo dire che se

AB≥<BA

allora vale anche:

A1/A≥<B1/B

La funzione da studiare è perciò

y = x1/x                 per ogni suo valore positivo.

Disegnata lei è immediato ricavare il risultato della diseguaglianza confrontando le ordinate delle due ascisse A e B  e stabilire un andamento generale. In poche parole, se vogliamo che sia, ad esempio, AB > BA basta guardare quale ascissa tra A e B comporta l'ordinata maggiore e quello sarà il valore di A.

Descriviamo allora la nostra curva, trovandone le caratteristiche essenziali. Innanzitutto, vediamo cosa fa per x che tende a infinito.

lim x→ ∞ x 1/x

Appare subito che il risultato appartiene alle forme indeterminate e, in particolare, a quella ∞0

Nessun problema... ricordiamoci il significato di logaritmo naturale (ln) di x. Esso è quel numero a cui bisogna elevare il numero e per ottenere proprio x. Ossia, possiamo scrivere:

x = e ln x

Usiamo la stessa  trasformazione per x1/x ... ricordando però che

ln x1/x = (1/x) ln x = (ln x)/x

x1/x = e (ln x)/x

per cui

lim x→ ∞ x 1/x = lim x→ ∞(ln x)/x = e∞/∞

Abbiamo ancora una forma indeterminata, che, però si risolve applicando la regola di l'Hospital (a parte che basterebbe sapere che x è un infinito di ordine maggiore di ln x). Deriviamo numeratore e denominatore di ln x/x e otteniamo 1/x, che per x che tende a infinito vale 1/∞ ossia 0. Ne segue che

lim x→ ∞(ln x)/x  = e0 = 1

La nostra funzione ha, perciò, un asintoto orizzontale ed esso vale y = 1.

Vediamo ora se ha dei massimi o dei minimi. Per fare questo dobbiamo ricavare la derivata prima e uguagliarla a 0.

Anche in questo caso conviene calcolare la derivata utilizzando la formula

y = e (ln x)/x

E' una funzione di funzione, per cui abbiamo (la derivata di ez è sempre ez):

y' = e (ln x)/x (d/dx((ln x)/x)) = e (ln x)/x (x/x - ln x · 1)/x2

Sostituiamo nuovamente e (ln x)/x con la funzione iniziale x 1/x e otteniamo:

y' = - (x1/x/x2) (ln x - 1) = 0

y' = - x(1/x - 2 )(ln x - 1) = 0

Il valore, maggiore di 0, che annulla la derivata si ottiene ovviamente per

ln x - 1 = 0

ln x = 1

x = e          (ricordiamo ancora che il logaritmo naturale di x è quel numero a cui dobbiamo elevare e per ottenere x , ossia  e(ln x )= e1 = e)

Questo è facile dimostrare che è un massimo, dato che rappresenta il valore più alto della y.

Possiamo tracciare la nostra curva nella figura che segue, ricordando che

y = x1/x calcolata nel punto 0 vale 0, infatti:

y = 01/0 = 0 = 0      (0  NON è una forma indeterminata, dato che moltiplicando infinite volte zero per se stesso il risultato rimane sempre zero!)

curva

Come si può sintetizzare la situazione per mezzo della funzione appena studiata e rappresentata? Possiamo riassumerla come segue (la linea verde corrisponde all'ascissa e):

Per valori di A e B inferiori al numero e chi domina è sempre la base. In altre parole, è sempre maggiore la potenza che ha la base maggiore : AB > BA se A > B

Per valori di A e B maggiori del numero e chi domina è invece l'esponente, ossia è maggiore la potenza che ha la base minore: AB > BA se A < B.

Se A è più piccolo di 1 e B è maggiore di 1, allora sicuramente è maggiore la potenza con A all'esponente.

Negli altri casi si eleva  il numero all'inverso di se stesso e quello che dà il risultato maggiore deve essere inserito come base della potenza maggiore.

Infine, se uno dei due numeri è proprio e, la potenza maggiore è sicuramente quella che ha lui come base. Il che ci permette di rispondere subito a casi particolarmente interessanti, come : "E' maggiore eπ o πe ?"

Ovviamente, tracciando una linea orizzontale, che intersechi in due punti la curva, si hanno subito due potenze uguali (sempre che la retta sia del tipo y>1).

Ridendo e scherzando abbiamo fatto un bel ripasso di studio di funzioni, di esponenziali, di limiti e derivate... Vi sembra poco?

Il quiz lo trovate QUI

 

8 commenti

  1. micvhele celenza

    Scusa Vincenzo tu hai scritto:

    " Usiamo la stessa  trasformazione per x1/x ... ricordando però che

    ln x1/x = (1/x) ln x = ln x/x "

    non è più corretto scrivere:

    ln x1/x = (1/x) ln x = (ln x)/x

    quindi come hai calcolato passando al calcolo del limite applicando la regola di L'Hspital:

    lim x→ ∞lnx/x  = lim x→∞ e^ (ln x)/x = lim   x→∞  e^ d(ln x) / d x  =  lim   x→∞  e ^(1/x) / 1  = e^0 = 1

    Comunque non avrei mai pensato per la risoluzione del quesito applicare il "trucchetto" della manipolazione dell'esponente

    Buona giornata

  2. Carlo

    Bellissimo tutto. Grazie professore!

  3. maurizio bernardi

    Non è poco, no

    Anzi è tanto.

  4. Caro Michele, ti ho accontentato... Anche se nell'altro caso avrei scritto ln x/x = ln 1 !

    Grazie ragazzi... cerchiamo di passare il tempo pensando a cose non ... infette!

  5. michele celenza

    Grazie Vincenzo e complimenti per il tuo bellissimo quiz.

    ora non sto pensando a cose...infette

    ma ad assaporare un bel bicchiere del mio vino artigianale!

     

     

  6. Cin Cin Michele... prima o poi dovrò assaggiarlo!!!!

  7. michele celenza

    Certamente e con piacere  Vincenzo!

    Non è un gran vino come quelli delle tue parti, ma  quello fatto da un povero pensionato ex ferroviere residente a Roma.

    Peccato che siamo assai lontani, ma avrei piacere , in tempi migliori, di fare una gita dalle tue parti imbarcandomi su un treno che fra l'altro per gli ex ferrovieri è gratuito

     

  8. E io ti accoglierò a braccia aperte e con del buon barolo...

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