Apr 24

Qualsiasi poligono fa al caso nostro ** (con la partecipazione straordinaria di Oreste Pautasso)

Questa è una soluzione volutamente "complicata" per rispondere al quiz  "Pitagora è sempre Pitagora". Lo scopo è quello di richiamare concetti che abbiamo trattato ultimamente. Molto gradita è stata anche l'intrusione di Oreste Pautasso e del suo enunciato decisamente più "corposo".

Tutti e tre gli scienziati hanno ragione! Infatti il teorema di Pitagora può essere espresso attraverso la somma delle aree di qualsiasi poligono.

Cerco di darne una spiegazione che ci porta a questo articolo e all'omotetia. Una spiegazione volutamente "contorta" (si potrebbe rispondere più velocemente) in modo da richiamare l'attenzione su concetti trattati in articoli apparentemente del tutto scollegati.

Innanzitutto ricordiamo che un qualsiasi poligono può essere trasformato in un rettangolo avente la stessa area. Una volta trasformato il rettangolo è un gioco da ragazzi trasformarlo in un quadrato che abbia la stessa area.

Dati due poligoni, perciò, possiamo ridurre le loro aree a quelle di due quadrati di lati a e b.

Stabiliamo adesso una relazione tra a e b del tipo:

a/b = √(c2/b2 - 1) = k

In altre parole ho scelto a e b in modo che il loro rapporto sia uguale a una certa costante k.

Questo è sempre possibile farlo, così come è sempre possibile scegliere la c che soddisfi la relazione precedente. Il che vuole anche dire che a, b e c  sono i lati di un triangolo rettangolo, in cui c è l'ipotenusa.

La relazione di prima ci dice anche che posso stabilire un'omotetia di  rapporto k tra a e b.

In altre parole, esiste un'omotetia che mi trasforma a in b, con un rapporto k.

Ma una delle proprietà fondamentali dell'omotetia (in pratica una dilatazione o una riduzione di linee o figure geometriche) è che se moltiplica le lunghezze per k, deve moltiplicare tutte le aree per k2.

Il che vuol dire che se a e b stanno nel rapporto a/b, i loro quadrati (aree) stanno nel rapporto k2.

Ciò vuole dire che le aree dei miei due quadrati di lati a e b, soddisfano la relazione:

a2/b2 = k2 = c2/b2 - 1

Ossia soddisfano il teorema di Pitagora.

Infatti:

a2/b2 +  1 = a2/b2  + b2/b2 = c2/b2

ma b > 0, perciò:

a2 + b2 = c2

Ma le aree dei quadrati non erano altro che le aree dei poligoni di partenza. Il che vuol dire che posso sempre scrivere che la somma delle aree di due poligoni qualsiasi costruiti sui cateti è sempre uguale all'area di un poligono qualsiasi costruito sull'ipotenusa. L'importante è che le loro aree stiano nello stesso rapporto delle aree dei quadrati corrispondenti.

A maggior ragione la faccenda funziona se i poligoni sono regolari, ma non è una condizione obbligatoria.

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Scusate la intromissione, sono Oreste Pautasso, e vi saluto con garbo tutti quanti. Se disturbo la quiete di questa bella pagina di storia della scienza, è solo per portare una testimonianza di quanto sia fondamentale   liberarsi della sudditanza  psicologica    imposta dai  tradizionali quadrati costruiti  selvaggiamente qua e là, dal Dott. Pitagora, sui lati dei  triangoli rettangoli.

Ai miei tempi, a scuola avevamo fatto una colletta per far stampare un poster che ce lo ricordasse per benino, ogni momento. Sono andato a recuperarlo tra i ricordi e ve lo incollo qui sotto, con il permesso del Professore.

Enunciato pautassiano: La somma delle Marylin costruite sui cateti è uguale alla Marylin costruita sull'ipotenusa

Cerea!

 

 

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