Il quiz lo trovate qui: http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2020/05/05/quiz-coloriamo-le-progressioni-aritmetiche/. Tanto per cominciare grazie a Maurizio che trova sempre il modo per imbroccare la soluzione giusta. E' si, il quiz chiedeva, data la successione dei numeri da 1 a 9 che viene  colorata di rosso o di blu(in qualsiasi modo possibile), se fosse vero  o falso che si  trovano sempre tre numeri rossi o tre numeri blu in progressione aritmetica. Ebbene ,intanto, come dice Maurizio, affermiamo che è vero. Per dimostrarlo partiamo da una situazione simmetrica nel centro della progressione, ovvero consideriamo i numeri  4 e 6 che si trovano in posizione simmetrica rispetto al punto di mezzo, che è 5:

1  2  3  4  5  6  7  8   9.

Analizziamo le possibilità; o 4 e 6 hanno lo stesso colore, o hanno  colori diversi.

Caso 1; stesso colore, ad esempio blue:

1  2  3  4  5  6  7  8   9; 5 non può essere blue, perchè altrimenti   4 5 6  sarebbe una progressione aritmetica (di ragione 1), e avremmo finito.  Quindi 5 è rosso:

1  2  3  4  5  6  7  8   9

Per evitare le progressioni blu (di ragione 2) 2, 4, 6, e 4, 6, 8, coloriamo 2 e 8 di rosso:

1  2  3  4  5  6  7  8   9

Ma così si ottiene la progressione rossa 2, 5, 8, di ragione 3. Perciò se 4 e 6 hanno lo stesso colore c'è sempre
una progressione aritmetica rossa o blu.

Supponiamo adesso che 4 e 6 abbiano colori diversi, ad esempio 4 rosso e 6 blue.

1  2  3  4  5  6  7  8   9.

5 può essere sia rosso che blu; in ogni caso evitiamo la progressione 4,5,6 di ragione 1. Supponiamo 5 sia rosso:

1  2  3  4  5  6  7  8   9

Poi coloriamo i numeri come segue:
3 di blu per evitare 3 4 5      ma allora   9 deve essere rosso per evitare 3 6 9 (ragione  3), ottenendo:

1  2  3  4  5  6  7  8   9

7 di blue per evitare 5 7 9 (ragione 2)  8 di rosso  per evitare 6 7 8 (ragione 1) ottenendo:

1  2  3  4  5  6  7  8   9 

2 di blue per evitare 2 5 8 (ragione 3)  1 di rosso  per evitare 1 2 3 ottenendo:

1  2  3  4  5  6  7  8   9

Si ottiene così la successione
1  2  3  4  5  6  7  8   9
in cui c'è tuttavia la progressione aritmetica 1, 5, 9 di ragione 4. Perciò, che 4 e 6 abbiano lo stesso colore o un
colore diverso, esiste sempre una progressione aritmetica rossa o blu.