Giu 9

Il seno indiano **

Questo articolo è stato inserito nella sezione d'archivio "Matematica e Geometria"

Beh... a scanso di equivoci vi dico subito che il seno in questione è la ben nota funzione trigonometrica e che gli "indiani" sono proprio gli abitanti dell'India.

In particolare, parliamo di un matematico e astronomo vissuto nel VII secolo d.C., Bhaskara I (da non confondere con un altro grande scienziato indiano del XII secolo, sempre di nome Bhaskara). A lui si deve una eccezionale approssimazione del seno, ottenuta quando il valore di pi greco era ancora molto poco conosciuto... eppure la sua formula è veramente quasi perfetta.

Perché voglio parlare di lui? Beh... siamo tutti abituati a usare la calcolatrice o il computer per ottenere immediatamente i valori delle funzioni trigonometriche. Tuttavia, ci siamo mai chiesti come fa il computer a darci il risultato? Di certo non se lo inventa e nemmeno usa una qualche magia. Non deve fare altro che approssimarlo utilizzando il metodo più affidabile, permettendosi il lusso, dato che la sua velocità di calcolo è eccezionale, di applicare una formula adatta allo scopo. Quella forse più comune e usata è quella relativa allo sviluppo in serie di Taylor (Ricordate?).

Consideriamo quella relativa proprio al seno di un angolo:

Scrivere la formula di Taylor vuol dire scrivere al posto del seno un polinomio lunghissimo i cui termini permettano a mano a mano di avvicinarsi sempre di più al valore preciso del seno. La serie nel caso del seno è:

\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\text{ per ogni } x

Non spaventatevi! Non è altro che un polinomio... i primi termini risultano essere:

 

 

Uno può andare avanti quanto vuole e migliorare sempre di più l'approssimazione. Il computer non ha certo problemi a calcolare moltissimi termini della serie e si ferma al livello che vogliamo noi con il numero di cifre significative che preferiamo. Un sistema usato per moltissime funzioni...

Ma ci chiediamo: "E prima dell'arrivo delle calcolatrici?". Beh... si disegnava il cerchio e poi dato un certo angolo si misurava la corda relativa al seno o, più tardi, si calcolava a mano termine per termine e poi  si scrivevano delle tabelle più o meno complete dove uno poteva andare a cercare il valore richiesto. Io ricordo ancora benissimo quando per calcolare i logaritmi si spulciava nelle apposite tavole che tutti dovevano avere (sarebbe bello recuperarne una) o, come tutti i buoni ingegneri di una volta, si usava il regolo calcolatore.

Riguardo al seno, però, vale la pena ricordare proprio il nostro Baskhara I. Lui non poteva ancora usare gli sviluppi in serie, ma ecco inventarsi letteralmente una formula che ha veramente del prodigioso nella sua semplicità di utilizzo:

{\displaystyle \sin x^{\circ }\approx {\frac {4x(180-x)}{40500-x(180-x)}}}

Facciamo una prova?

Calcolatrice

sen (50°) = 0.766

Baskhara I

sen(50°) = 0.765

Beh... proprio niente male! E pensare che allora il vero problema era il pi greco.

Meglio di tanti tentativi vale la figura che mostra l'errore che si compie usando la formula di Bhaskara.

Ma, la cosa veramente più interessante è :"Come ha fatto a ricavare quella formula con le conoscenze del tempo?". Non lo sappiamo, ma possiamo provare a imitarlo agendo su una parabola (il seno tra 0° e 180° assomiglia molto a una parabola).

Scriviamo la formula di Bhaskala in radianti:

{\displaystyle \sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}}.}

Cominciamo a considerare la parabola che tocca la curva del seno in x = 0 e x = π/2

Essa è della forma:

y = ax2 + bx                      (parabola passante per l'origine degli assi)

Per x = π/2 , y =1

per x = π/2 , y = 0

Ossia abbiamo il sistema

1 = a π2/4 + b π/2

0 = aπ2 + b π

dalla seconda abbiamo

a = - b/π

sostituendo nella prima

1 = - b π/4 + b π/2 = bπ/4

b = 4/π

a = - 4/π2

La nostra parabola ha quindi equazione:

y = - 4x22 + 4x/π

y = (4x/π)(1 - x/π)

y = (4x/π2) (π - x)                 .... (1)

Questa sarebbe già una approssimazione, anche se molto "brutale". Si può fare di meglio, cercando di trasformare la nostra parabola in una curva, sempre quadratica, che imiti ancora meglio il seno.

Un modo c'è, dato che sappiamo (e sapeva sicuramente anche Bhaskara) che il seno di 30°  (π/6) è uguale a 1/2 così come lo è anche il seno di 90 + 60 = 150° (5π/6).

Cambiamo allora la nostra equazione (1) in modo che riesca a soddisfare anche questi due punti. Inseriamo perciò un denominatore che serva un po' come "aggiustatore" del tiro. In parole povere, inseriamo a denominatore della (1) un'equazione quadratica tale che la nuova equazione completa valga 1/2 per x = π/6. Quanto vale la (1) per x = π/6?

y = (4π/6π2)(π - π/6) = (2/3π)(5π/6) = 10/18 = 5/9

Ne segue che il denominatore deve essere uguale a 10/9 affinché il valore della funzione completa sia proprio 1/2. La funzione al denominatore deve perciò diventare uguale a 10/9 per x = π /6

10/9 = a π2/36 + bπ/6 + c                                   .... (2)

La stessa cosa deve valere per x = 5π/6

10/9 = a 25π2 /36 + b 5π/6                                 .... (3)

Deve inoltre continuare a passare per il vertice precedente, ossia deve valere 1 per x = π /2, dato che la (1) valeva già 1 per lo stesso valore di x.

1 = a π2/4 + bπ/2 + c                                             ... (4)

La (2), la (3) e la (4) formano un sistema di tre equazioni in tre incognite da cui si possono ricavare i coefficienti a, b e c della funzione quadratica da inserire al denominatore.

Essa andrà anche bene per x = 0 e x = π , dato che il numeratore vale 0 (essendo la (1)), qualsiasi sia il valore dei tre coefficienti. L'importante è che il denominatore non valga zero in quei due punti.

Risolvendo il banale sistema si ottiene:

a = 1/π2

b = - 1/π

c = 5/4

Come previsto per x = 0 (e x = π) il denominatore rimane diverso da zero.

Scriviamo allora la nuova equazione, ossia la parabola "aggiustata":

y = ((4x/π2) (π - x))/(x22 - x/π + 5/4)

Moltiplichiamo sopra e sotto per 4π2 e otteniamo:

y = 16x(π - x)/(4π2(x22 - x/π + 5/4))

y = 16x(π - x)/(5π2 - 4x(π - x))

che è proprio l'equazione di Bhaskara!

Beh... non sappiamo se ha fatto proprio così, però è bello (ogni tanto)... fare l'indiano!

Bhāskara, chiamato anche Bhāskaràcārya e Bhāskara II per evitare confusione con Bhāskara I, è stato un astronomo e matematico indiano (1114-1185)

 

 

 

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