Giu 26

Aiutiamo a segnare Giggiriva *

Ho aspettato a lungo prima di dare la soluzione al quiz su Gigi Riva, per rispetto alla passione e volontà mostrata da Franco. Ecco, adesso, una doppia possibilità, con o senza trigonometria. La trigonometria è quella che ha usato anche Franco per risolvere il problema.

Iniziamo col rendere generale la soluzione, chiamando a la distanza tra il limite di fondo campo della traiettoria di Giggiriva e il punto più lontano della porta e b la distanza del punto più vicino della porta.  La porta viene ad avere una larghezza pari ad a - b. Schematizziamo tutto in Fig. 1.

Figura 1

Risulta chiaro che dobbiamo ricavare l'angolo  tra le due congiungenti Riva-palo più lontano e Riva-palo più vicino.

Sfruttando i triangoli rettangoli RFP1 e RFP2 possiamo scrivere la tangente di quell'angolo in funzione della tangente dei due angoli FRP1 e FRP2. Per far ciò ricordiamo la formula della tangente relativa alla differenza di angoli. Essa vale:

tan (α - β) = (tan α - tan β)/(1 + tan α tan β)

ma

tan α = a/x

tan β = b/x

per cui

tan(α - β) = (a/x - b/x)((1 + ab/x2)

tan(α - β) = x(a - b)/(x2 + ab)                      .... (1)

Se è massima la tangente deve essere anche massimo l'angolo (α - β). Basta allora derivare la (1) rispetto a x e porla uguale a zero.

d(tan(α - β))/dx = (a - b)(ab - x2)/(x2 + ab)2 = 0

Il denominatore non può mai essere uguale a zero e, quindi, per ottenere zero è necessario che:

ab - x2 = 0        (la soluzione a = b è banale e non viene calcolata, ovviamente)

x2 = ab

x = √ab               (è stato scelto il segno più dato che a,b e x sono positivi)

Questo è il punto dove deve tirare Giggiriva!

Alla stessa soluzione si può arrivare senza trigonometria e derivate, ma solo con il teorema di Pitagora e la proprietà dell'angolo alla circonferenza di un cerchio.

Disegniamo la Fig. 2, con gli stessi punti della Fig. 1.

Figura 2

Consideriamo una circonferenza che abbia due punti fissati (P1 e P2). C sia il loro punto di mezzo. Sappiamo che per tre punti passa sempre una circonferenza. Scegliamo il terzo punto in modo che scorra lungo una parallela a OC, ad una distanza P1F = b (P2F = a).

Quando si ottiene la circonferenza con il raggio minore che soddisfi questa condizione? Sicuramente quando il punto R è tangente alla circonferenza e quindi RO perpendicolare a OC e uguale al raggio. In questa situazione il raggio r è minimo e quindi è massimo l’angolo al centro P1OP2. Dato che P1RP2 è un angolo alla circonferenza con base P1P2, deve essere la metà dell’angolo al centro. Se è massimo quest’ultimo deve essere massimo anche P1RP2. Consideriamo, allora il triangolo rettangolo P1OC e otteniamo:

r2 = x2 + ((a - b)/2)2                     .... (2)

Ma r è anche la distanza tra R e il cerchio di centro O, per cui:

r = b + (a - b)/2

e la (2) diventa:

(b + (a - b)/2)2 = x2 + ((a - b)/2)2

con facili passaggi

1/4(a + b)2 = x2+ 1/4 (a - b)2

x2 = ab

x = √ab

Si ottiene, ovviamente, lo stesso risultato di prima.

E' interessante notare che √ab è la media geometrica di a e b, ossia è la media geometrica tra le distanze dal punto di fondo campo della traiettoria di Giggiriva e i dei due pali della porta.

GOAL !!!

 

2 commenti

  1. FRANCO TRAVAGLINO

    Grazie Enzo. Bello, ma che fatica, da solo non c'e l'avrei mai fatta.

    Meglio che continui il corso...

  2. caro Franco, sai fare cose molto più importanti... Questo è solo divertimento!!!

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