Questo articolo è inserito nelle sezioni d'archivio "Matematica e Geometria" e "Meccanica celeste"

 

Prendiamo in mano le nostre equazioni parametriche generali e cominciamo a vederne dei casi particolari. Ritroveremo quelle che già abbiamo trattato la volta scorsa, ma anche molte, molte altre... Potete costruirvele da soli o fare un programmino allo scopo.

x = a sin (ω_xt + θ)    

y = b sin (ω_yt) 

I parametri liberi sono 5, ossia a, b, ω_x, ω_y, θ. Notiamo che in terminologia puramente geometrica t può essere considerato un angolo e le due velocità angolari dei semplici numeri. Non vi è alcun bisogno di considerare velocità e tempi. A costo di risultare banale, è la stessa cosa che capita quando si descrive un moto. Esso può essere circolare, rettilineo, parabolico o quello che vogliamo, ma la curva che viene descritta è un ente puramente geometrico.

Per semplicità di scrittura scriviamo, allora, le nostre equazioni parametriche (di parametro t) nel modo seguente

x = A sin (at + θ)    

y = B sin (bt) 

t e θ sono angoli

Vediamo come influiscono i parametri sulla curva finale...

A e B non fanno altro che modificare lo spazio a due dimensioni in cui è contenuta la curva. In altre parole, la nostra curva è sempre contenuta in un rettangolo che ha vertici in A (a, b), B(-a, b), C(-a, -b), D (a, -b).

a e b comandano la rotazione degli angoli di x e di y, ma ciò che importa veramente è il loro rapporto. Notiamo anche che al posto del seno, potremmo anche scrivere il coseno (in letteratura si usano diversi modi di scrittura) o considerare due angoli θ, uno per entrambe le espressioni parametriche. Ciò però non cambia il succo del discorso, dato che dà luogo soltanto a un punto di inizio diverso delle curve, ma non la loro struttura. Inoltre, invertendo a con b non si fa altro che ruotare la curva di 90°.

Cominciamo con il caso generale più semplice:

a = b   a/b = 1  (l'angolo descritto è lo stesso)

A ≠ B   ( i coefficienti sono diversi, cambiano le dimensioni del rettangolo)

θ = variabile     (l'angolo di "sfasamento varia tra 0 e 360°)

Per θ = 0 le due oscillazioni sono in fase e siamo nella situazione "degenere" in cui la curva diventa un segmento inclinato di un angolo pari alla tangente di a/b (vedi la puntata precedente)

Le nostre equazioni diventano, infatti:

x = A sin t

y = B sin t

Da cui

sin t = x/a

sin t = y/b

x/a = y/b

y = (b/a) x

che è l'equazione della retta passante per l'origine.

Vediamo, però, come questo segmento cambia al variare di θ... esso si "allarga" sempre più diventando un ellisse con il semiasse maggiore inclinato rispetto agli assi cartesiani, fino a diventare un'ellissi con i semiassi a e b posti sugli assi cartesiani per θ = 90°. Poi l'ellisse inverte la pendenza del semiasse e diventa un segmento ribaltato rispetto a quello iniziale per θ = 180°. Tra 180° e 360° ripercorre, al contrario, il percorso precedente. Le curve più significative sono riportate in Fig. 4.

Se A = B, il rettangolo diventa un quadrato, il segmento è inclinato di 45° rispetto agli assi cartesiani e l'ellisse si trasforma in un cerchio per θ = 90°.

Abbiamo parlato di coniche (ellisse e cerchio), chissà mai che le curve di Lissajous non riescano anche a descrivere una parabola? Detto fatto... Basta porre:

a/b = 1/2

e, per θ = 45°, 135°, 225° e 315° il gioco è fatto! La curva, però comincia a diventare più elaborata per valori diversi di θ. Vediamone l'andamento in Fig. 5.

La configurazione "a farfalla" si ripete ogni 90°, ma tra 90° e 180° vi è un ribaltamento rispetto all'asse x. Dopo 180° tutto si ripete come all'inizio.

Dimostriamo che la curva per θ = 45° è proprio un "pezzo" di parabola. Poniamo nelle nostre equazioni  b/a = 2 e θ = 45°

x = A sin(t + 45°)

y = B sin(2t)

ricordando le formule di somma degli angoli delle funzioni trigonometriche si ha:

x = A sin t cos 45 + A cos t sin 45 = 0.7 A (sin t + cos t)

y = 2B sin t cos t

Quadriamo la prima:

x² = 0.5 A²(sin² t + cos²t +2 cos t sin t)

dalla seconda abbiamo:

y/B = 2 sin t cos t

Ma... sin² t + cos²t = 1

e la prima diventa:

x² = 0.5 A² + 2 0.5 A² cost sin t

2 cos t sin t = x²/(0.5 A² ) - 1

uguagliando le due equazioni

y/B = x²/(0.5 A² ) - 1

y = (B/0.5 A²) x² - B

che è proprio l'equazione di una parabola simmetrica rispetto all'asse y.

La faccenda si complica un po' inserendo valori inferiori di  a/b. Per b dispari si parte da qualcosa che sembra proprio una sinusoide con crescente numero di "onde", ma poi dà luogo a un armonioso intrigo di sinusoidi. Per b pari si parte da un intreccio che degenera in curve quasi sinusoidali per angoli variabili.

Riportiamo qualche esempio sia per a/b = 1/3, che per a/b = 1/10 (Fig. 6 e 7)

Notiamo un fatto importante: le curve si ripetono (al variare di θ) con un periodo pari a 360/b. Non confondiamo, però, il periodo della singola curva che è legato a t, con il periodo della famiglia di curve legate a θ. Il periodo che più interessa, ossia il tempo necessario a "chiudere" la curva relativa a valori definiti di A/B, a/b e θ, può anche essere maggiore di 360°.

Ancora più intrecciate sono le curve che corrispondono a valori di a e b coprimi. Facciamo solo l'esempio per a/b = 2/3 dove sembra spuntare fuori un ... "pesce" (Fig. 8 )

La cosa migliore è provare da sé. Per chi non ha voglia di costruirsi un programmino, posso consigliare questo sito, dove si possono variare a piacere i parametri (chiamati come i nostri) e si può fare l'animazione per θ che varia da 0 a 360°.

Finora abbiamo sempre lavorato su un piano, ma nulla vieta di introdurre un'ulteriore oscillazione anche sull'asse z. L'intreccio che ne risulta è veramente diabolico. A volte si usano anche rappresentare le curve di Lissajous su una superficie sferica. Ricordiamo che le curve di Lissajous hanno dominato l'introduzione del celebre film di Alfred Hitchcock, Vertigo ( La donna che visse due volte, nella versione italiana), come vediamo nel breve filmato che segue. Probabilmente fu la prima applicazione della "computer grafica" in un film.

La cosa più interessante che dovremmo aver notato (come già accennato) è che in ogni caso la curva che ne risulta è sempre chiusa (anche quando sembra aperta, come la parabola, non lo è in quanto essa viene percorsa avanti e indietro). Detto in altre parole, ritornando alla visione delle curve come  traiettorie descritte in funzione del tempo, questo fatto significa che i moti risultanti sono periodici, ossia si ripetono dopo un certo tempo che varia secondo i parametri usati.

Se, invece, il rapporto tra a e b è un numero irrazionale, la curva cessa di essere periodica, ossia resta una curva aperta. Possiamo immaginarci che bellissimo insieme di intrecci ne viene fuori. Vi sono casi in cui la curva risultante viene considerata quasi periodica. Questi casi sono quelli che più piacciono a madre Natura... parlando in questi termini abbiamo aperto la porta verso un'applicazione naturale delle curve di Lissajous, ossia siamo entrati nel campo delle orbite di Lissajous, uno dei problemi più interessanti e complessi della meccanica celeste.

Continua...