Lug 20

Una tosaerba economica e naturale... */**/****

Invece di quelle macchine tosaerba rumorose e che si guastano sempre, ho deciso di affidarmi alla Natura e utilizzare una bella capretta: lei mangia e io sto a guardare...

Nella figura che segue vi mostro la situazione di casa mia (vista dall'alto è un rettangolo di lati a e b con a > b) e del terreno in cui l'erba cresce quest'anno in modo veramente sfrontato. La simpatica capretta C è stata legata (per farle fare un lavoro a regola d'arte) a un angolo della casa con una corda lunga d: Essa è libera, perciò di muoversi entro certi limiti.

Nella figura si vede solo un piccolo pezzo del prato, decisamente più grande (ahimè!).

Mi sono messo a fare un po' di conti e ho calcolato l'area di prato che la capretta riesce a mangiare per diverse lunghezze della corda.

Vi propongo di imitarmi e calcolare l'area "spazzata" dalla capretta, in questi quattro casi:

  1. d ≤ b <a                   *
  2. b < d ≤ a                  **
  3. a < d ≤ a + b           **
  4. d > a + b                  ****

Come vedete, la difficoltà è crescente.

NOTA BENE: è ammessa la trigonometria ma non sono ammessi gli integrali!

Forza... la capretta ha tanta fame e l'erba è sempre più alta...

La soluzione la trovate qui

6 commenti

  1. beh?! come mai questo silenzio? :cry:

  2. Fabrizio

    Provo a rompere il silenzio, anche se la soluzione che ho trovato porta ad espressioni piuttosto complesse.

    Nel caso d>a+b, l'area raggiungibile dalla capretta è composta da 3 zone:

    1) ¾ di cerchio di raggio d e centrato nel vertice V0

    2) ¼ di cerchio di raggio d-b e centrato nel vertice V1

    3) ¼ di cerchio di raggio d-a e centrato nel vertice V2

    Le zone 2 e 3 sono in parte sovrapposte.

    Per ottenere la superficie totale raggiungibile occorre sottrarre il valore della superficie sovrapposta alla somma delle superfici delle 3 zone. I valori delle superfici delle 3 zone sono nella figura sotto.

     

    Un elemento necessario per calcolare la superficie sovrapposta è la posizione del punto S dove si incontrano le circonferenze che delimitano del zone 2 e 3. Identifico questa posizione con le distanza orizzontale (s2) e verticale (s1) dal vertice V3.

    Questo punto deve trovarsi a distanza (d-b) dal vertice V1 e a distanza (d-a) dal vertice V2.

    Applicando il teorema di Pitagora ottengo le due equazioni in alto a sinistra della figura sotto. Le due equazioni devono valere contemporaneamente.

     

    Le due equazioni formano un sistema di due equazioni in due incognite (s1 e s2). Le espressioni di s1 ed s2 per la soluzione che ci interessa sono piuttosto complicate. Comunque esistono. Conviene continuare a lavorare con i simboli s1 ed s2 senza sostituirli con le loro espressioni in a, b e d.

    Ore che possiamo dare per nota la posizione di S, passiamo al calcolo della superficie sovrapposta.

    Possiamo suddividere questa superficie in 3 aree. L'area centrale è un rettangolo (A0) di lati s1 e s2.

    Poi ci sono 2 segmenti circolari. Uno (A1) facente parte della circonferenza con centro in V1, raggio (d-b) e semi-corda s1. L'altro (A2) facente parte della circonferenza con centro in V2, raggio (d-a) e semi-corda s2.

    Il calcolo della superficie di una segmento circolare è dato dalla differenza tra la superficie del settore circolare sottesa da un certo angolo e la superficie del triangolo sotteso dello stesso angolo. Nel nostro caso dobbiamo considerare solo la metà del segmento circolare.

    Per questi calcoli occorre conoscere l'angolo che sottende i nostri segmenti circolari. Li possiamo identificare partendo dalla funzione seno che è data per i due angoli dai rapporti s1/r1 ed s2/r2. Dobbiamo quindi inserire questi valori nella funzione arcoseno, che inverte la funzione seno.

    Le formule finali per le 3 superfici sono quelle nella figura sotto.

     

    Quindi alle tre superfici indicate nella prima figura va sottratto il valore della somma A0+A1+A2.

    Le espressioni per s1 ed s2 sono queste.

    s_1=\frac{{{a}^{\frac{3}{2}}}\, \sqrt{b}\, \sqrt{2 {{d}^{2}}-2\left( b+a\right) d+a b}+\left( {{b}}-a\right) b d-{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}}

    s_2=\frac{\sqrt{a}\, {{b}^{\frac{3}{2}}}\, \sqrt{2 {{d}^{2}}-2\left( b+ a\right) d+a b}+\left( {{a}}-b\right) a d-{{a}^{3}}}{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}}

  3. tu hai tolto, io ho aggiunto... con calma verifico l'uguaglianza...

  4. Mi permetto di chiedere a Fabrizio un'ulteriore "fatica":

    caro Fabry, hai voglia e tempo di calcolare l'area totale per i seguenti valori numerici

    a = 20, b = 10 e d = 50 ?

    Lo chiedo a te perché non vorrei farlo io commettendo magari un errore... Così poi potremo confrontare i risultati finali con i due metodi.

    Senza impegno, ovviamente... :wink:

    Grazie!

  5. Fabrizio

    Con i valori indicati l'area totale mi viene 7512,2022.

    Il punto di intersezione si trova a (17,26 , 14,53) dal vertice della casa.

  6. perfetto Fabry! Metterò in evidenza anche il tuo metodo nella soluzione.

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