12/08/20

Integrazione per parti. 1 *

Non ne abbiamo mai parlato, ma questo metodo di integrazione permette di risolvere molti problemi collegati alla soluzioni di integrali che sembrano apparentemente molto difficili, se non impossibili. Ci permette, soprattutto, di proporre quiz piuttosto interessanti e utili.

Ricordiamo solo al volo il significato dell'integrale di una certa funzione f(x). L'integrale è l'inverso della derivata, per cui il risultato sarà una funzione F(x) tale che la sua derivata sia proprio f(x). In realtà bisogna aggiungere sempre una costante c, dato che anche tutta la famiglia di funzioni del tipo F(x) + c ha come derivata sempre f(x). F(x) è chiamata anche primitiva della funzione f(x). L'integrale della funzione f(x) è perciò dato dalla famiglia delle primitive F(x) + c.

Ovviamente, se l'integrale è definito, il risultato sarà la differenza tra la primitiva calcolata nel primo punto di integrazione e la primitiva calcolata nel secondo punto di integrazione. In questo caso la costante si elimina e il risultato è univoco.

Tuttavia, calcolare un integrale è cosa facile solo se la funzione che deve essere integrata (la primitiva) è una derivata immediatamente riconoscibile, altrimenti bisogna escogitare qualche trucchetto per metterla in evidenza (ad esempio con la sostituzione della variabile).

Eh no, cari amici, se fare una derivata di una funzione è quasi sempre più o meno agevole e segue regole ben definite, fare un integrale necessita di colpo d'occhio e di fantasia. Ed è un peccato, in quanto sappiamo che l'integrale (specialmente definito) è operazione fondamentale. Ricordiamoci che senza il calcolo di un integrale particolarmente difficile è impossibile ricavare le leggi di Keplero dalla formula di Newton. In generale, poi, è operazione spesso indispensabile quando si vogliono calcolare le aree racchiuse tra una curva e gli assi coordinati, o, addirittura, tra due curve. Sapere manovrare certi integrali diventa essenziale per risolvere problemi di grande interesse. Tra i vari metodi che si possono utilizzare (attraverso riflessione e fantasia) vi è quello detto dell'integrazione per parti. Un metodo spesso abbastanza intuitivo e rapido, ma che può avere bisogno di essere ripetuto più di una volta e che presuppone molta pazienza e una descrizione precisa e comprensibile. Spesso, manca proprio questa descrizione e il problema più serio nasce proprio nel cercare di capire quali sono le funzioni che entrano in gioco.

In questo articolo cercherò di presentare il metodo in forma estremamente divulgativa e comprensibile, a costo di eseguire passaggi più numerosi del dovuto. Poi, con l'esercizio, si vedrà che tutto può semplificarsi, mediante schemi che sintetizzino i passaggi da compiere.

Ci occupiamo di un integrale di una funzione che è chiaramente rappresentata come prodotto di due funzioni, ossia del tipo

∫f(x)d(x) dx

La prima cosa da fare, davanti a un integrale, è sempre vedere se il prodotto che appare ha una primitiva immediata. Ad esempio se avessimo come prodotto

f(x) = a         costante

e

g(x) = x

dovremmo calcolare l'integrale

∫a x dx

Sappiamo però che una costante può essere portata fuori dall'integrale, per cui il nostro prodotto si riduce a

a∫x dx

Ma x è una derivata di una funzione facile da calcolare. Essa è infatti

x2/2. Basta provare...

d(x2/2)/dx = 2x/2 = x

Per cui il nostro integrale si risolve subito

∫a x dx = a∫x dx = a x2/2 + c          (la costante c ci dice che la soluzione è in realtà un'intera famiglia di funzioni)

Ancora più facile (forse) sarebbe calcolare l'integrale di

∫(a/x )dx

le due funzioni sarebbero

f(x) = a

e

g(x) = 1/x

Come al solito la costante a può uscire fuori dall'integrale e ciò che rimane da integrare è

∫(1/x)dx

Ma ricordando (questo punto è essenziale) gli integrali fondamentali, cioè quelli delle funzioni più semplici, sappiamo che la funzione primitiva che ha come derivata 1/x è proprio ln x

Per cui

∫(1/x) dx = ln x + c

In conclusione

∫(a/x)dx = a∫(1/x )dx = a ln x + c

(più correttamente dovremmo scrivere ln|x| per coprire tutti i casi possibili)

Ma cosa potremmo dire di un integrale leggermente diverso...

∫(x cos x) dx

Beh... la faccenda si complica di molto, dato che adesso la funzione f(x) è x, mentre la g(x) è cos(x). Ci areniamo immediatamente dato che NON conosciamo nessuna funzione semplice la cui derivata sia proprio x cos(x), ossia la primitiva di x cos(x) non è assolutamente una funzione riconoscibile immediatamente. Ripetiamo ancora il problema: per fare l'integrale del nostro prodotto f(x)g(x) = x cos(x) devo trovare una funzione F(x) tale che la sua derivata sia proprio x cos(x).

Eh no... non è cosa facile se non per chi conosce già molto bene gli integrali e ne ha immagazzinato  i risultati per molte funzioni dall'aspetto non banale. Cominciamo, perciò, a limitare le nostre aspirazioni e vedere se almeno una delle due funzioni f(x) o g(x) abbia una primitiva immediata. Nel nostro caso andrebbero bene tutte e due, dato che la primitiva di x è x2/2 e quella di cos(x) è sin(x). A costo di esser pedante, proviamolo:

d(x2/2)/dx = x = f(x)

d(cos(x))/dx = sin x = g(x)

Perfetto. Ma non possiamo certo sognarci di dire che: "La derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto delle derivate!" Sarebbe un errore imperdonabile. Ne segue che la primitiva del nostro integrale NON è certo f'(x)g'(x). La sua formula è leggermente più complicata e vale:

(f(x) g(x))' = f'(x)g(x) + f(x) g'(x)

Aver evitato un errore madornale ci ha  richiamato una formula fondamentale delle derivate ed è proprio lei che ci permetterà di risolvere l'integrale.

Chi è meno "ferrato" rifletta sopra le cose che abbiamo detto, le digerisca per bene fino a vederle come vere banalità. Dopo saremo tutti pronti a passare al metodo dell'integrazione per parti.

continua...

 

Questo articolo è stato inserito nel CORSO COMPLETO DI MATEMATICA

2 commenti

  1. Marco

    Errata - corrige: ∫(1/x) dx = ln x + c dovrebbe essere ∫(1/x) dx = ln |x| + c

    (manca il modulo di x, che permette di calcolare l'integrale di 1/x anche quando x è negativo)

  2. Hai ragione Marco... ma miravo soltanto ai concetti di base. Correzione eseguita!

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