28/12/20

Un pentagono alla... giapponese **

Questo articolo è stato inserito nella sezione d'archivio "Matematica e Geometria"

 

I giapponesi, oltre a tutti i loro misteri, i loro riti, le loro cerimonie, il loro modo di pensare e agire, ben diverso da quello occidentale, ci hanno anche regalato una geometria del tutto speciale, veramente affascinante. Iniziamo a entrare in questo mondo, dove intendo tornare spesso...

Tra il 1603 e il 1868, l'epoca dei samurai, il Giappone si chiude in se stesso, estraniandosi completamente dalle culture straniere. La matematica e la geometria non erano mai state affrontate con particolare attenzione e riflettevano quel poco che proveniva dalla Cina attraverso la Corea. Tuttavia, proprio nel periodo Edo, quello sopra citato, vi è una fioritura eccezionale dell'economia, dei rapporti sociali e della cultura, in genere. I giapponesi scoprono i misteri della matematica e della geometria, utilizzando approcci del tutto personali. Nasce così la geometria dei templi. A tutti i livelli di istruzione, vengono proposti, affrontati e, spesso, risolti particolari problemi che vedono frequentemente protagonisti cerchi e tangenze varie tra di essi.

Ne proporremo qualcuno anche noi, ma, come antipasto, vediamo un metodo tutto giapponese per disegnare un pentagono regolare. Spesso i problemi hanno risvolti che toccano l'architettura, ma il più delle volte sono problemi puramente mentali che hanno un seguito incredibile tra la popolazione. Viene chiamata geometria dei templi, dato che i vari quesiti geometrici vengono dipinti su tavole e queste esposte nei templi, come una specie dei nostri ex voto. Ma, in questo caso, il loro significato è ben diverso: stimolare alla soluzione o riportarla attraverso dimostrazioni, spesso del tutto sconosciute agli occidentali. Queste tavolette prendono il nome di Sangaku e rappresentano una visione del tutto peculiare, veramente affascinante.

Un pentagono alla giapponese

La costruzione si avvale solo di circonferenze e ci porterà alla immancabile serie di Fibonacci...

Consideriamo una circonferenza, di raggio unitario e centro O, e tracciamo due diametri ortogonali tra loro, come mostra la Fig. 1.

Figura 1

Nella stessa figura tracciamo due circonferenze, aventi i loro centri lungo il diametro verticale, tale che sino tangenti tra loro e con la circonferenza di partenza. Ne segue che esse sono uguali e hanno come raggio la metà del raggio del cerchio di base. Siano P e Q i loro centri.

Uniamo  Q con il punto C, intersezione della circonferenza più grande con il diametro orizzontale e indichiamo con T il punto appartenente alla circonferenza di centro Q posto lungo la congiungente CQ. Facendo centro in C, disegniamo la circonferenza di raggio uguale a CT. Quest'ultima interseca la circonferenza iniziale nei punti E ed F. Bene... questi due punti appartengono al pentagono regolare iscritto nella circonferenza di raggio unitario. In altre parole, il segmento EF è proprio il lato del pentagono.

Dimostriamolo facilmente, ricordando che il raggio (OA = OC) della prima circonferenza è uguale a 1.

La distanza CQ vale:

CQ = √(CO2 + OQ2) = √(1 + 1/4) = √5/2

Per costruzione:

CE = CF = CT = CQ - QT = √5/2 - 1/2 = (√5 - 1)/2

Consideriamo il triangolo CFD. Esso è rettangolo in F, dato che quest'angolo è l'angolo alla  circonferenza di un semicerchio.

Possiamo perciò scrivere che:

sen(CDF) = CF/CD = ((√5 - 1)/2)/2 = (√5 - 1)/4

CDF vale, perciò, esattamente 18°.

Dato che COF è l'angolo al centro relativo all'arco CF, ed è quindi doppio dell'angolo alla circonferenza CDF, è ovvio che

COF = 36°

Da cui:

EOF = 72°,

72° è proprio l'angolo che sottende il lato di un pentagono regolare: EF è il lato richiesto!

Basta, ora, fare centro in E e tracciare la circonferenza di raggio EF, determinando immediatamente un altro vertice del pentagono (L) e via dicendo fino a tornare in F (Fig. 2), con un favoloso intreccio di curve (alla giapponese, appunto...).

Figura 2

Non possiamo, però, fermarci qui... Avrete notato sicuramente che compare la radice quadrata di 5, un numero che ci ricorda la celebre sezione aurea  e, quindi, la serie di Fibonacci . Vuoi vedere che ci ricadiamo?

Tracciamo una nuova circonferenza di raggio OR, come mostrato in Fig.3.

Figura 3

Quanto vale OR?

(Ricordando che CR = CN = CF)

OR = OC + CR = 1 + CN = 1 + CF = 1 + (√5 - 1)/2 = (1 + √5)/2

Ne segue che il rapporto tra OR e OC ( = OA = 1) è proprio la sezione aurea :

= OR/OA = (1 + √5)/2

Alla prossima...

Sayonara (さようなら)

 

 

2 commenti

  1. Giuseppe_KRK

    ありがとう(Arigatō)

    :-D

     

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