29/07/22

Dall'onda all'esponenziale complesso **

Questo articolo è inserito in Meccanica Quantistica

 

Quando avevo scritto l'articolo sulla derivazione matematica della funzione d'onda, avevo dato per acquisito il fatto che un'onda potesse essere rappresentata da un certo esponenziale complesso. Penso che sia giusto colmare questa lacuna e completare il discorso...

Abbiamo visto che un punto P qualsiasi dell'onda non si muove nello spazio, ma oscilla in funzione del tempo. Non è difficile, allora, considerare un moto circolare uniforme e vedere cosa comporta. Consideriamo il punto P e iniziamo a farlo ruotare lungo la circonferenza di Fig. 1 in senso antiorario.

Figura 1

La sua ascissa non fa altro che passare da un valore massimo quando l'angolo θ è uguale a zero a un valore zero quando θ è uguale a 90° e via dicendo, compiendo un'oscillazione completa. Se passiamo in coordinate polari possiamo scrivere il valore dell'ascissa x (e dell'ordinata y) in funzione dell'angolo teta con le ben note formule:

x = r cos θ                   .... (1)

y = r sin θ

L'angolo θ varia in funzione del tempo , per cui è immediato legarlo ad esso tramite la velocità angolare ω, che consideriamo costante e che è data da:

ω = θ/t     (variazione dell'angolo in funzione del tempo)

e quindi:

θ = ωt

Andando a sostituire θ nella (1) si ottiene:

x = r cos ωt

che rappresenta proprio un'onda sinusoidale. Potevamo anche prendere la y, tenendo conto che le due curve risultano uguali a parte uno sfasamento di 90°. Questo tipo di moto si dice armonico semplice e rappresenta molto bene un'onda in cui una certa variabile (x, ad esempio) varia rispetto al tempo.

Ovviamente, se cambia la velocità angolare otteniamo oscillazioni più o meno rapide e non è certo difficile legare la velocità angolare alla lunghezza d'onda e alla frequenza.

Abbiamo compiuto il primo passo, ossia abbiamo decritto un'onda attraverso un moto circolare uniforme.

Facciamo, adesso, un ulteriore passo in avanti e cambiamo piano di riferimento portandoci nel piano complesso, dove l'ascissa rappresenta i numeri reali e la y i numeri immaginari (Fig. 2).

Figura 2

Sappiamo che qualsiasi punto di questo piano può essere scritto come:

z = x + i y                    .... (2)

x è la sua parte reale e y è la sua parte complessa. La semplice relazione (2) deve essere vista come una relazione tra vettori, ossia se consideriamo il vettore OP, esso è dato dalla somma del vettore OH e del vettore HP. Chiamiamo r la lunghezza del vettore OP. Passando in coordinate polari, indichiamo con teta l'angolo tra l'asse reale e il vettore OP. Ne segue che:

x = r cos θ

y = r sin θ

La (2) diventa allora:

z =  r cos θ + r i sin θ

z = r (cos θ + i sin θ)

A questo punto non ci resta che far variare θ, mantenendo r costante e otteniamo proprio un moto circolare uniforme. Poco ci importa se compare una parte immaginaria. Quello che conta è che l'ascissa rappresenta la parte reale e il suo moto è proprio quello che abbiamo descritto precedentemente. Ma ecco intervenire Eulero che ha appena dimostrato l'importantissima relazione:

e = cos θ + i sin θ

da cui:

r e = r (cos θ + i sin θ)

In poche parole l'esponenziale rappresenta perfettamente un moto circolare uniforme che sappiamo ormai bene rappresenta perfettamente un moto armonico, ossia un'onda.

Possiamo benissimo scrivere  ωt al posto di θ e ottenere:

r ei ωt = r(cos ωt + i sin ωt)        .... (3)

La (3) descrive perciò un'onda, ossia, la parte reale dell'esponenziale è proprio l'onda cercata. Dove sta il vantaggio di tutto ciò? Nel fatto che le derivate dell'esponenziale sono sempre uguali all'esponenziale (ricordate dex/dx = ex). Quando l'onda non è più semplice, ma diventa una somma di onde -e in molti altri casi- poter avere a che fare con esponenziali è un vantaggio veramente enorme.

N.B.: La (3) si può trovare scritta in altro modo, dato che il legame tra velocità angolare e lunghezza d'onda è piuttosto ovvio. In ogni modo l'esponente di e è sempre la fase dell'onda, ossia il valore dell'angolo θ. Non deve stupire, quindi, che, nell'articolo sull'equazione di Schroedinger, abbiamo scritto:

ψ (x,t) = e 2π i (x/λ - f t)

e abbiamo chiamato fase tutto ciò che sta nella parentesi dell'esponente. In tal modo rispondiamo a un dubbio manifestato da Alberto...

Per dimostrarlo torniamo alla nostra onda, come descritta in questi articoli

Avevamo calcolato la velocità v di propagazione e avevamo anche stabilito che:

λ f = v

Bene. Rappresentiamo, allora, la nostra funzione d'onda che deve essere una funzione di x e di t.

Abbiamo provocato  in t= 0  e x = 0 una perturbazione di forma y = g(x) che si sposta nella direzione di x positiva, con velocità v. Dopo un tempo Δt  = t − 0 = t, tutti i punti della perturbazione si saranno spostati di v t, la perturbazione si troverà
nel punto x = 0 + v t e avrà la stessa forma, ossia:

y = g(x) = g(x - v t)       .... (5)

Infatti: g(x - vt)= g(0 + v t − v t)= g(0).

La (5) ci dice chiaramente che la nostra funzione dipende sia da x che da t, ossia possiamo scriverla tranquillamente come:

y = g(x,t) = g(x - v t)

Essa può essere visualizzata in due modi (ne abbiamo parlato negli articoli)

Per t = cost ⇒ y(x,t) = g(x). Essa è l’andamento dei valori di y in ogni punto dello spazio x in cui si propaga l’onda ma ad un tempo fissato.

per x = cost ⇒ y(x,t) = h(t). Essa è l’andamento dei valori di y in funzione del tempo di un punto fissato dello spazio in cui si propaga l’onda (moto di un punto del mezzo disturbato dall’onda, ossia l'oscillazione)

Nelle due visualizzazioni, comunque, si mantiene la lunghezza d'onda e la frequenza.

Come funzione è ovvia la scelta di una funzione trigonometrica come seno o coseno. Possiamo scrivere, ad esempio:

y = cos (x - vt)

Per rendere adimensionale l'argomento del coseno ci basta moltiplicarlo per 2π/λ, ottenendo:

y = cos (( 2π/λ x - 2π v t/λ)

ricordando che  λ f = v

y = cos (2π (x/λ  - f t))

L'argomento del nostro coseno non è altro che la fase, ossia l'angolo θ della rappresentazione che abbiamo appena descritto, ossia wt.

 

2 commenti

  1. Alberto Salvagno

    Grazie Enzo, mi hai tolto una spina dal fianco. Il quadro ormai mi è sempre più chiaro. Ora ho capito anche il passaggio tra la tua funzione d'onda  ψ (x,t) = e^ [2π i (x/λ - f t)]   e quella che ho trovato espressa in un diverso modo:  ψ (x,t) = e^ [i(kx- ωt)]   con  k = 2 π / λ.

    Sapendo che ω = 2π f, se vado a sostituire trovo  Ψ (x,t) = e^ i[(2 π / λ)x- 2π ft] = e^ [2π i (x/λ - f t)] e anche questo dubbio me lo sono tolto. Non dico che ora ho digerito tutto, ma pian piano ci sto arrivando.

    Stimolato da te, mi sono messo a ristudiare i numeri complessi, i moti armonici, ecc. ecc. e il quadro mi si fa sempre più chiaro. Ho trovato un buon ulteriore approfondimento su Schroedinger & c. in un sito che è un po' concorrente. Lo nomino? Per me ha solo il gran difetto di essere molto, molto meno laico :-)

    Massì, lo dico: http://www.fmboschetto.it/tde5/quant6.htm

    Lasciami infine spiegare a te e agli amici del circolo questo mio diverso impegno tra lo studio di questi argomenti  e le mie ingenue risposte ai tuoi quiz. Lo studio delle funzioni d'onda (ad esempio) mi appassiona moltissimo perché lo incasello nell'archivio delle massime conoscenze umane; davanti a un quiz (per quanto intelligente) provo invece un senso di blocco. Non so mai quanto valga la pena impegnarsi. Tipico caso quello dei due giri di pista. Ho buttato giù d'acchito la risposta più istintiva, tanto per rompere il ghiaccio, convinto però che non fosse per niente quella esatta. Avevo intuito che si doveva tener conto dei diversi tempi e avevo anche scritto nel mio foglio di appunti v1 = s/t1 e v2 = s/t2, ma lì mi son fermato.

    Anche quando presenzio a qualche conferenza e alla fine si apre il "tragico" dibattito, quasi sempre mi sforzo di rompere il ghiaccio per primo, a costo di risultare banale. E funziona.

  2. Caro Albertone,

    ci sono tanti altri siti fatti bene, ma -come avrai capito- a me piace cimentarmi nel cercare di essere il più semplice possibile. Tuttavia, ben vengano aiuti esterni: nessuna concorrenza se sono corretti! E ben vengano anche le risposte più ingenue... servono sempre anche loro!

     

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