19/11/22

L'uomo vitruviano di Leonardo **

Forse, nessuno ha provato a risolvere il quiz relativo alla quasi-quadratura del cerchio. Ho notato, infatti, il bassissimo numero di lettori. Tuttavia, non demordo, dato che reputo sicuramente interessanti le conclusioni, soprattutto se si ama l'arte e si cerca di comprendere le ragioni e i messaggi che ci arrivano dalle opere dei grandi maestri. Per cui, eccovi la soluzione e la ragione del mio piccolo gioco di prestigio.

Un celeberrimo disegno di Leonardo mostra un uomo completamente nudo inserito dentro un cerchio e un quadrato. Il centro del cerchio cade proprio nell'ombelico dell'uomo, simbolo della nascita. Le proporzioni umane sono tratte dalla descrizione dell'uomo perfetto di Vitruvio e il significato profondo del disegno indica come l'uomo stia perfettamente all'interno di due figure simboliche, rappresentanti la Terra (il quadrato) e l'Universo (il cerchio). In poche parole, l'uomo è in perfetta sintonia con il micro e il macrocosmo. Attraverso l'uomo si può misurare il tutto ed arte e scienza si uniscono in un capolavoro immortale.

Un'opera che continua a essere interpretata in svariati modi  e che sembra contenere il mistero stesso della creazione. Noi non siamo filosofi e quindi stiamo con i piedi per terra, senza però toglierci la voglia di aggiungere qualche mistero in più...

Cambiamo argomento (almeno apparentemente) e rifacciamoci alla quadratura del cerchio, sicuramente uno dei problemi più dibattuti nella storia della Scienza antica (ma non solo). In esso si parla di aree di cerchio e quadrato, ma noi possiamo fermarci anche solo al ... perimetro.

L'idea è quella di cercare di costruire con il solo compasso (molle) e una riga senza tacche, un cerchio che abbia lo stesso perimetro del cerchio: una rettificazione della circonferenza senza usare l'esaustione.

Bene, iniziamo a disegnare un quadrato di lato d in Fig. 1

Figura 1

Sul lato in basso dl quadrato determiniamo il punto di mezzo M (operazione plausibile). Uniamo M con i vertici A e B del quadrato e disegniamo il triangolo isoscele ABM. In modo analogo a prima, troviamo i punti medi dei tre lati del triangolo (N, H, K) e tracciamo gli assi, che altro non sono che le perpendicolari tracciate per un punto (altra operazione ammessa). L'intersezione degli assi individua il circocentro del triangolo. E' immediato dimostrare che CA = CB = CM, considerando i triangoli congruenti AHC, HMC, MKC e CKB (due lati e l'angolo compreso uguali).

Facendo centro in C, tracciamo la circonferenza di raggio CA. Essa deve, ovviamente, passare anche per B e M.

Consideriamo le due corde AB e LM e applichiamogli il teorema delle corde

AN · NB = LN · NM

d/2 · d/2 = (2r - d) · d

d2 = 8rd - 4 d2

8r = 5 d

r = 5d/8

Il perimetro p del  quadrato vale

p = 4d

La circonferenza c di raggio r vale

c = 2π r = 2 π 5 d/8 = 10 π d/8

Facciamo il rapporto

p/c = 32 d/(10 π d) = 32/π 10 ∼ 1.0

E' vero, è vero... il risultato è veramente molto approssimato e implicherebbe un valore di π uguale a 3.2. Tuttavia, sarebbe, comunque, un'ottima approssimazione per un artista-scienziato indaga tra misteri della creazione e dei rapporti uomo-cosmo. Riproduciamo nella Fig. 2 l'uomo vitruviano di Leonardo...

Figura 2

Cerchio, quadrato,... eh sì, assomiglia molto al nostro problemino di geometria risolto con riga e compasso. Uniamo la Fig. 1 e la Fig. 2 ed ecco in Fig. 3 un altro possibile significato dell'uomo vitruviano, un tentativo di quadrare il cerchio attraverso la pura arte e la perfezione della forma umana descritta dai greci.

Figura 3

Una mia fantasia? Sicuramente sì, ma con Leonardo non si sa mai...

4 commenti

  1. Alberto Salvagno

    Convincente comunque.

    Segnalo solo il solito orrore del proto: "troviamo i punti medi dei tre lati del triangolo (M, H, K)" nel disegno sono N, H e K

  2. Alberto Salvagno

    Dicono che Leonardo fosse più interessato ai maschi, ma mi sono sempre chiesto se le stesse identiche proporzioni sussistano anche per le femmine.

    Il mio insegnante di disegno mi aveva anche raccontato che le proporzioni umane dovrebbero rispettare pure la misura aurea: tutta l'altezza (a gambe chiuse e non divaricate) sta alla lunghezza dai piedi all'ombelico come quest'ultima sta alla lunghezza dall'ombellico alla cima della testa; ovvero la misura dai piedi all'ombelico è media proporzionale tra l'altezza totale e la lunghezza dall'ombellico alla cima della testa.

    Quindi nel tuo disegno sarebbe NM:MC=MC:CN.

    MC=r, NC^2=r^2-(d/2)^2, NM=NC+MC e poi?

    Vale la pena andare avanti? Perché alla fine per non risultare deforme visto che sono alto 186 cm dovrei misurare da terra all'ombelico 186:1,62=115 cm. Meglio lasciar perdere...

  3. Io mi fido di Vitruvio e non del tuo insegnante... :wink:

  4. Alberto Salvagno

    Miscredente! E invece quasi ci siamo. Lasciami fare i miei esempi pratici. Poniamo che d=10, per cui r=50/8=6,25 allora NC=(6, 25^2-5^2)^1/2=3,74 e MC=6,26. Per rispettare la misura aurea MC dovrebbe essere = 10:1,618 = 6,18. Basta gonfiare o sgonfiare un po' la pancia e....

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