Funzione coseno

y = cos x

Il procedimento é analogo a quello usato per il seno e potete provare a eseguirlo da soli. In ogni modo lo riporto qui di seguito.

d(cos x)/dx = lim_{h →0} (cos (x + h) - cos (x))/h = lim_{h →0} ((cos x cos h - sin x sin h) - cos (x))/h

d(cos x)/dx = lim_{h →0} ((cos x cos h)/h - (sin x sin h)/h - cos (x))/h)

d(cos x)/dx = lim_h→0 cos(x)(cos h - 1)/h - lim_h→0 (sin x sin h)/h

d(cos x)/dx = cos(x) lim_h→0 (cos h - 1)/h - sin x lim_h→0 sin h/h

A questo punto approfittiamo dei limiti notevoli calcolati la puntata precedente, ossia:

lim _h→0 ((1 - cos h)/h) = 0

ricordando sempre che cos h - 1 e 1 - cos h portano allo stesso risultato

e

lim_h→0sin h/h = 1

Sostituendo si ottiene subito:

d(cos x)/dx = cos(x) lim_h→0 (cos h - 1)/h - sin x lim_h→0 sin h/h = 0 - sin x = - sinx

d(cos x)/dx = - sinx

Funzione tangente

y = tan x

Potremmo tentare di scrivere il rapporto incrementale e poi usare le formule che determinano la tan di (x + h). Tuttavia, è più conveniente fare uso delle proprietà delle derivate applicate al rapporto sin x/cos x, dato che ormai conosciamo sia la derivata di sin x che di cos x.

y = sin x/cos x

Derivare questa funzione vuol dire derivare il rapporto di due funzioni f(x) e g(x), ossia usare la formula:

y' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x))²

Nel nostro caso:

y' = d(tan x)/dx = (d(sin x)/dx · cos x - sin x · d(cos x)/dx)/cos²x

y' = (cos x · cos x - ( - sin x)(sin x))/cos²x

y' = (cos²x + sin²x/cos²x) = 1/cos²x

d(tan x)/dx = 1/cos²x

Ovviamente, risulta altrettanto facile calcolare la derivata della cotangente (cot x), dato che si ripete il procedimento per la funzione cos x/sin x. Da cui

d(cot x)/dx = - 1/sin²x

 

Gli articoli dedicati alle derivate delle funzioni fondamentali sono disponibili QUI

e fanno parte del corso completo di matematica