Questo articolo fa parte della serie "Disegnare in tre dimensioni: tra storia e pratica"

 

Rappresentazione di un piano qualsiasi

Finora, trattando con punti e rette, abbiamo dovuto "proiettare" sui piani di riferimento, ossia PO e PV. Le cose sembrerebbero più semplici per la rappresentazione di un piano . Esso, viene, infatti, individuato dalle sue intersezioni con i piani PO e PV, che sono due rette (nel caso generico).  Queste due rette sono chiamate tracce del piano e sono indicate con t1α (su PO) e t2α (su PV), dove α è il piano da rappresentare. Nel caso più generale, ossia quando il piano è inclinato rispetto a entrambi i piani PO e PV, otteniamo la Fig. 15.

Ovviamente le due tracce devono incontrarsi in un punto che sta sulla Linea di Terra (l'unico punto del piano in comune sia a PO che PV).

Possiamo, poi, considerare i piani perpendicolari a PO (o PV) e inclinati rispetto all'altro. Otteniamo due tracce di cui una è perpendicolare alla LT. In Fig. 16 è riportato il caso del piano perpendicolare a PV.

Il piano α potrebbe anche essere perpendicolare alla Linea di Terra, ossia perpendicolare a entrambi i piani PO e PV, come mostra la Fig. 17

In questo caso le due tracce del piano formano una sola retta perpendicolare a LT.

Più interessanti ancora, sono, però, i casi in cui una traccia va all'infinito. Ciò si ottiene per i piani paralleli a PO o a PV. L'unica traccia visibile risulta essere parallela alla LT, mentre l'altra interseca il piano fondamentale rimanente all'infinito. Riportiamo il caso di ortogonalità a PV in Fig. 18.

Rimangono due casi interessanti: Il primo è quello di un piano parallelo alla Linea di Terra, che è rappresentato da due tracce entrambe parallele alla LT (Fig.  19).

Il secondo è la rappresentazione di un piano contenente la Linea di Terra. Lo vediamo in Fig. 20.

Le tracce del piano α coincidono entrambe con la LT. Ne segue che qualsiasi sia l'inclinazione di questo piano rispetto a PO e PV, la rappresentazione risulta sempre la stessa. Si risolve la faccenda disegnando un punto appartenente al piano, come P. Per una retta (LT) e per un punto (P) passa uno e un solo piano.

Criteri di appartenenza

Dopo aver introdotto il piano potremmo essere in grado di disegnare qualsiasi figura. Non sarebbe certo un lavoro semplicissimo, ma sicuro!

Prima di far ciò, è importante, però, capire molto bene i criteri di appartenenza di un ente geometrico a un altro. Questa analisi semplifica di molto la rappresentazione grafica e rende ormai del tutto inutile l'assonometria. Noi, comunque, continueremo ad usarla, nei casi meno evidenti,  per aiutarci nella comprensione delle figure. Ecco qualche esempio ...

Tralasciamo il caso di un punto appartenente a una retta, in quanto già trattato nella Fig. 12. Ricordiamo solo che le proiezioni del punto devono stare sulle proiezioni della retta.

Retta generica appartenente a un piano generico

Nella Fig. 21 abbiamo inserito anche la visione assonometrica, tuttavia lasciamola come controllo e costruiamo direttamente la rappresentazione nel piano di Monge. Innanzitutto disegniamo le due tracce del piano (t1α e t2α).

Poi ragioniamo un attimo... se la retta r appartiene al piano, le sue tracce T1r e T2r devono trovarsi sulle rispettive  tracce del piano. Avendo le due tracce della retta è banale costruire le proiezioni della retta, ricordando quanto fatto nel capitolo precedente. Ed ecco quindi la nostra retta definita da r' e r" insieme alle due tracce del piano. In poche parole, abbiamo imparato che una retta appartiene a un piano se e solo se le sue tracce appartengono alle tracce del piano.

Costruiamo, adesso, alcuni casi particolari, lavorando solo con le proiezioni di Monge, usando l'assonometria come "controllo".

Retta parallela a PV, inclinata rispetto a PO, appartenente a un piano generico

Usiamo la Fig. 22

Innanzitutto tracciamo le due tracce del piano generico. Su di esse devono stare le tracce della retta. Nessun problema per T1r che deve trovarsi sulla traccia t1α. Più problematica è T2R che non può trovarsi su t2α dato che la retta è parallela al piano (PV) su cui giace t2α. O, almeno, può solo trovarsi nel punto all'infinito di t2α. La proiezione r” deve congiungere T”1r con T2r , ma questo punto è all’infinito. Ne segue che r” è parallela a t2α. Per la proiezione r’ devo congiungere T1r con T”2r, che, però, si trova all’infinito. La proiezione r’ è, perciò, parallela alla LT.

Se la costruzione appare un po' faticosa, riportiamo la visione assonometrica nella parte destra della Fig. 22 che sembra molto più semplice dato che siamo abituati a proiettare in modo assonometrico.

Retta generica appartenente a un piano perpendicolare a PO

Le due tracce della retta devono sempre stare sulle due tracce del piano. Queste ultime sono rappresentate in rosso nella Fig. 23.

Essendo il piano perpendicolare a PO la sua traccia su PV deve essere perpendicolare a PO. Ne segue che il segmento da T2r  a T'2r deve coincidere con la traccia t1α. La traccia T1r determina invece T"1r. Per trovare le due proiezioni della retta r basta congiungere T"1r con T2r (r") e T'2r con T1r (r').

Retta perpendicolare al PO, appartenente a un piano perpendicolare al PO

Come il caso precedente, ma con la retta perpendicolare anch'essa al PO (Fig. 24)

Le tracce del piano sono le stesse della Fig. 23. Cambiano invece la tracce della retta. T2r è un punto all'infinito, mentre T1r dà luogo a T"1r. Congiungiamo T"1r con T2r, ossia tracciamo la retta passante per T"1r parallela a T2r  e otteniamo r". Dove si trova T'2r? Sappiamo che T2r è all'infinito e, quindi, T'2r coincide con T1r. La proiezione r' deve congiungere T1r con T'2r e quindi si riduce a un punto.

Punto appartenente a un piano

Concludiamo questo capitolo con l'appartenenza di un punto a un piano generico. Questo esercizio permette di riassumere le manovre fondamentali che abbiamo descritto finora. Lavoriamo solo nel piano di Monge (Fig. 26)

Descriviamo il piano α con le sue tracce t1α e t2α. Poi disegniamo una retta r che, dovendo appartenere al piano, deve avere le due tracce T1r e T2r sulle tracce del piano. Si individuano così le proiezioni r' e r" della retta. Infine disegniamo un punto P che appartenga alla retta, ossia che abbia le sue proiezioni P' e P" che stanno sulle due proiezioni della retta. In tal modo siamo sicuri che il nostro punto P appartenga al piano α.

continua (forse)...