Fabrizio ha dato la risposta corretta e ha seguito praticamente la stessa strada che sto per proporvi... Bravissimo come sempre!

La neve si accumula ad un ritmo costante. La variazione dell’altezza rispetto al tempo deve essere costante:

h’(t) = k1

Poniamo t = 0 a mezzogiorno

integriamo questa espressione per ricavare l’accumulo di neve al tempo t

∫h’(t) dt = ∫k1 dt

h(t) = k1 t + c

L’altezza, però, deve essere zero all’istante – b, ossia

0 = - k1b + c

c= k1b

L’altezza della neve al tempo t è quindi data da:

h(t) = k1 t + k1 b = k1(t + b)            …. (1)

La velocità dello spazzaneve è inversamente proporzionale ad h(t)

x’(t) = k2/h(t)

Dalla (1), otteniamo:

x’(t) = k2/(k1(t + b))

chiamiamo k3 = k2/k1

x’(t) = k3/(t + b)

Integriamo tra il tempo 0 e il tempo 1

∫₀¹x’(t) = k3∫₀¹(1/(t + b))

x(1) – x(0) = k3 [ln(t + b)] ₀¹

ma x(1) = 2 km, mentre x(0) = 0 km

2 = k3(ln(1 + b) – ln b

2 = k3ln((1 + b)/b)                …. (2)

Integriamo adesso tra il tempo 1 e il tempo 2 (la seconda ora)

x(1) – x(0) = k3 [ln(t + b)] ₁²

x(2) – x(1) = k3 [ln(t + b)] ₁²

Ma

x(2) – x(1 ) = 1 km

1 = k3(ln(2 + b) – ln( 1 + b))

1 = k3 ln((2 + b)/(1 + b))             .... (3)

Facciamo sistema con la (2) e la (3)

2 = k3ln((1 + b)/b)

1 = k3 ln((2 + b)/(1 + b))

Moltiplichiamo la seconda per 2

2 = 2 k3 ln((2 + b)/(1 + b))

Per una proprietà del logaritmo, la seconda può essere scritta:

2 = k3 ln((2 +b)/(1 + b))²

Entrambe le espressioni sono uguali a 2, per cui possiamo uguagliare i secondi membri:

k3 ln((1 + b)/b) = k3 ln((2 + b)/(1 + b))²

Dividiamo primo e secondo membro per k3 e ricordiamo che se sono uguali due logaritmi lo sono anche i loro argomenti, per cui:

(1 + b)/b = (2 + b)²/(1 + b)²

(1 + b)(1 + b)² = b(2 + b)²

(1 + b)³ = b(4 + b² + 4b)

1 + ^b3 + 3b + 3b² = 4b + b³ + 4b²

b² + b – 1 = 0

b = (- 1 +/-√(1 + 4))/2

b1 = (- 1 + √5)/2 ~ 0.618 ore

b2 = (- 1 - √5/2) à negativo, da scartare perché b DEVE essere positivo (numero di ore tra l’inizio della nevicata e il movimento dello spazzaneve)

La nevicata ha iniziato 0. 618 ore prima di mezzogiorno, ossia 37 minuti prima e, quindi, alle ore 11 e 23 minuti (circa)