Categorie: Fisica classica Matematica
Tags: Gauss gaussiana geometria elementare integrali doppi
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:4
Gauss amava gli integrali doppi ***
Il calcolo di integrali sembra essere un puro gioco matematico che poco ha a che fare con la realtà fisica della Natura. Niente di più sbagliato. Per dimostrarlo facciamo un classico esempio, ossia quello relativo all'integrale della "gaussiana", ossia di quella distribuzione tipica dei valori assunti da una qualsiasi variabile, un punto fondamentale nella teoria della probabilità e in tutta la statistica.
L'integrale che vogliamo calcolare è della forma:
∫-∞+∞ e-x2 dx
N.B.: D'ora in poi l'esponente x2 o a2 va inteso come x2 o a2... non confondiamoci!
Prima di iniziare vorrei farvi presente che il tutto ha bisogno di una semplice figura geometrica, che ci accompagna per tutto l'articolo, simile a quelle che presento nei quiz, a cui rispondono solo i soliti due o tre lettori... Esattamente quella che vi mostro di seguito (Fig. 1).
Premettiamo che ci troviamo di fronte a un integrale improprio (ossia è esteso tra meno infinito e più infinito), che avrebbe bisogno di un trattamento particolare con passaggi al limite. Tuttavia, essendo la funzione gaussiana sempre positiva e godendo di proprietà simmetriche, possiamo brutalmente inserire ∞ al posto di un limite finito qualsiasi, quando necessario (credeteci sulla parola!).
Prima ancora di pensare al calcolo nei punti infinito e meno infinito, dobbiamo risolvere un problema che sembra irrisolvibile: non esiste una primitiva della funzione esponenziale che vogliamo trattare, ossia non riusciamo a far comparire, all'interno dell'integrale, la derivata di qualcosa.
Scriviamo l'integrale precedente tra due limiti finiti, ad esempio -a e a.
∫a-a e-x2 dx
Anche così non abbiamo risolto un bel niente, dato che continua a mancare la primitiva.
Introduciamo un integrale doppio
Costruiamoci, allora, un integrale doppio, delimitato dalla circonferenza compresa tra -a e a sia in x che in y.
Vogliamo calcolare l'integrale seguente.
IC = = ∫∫C e-(x2 + y2)dx dy
Sappiamo benissimo come fare... basta passare in coordinate polari e sfruttare lo Jacobiano relativo.
Conosciamo già il suo valore, proprio r, dove r è il raggio della circonferenza. L'integrale che vogliamo calcolare diventa quindi:
IC = ∫∫C e-(x2 + y2)dx dy = ∫02π ∫0ae -r2 r dr dt
Vediamo subito che l'ingresso dello Jacobiano costruisce facilmente una primitiva...
IC = ∫02π dt∫0ae -r2 r dr = ∫02π dt -1/2[e-r2]0a
Infatti, se eseguiamo la derivata di e -r2 otteniamo -2r e-r2. Basta, perciò, moltiplicare e dividere per 2 e tutto diventa facile... Possiamo portare fuori ciò che non dipende da t e quindi:
IC = -1/2(e-a2 - 1)∫02πdt
IC = π(1 - e-a2)
Ne segue che:
∫∫C e-(x2 + y2)dx dy = π(1 - e-a2) .... (1)
Bene, lasciamo da parte questo risultato che ci servirà tra poco.
Cambiamo dominio
Riprendiamo l'integrale IC, ma ne cambiamo il dominio, estendendolo al quadrato che ha i vertici in - a e a, come mostra la Fig. 1
Possiamo scrivere:
IQ = ∫∫Q e-(x2 + y2)dx dy = ∫-aa∫-aa e-(x2 + y2) dx dy
Ovviamente, questo integrale è nuovamente impossibile da calcolare dato che non esiste una primitiva e non è esteso alla circonferenza che ci ha permesso di effettuare il cambio di coordinate e risolverlo.
Tuttavia, possiamo "pasticciarlo" un pochino e scrivere:
∫-aa∫-aa e-(x2 + y2) dx dy = ∫-aa∫-aa e-x2 e-y2 dx dy
Abbiamo solo ricordato una proprietà delle potenze, ossia:
e a+b = ea eb
L'integrale più interno ha una parte che non dipende da y e possiamo portarla fuori
∫-aa∫-aa e-x2 e-y2 dx dy = ∫-aae-x2 (∫-aa e-y2 dy) dx
Attenzione adesso! L'integrale in grassetto non è altro che un numero. Non sappiamo quanto vale, ma è sicuramente un numero che non dipende da x, ma solo da a. Potrei avere qualsiasi variabile al posto di y, ma l'integrale darebbe sempre lo stesso numero. Se è un numero, ossia una costante, posso portarlo fuori dall'integrale in dx. Possiamo scrivere, perciò:
∫-aae-x2 (∫-aa e-y2 dy) dx = (∫-aa e-y2 dy) ∫-aae-x2dx
Non è l'integrale di un integrale, ma proprio il prodotto tra due integrali che sono in realtà due numeri, anche se sconosciuti. Non solo, però... sono anche due numeri uguali tra loro, dato che portano allo stesso risultato qualsiasi sia la variabile, dato che essa varia sempre tra - a e a.
Possiamo perciò scrivere:
∫∫Q e-(x2 + y2)dx dy = (∫-aae-x2dx)2 .... (2)
Siamo riusciti a riscrivere l'integrale di partenza, anche se ancora limitato tra - a e a e non tra meno infinito e più infinito.
Ragioniamo un attimo... La (2) ci dice che il quadrato dell'integrale di partenza è proprio uguale all'integrale (1) quando il suo dominio è la circonferenza. Noi, però, abbiamo di fronte un dominio quadrato. Tuttavia, Possiamo essere certi che l'integrale della funzione nel dominio quadrato è maggiore dello stesso integrale delimitato da una circonferenza di raggio a. Quest'ultimo integrale lo conosciamo! Possiamo, perciò, scrivere:
(∫-aae-x2dx)2 > π(1 - e-a2)
Siamo analogamente certi che l'integrale della stessa funzione delimitato dalla circonferenza di raggio a√2 deve essere maggiore dell'integrale nel dominio quadrato. Sappiamo calcolare subito quanto vale l'integrale nel dominio della circonferenza di raggio a√2. Esso vale (utilizzando la (1)):
π(1 - e-2(a2))
e, quindi, vale la disuguaglianza:
π(1 - e-2(a2)) > (∫-aae-x2dx)2 > π(1 - e-a2)
Non ci resta che fare l'ultimo passaggio, ossia quello di sostituire - a e a con -∞ e +∞. Come già detto esso diventa un integrale improprio, ma nel caso in esame non è nemmeno necessario passare al limite per a che tende a -∞ e +∞. Basta sostituire a con ∞.
Cosa succede alla disuguaglianza? Un fatto molto simpatico e utilissimo:
π(1 - e-2(∞2)) > (∫-∞∞e-x2dx)2 > π (1 - e-∞2)
π(1 - 0) > (∫-∞∞e-x2dx)2 > π(1 - 0)
Accidenti! Il quadrato dell'integrale che volevamo calcolare fin dall'inizio è contemporaneamente maggiore e minore di uno stesso valore.
Per effetto "sandwich" deve perciò essere:
(∫-∞∞e-x2dx)2 = π
E, infine:
∫-∞∞e-x2dx = √π
Niente male il nostro Gauss...
Evviva gli integrali doppi e lo Jacobiano!
4 commenti
Caro Enzo,
premesso che dovrei leggere con mooolta attenzione i tuoi interessantissimi articoli sugli integrali doppi e matrici jacobiane, l’immagine di una circonferenza inserita in quest'ultimo articolo mi ha fatto scoccare una scintilla di “fantasia matematica”.
Probabilmente non c’entra nulla, ma l’immagine della circonferenza inscritta in un quadrato mi ha suggerito un prodotto con integrale che porta allo stesso risultato di quello da te calcolato:
praticamente il prodotto tra la diagonale di un quadrato il cui lato ha il valore del reciproco della lunghezza del raggio di una circonferenza e la radice quadrata di un integrale definito tra – raggio e +raggio della circonferenza stessa (oppure l’area di un rettangolo (1/r)√2 × r√(π/2) che non si può disegnare con esattezza).
Cioè sono passato da un integrale i cui limiti si trovano all’infinito con un altro i cui limiti sono finiti e definiti.
Ed il fatto di “giocare” con valori che viaggiano tra il finito e l’infinito non rappresenta un “no sense”, perché se si guarda il grafico della funzione
l’area sottostante la curva, compresa -2,5 e +2,5 misura circa 1,7717 quando il valore di √π è circa 1,7725, ovvero la somma degli infiniti infinitesimi che “corrono” incontro all’infinito in un verso e nell'altro, riesce a colmare “solo” i circa 8 decimillesimi di area rimanente.
Perdona il mio divagare, ma quando si percepisce appena l’intensità dell’insieme degli infinitesimi che riescono nell’opera di comporre il tutto (e non solo in Matematica, ma proprio in tutto), il cervello entra in una dimensione “trascendentemente” inebriante...
caro Andy,
il tuo divagar mi è dolce in questo mar... ti capisco!
Pensa che in questi giorni - solo per continuare a capire quante cose non so e non riesco a capire - sto leggendo "La strada che porta alla realtà" di Roger Penrose.
Ebbene, ancora tutto orgoglioso di aver capito le tue lezioni sugli integrali doppi e sui Jacobiani, proprio ieri sera mi sono imbattuto in questo passaggio in cui Pensrose definisce i Jacobiani "goffe quantità".
Eccetera. Con la nota 12.10 che invita a svolgere proprio l'esercizio:
Non preoccuparti, ci vuole ben altro per fermarmi :-)
per Albertone...