Il calcolo di integrali sembra essere un puro gioco matematico che poco ha a che fare con la realtà fisica della Natura. Niente di più sbagliato. Per dimostrarlo facciamo un classico esempio, ossia quello relativo all'integrale della "gaussiana", ossia di quella distribuzione tipica dei valori assunti da una qualsiasi variabile, un punto fondamentale nella teoria della probabilità e in tutta la statistica.

L'integrale che vogliamo calcolare è della forma:

∫_-∞^+∞ e^-x2 dx

N.B.: D'ora in poi l'esponente x2 o a2 va inteso come x² o a²... non confondiamoci!

Prima di iniziare vorrei farvi presente che il tutto ha bisogno di una semplice figura geometrica, che ci accompagna per tutto l'articolo, simile a quelle che presento nei quiz, a cui rispondono solo i soliti due o tre lettori... Esattamente quella che vi mostro di seguito (Fig. 1).

Premettiamo che ci troviamo di fronte a un integrale improprio (ossia è esteso tra meno infinito e più infinito), che avrebbe bisogno di un trattamento particolare con passaggi al limite. Tuttavia, essendo la funzione gaussiana sempre positiva e godendo di proprietà simmetriche, possiamo brutalmente inserire ∞ al posto di un limite finito qualsiasi, quando necessario (credeteci sulla parola!).

Prima ancora di pensare al calcolo nei punti infinito e meno infinito, dobbiamo risolvere un problema che sembra irrisolvibile: non esiste una primitiva della funzione esponenziale che vogliamo trattare, ossia non riusciamo a far comparire, all'interno dell'integrale, la derivata di qualcosa.

Scriviamo l'integrale precedente tra due limiti finiti, ad esempio -a e a.

∫_a^-a e^-x2 dx

Anche così non abbiamo risolto un bel niente, dato che continua a mancare la primitiva.

Introduciamo un integrale doppio

Costruiamoci, allora, un integrale doppio, delimitato dalla circonferenza compresa tra -a e a sia in x che in y.

Vogliamo calcolare l'integrale seguente.

I_C = = ∫∫_C e^{-(x2 + y2)}dx dy

Sappiamo benissimo come fare... basta passare in coordinate polari e sfruttare lo Jacobiano relativo.

Conosciamo già il suo valore, proprio r, dove r è il raggio della circonferenza. L'integrale che vogliamo calcolare diventa quindi:

I_C = ∫∫_C e^{-(x2 + y2)}dx dy = ∫₀^2π ∫₀^ae ^-r2 r dr dt

Vediamo subito che l'ingresso dello Jacobiano costruisce facilmente una primitiva...

I_C = ∫₀^2π dt∫₀^ae ^-r2 r dr = ∫₀^2π dt -1/2[e^-r2]₀^a

Infatti, se eseguiamo la derivata di e ^-r2 otteniamo -2r e^-r2. Basta, perciò, moltiplicare e dividere per 2 e  tutto  diventa facile... Possiamo portare fuori ciò che non dipende da t e quindi:

I_C = -1/2(e^-a2 - 1)∫₀^2πdt

I_C = π(1 - e^-a2)

Ne segue che:

∫∫_C e^{-(x2 + y2)}dx dy = π(1 - e^-a2)               .... (1)

Bene, lasciamo da parte questo risultato che ci servirà tra poco.

Cambiamo dominio

Riprendiamo l'integrale I_C, ma ne cambiamo il dominio, estendendolo al quadrato che ha i vertici in - a e a, come mostra la Fig. 1

Possiamo scrivere:

I_Q = ∫∫_Q e^{-(x2 + y2)}dx dy = ∫_-a^a∫_-a^a e^{-(x2 + y2)} dx dy

Ovviamente, questo integrale è nuovamente impossibile da calcolare dato che non esiste una primitiva e non è esteso alla circonferenza che ci ha permesso di effettuare il cambio di coordinate e risolverlo.

Tuttavia, possiamo "pasticciarlo" un pochino e scrivere:

∫_-a^a∫_-a^a e^{-(x2 + y2)} dx dy = ∫_-a^a∫_-a^a e^-x2  e^-y2 dx dy

Abbiamo solo ricordato una proprietà delle potenze, ossia:

e ^a+b = e^a e^b

L'integrale più interno ha una parte che non dipende da y e possiamo portarla fuori

∫_-a^a∫_-a^a e^-x2  e^-y2 dx dy = ∫_-a^ae^-x2 (∫_-a^a e^-y2  dy) dx

Attenzione adesso! L'integrale in grassetto non è altro che un numero. Non sappiamo quanto vale, ma è sicuramente un numero che non dipende da x, ma solo da a. Potrei avere qualsiasi variabile al posto di y, ma l'integrale darebbe sempre lo stesso numero. Se è un numero, ossia una costante, posso portarlo fuori dall'integrale in dx. Possiamo scrivere, perciò:

∫_-a^ae^-x2 (∫_-a^a e^-y2  dy) dx = (∫_-a^a e^-y2  dy) ∫_-a^ae^-x2dx

Non è l'integrale di un integrale, ma proprio il prodotto tra due integrali che sono in realtà due numeri, anche se sconosciuti. Non solo, però... sono anche due numeri uguali tra loro, dato che portano allo stesso risultato qualsiasi sia la variabile, dato che essa varia sempre tra - a e a.

Possiamo perciò scrivere:

∫∫_Q e^{-(x2 + y2)}dx dy = (∫_-a^ae^-x2dx)²    .... (2)

Siamo riusciti a riscrivere l'integrale di partenza, anche se ancora limitato tra - a e a e non tra meno infinito e più infinito.

Ragioniamo un attimo...  La (2) ci dice che il quadrato dell'integrale di partenza è proprio uguale all'integrale (1) quando il suo dominio è la circonferenza. Noi, però, abbiamo di fronte un dominio quadrato. Tuttavia, Possiamo essere certi che l'integrale della funzione nel dominio quadrato è maggiore dello stesso integrale delimitato da una circonferenza di raggio a. Quest'ultimo integrale lo conosciamo! Possiamo, perciò, scrivere:

(∫_-a^ae^-x2dx)²   > π(1 - e^-a2)

Siamo analogamente certi che l'integrale della stessa funzione delimitato dalla circonferenza di raggio a√2 deve essere maggiore dell'integrale nel dominio quadrato. Sappiamo calcolare subito quanto vale l'integrale nel dominio della circonferenza di raggio a√2. Esso vale (utilizzando la (1)):

π(1 - e^-2(a2))

e, quindi, vale la disuguaglianza:

π(1 - e^-2(a2)) > (∫_-a^ae^-x2dx)² > π(1 - e^-a2)

Non ci resta che fare l'ultimo passaggio, ossia quello di sostituire - a e a con -∞ e +∞. Come già detto esso diventa un integrale improprio, ma nel caso in esame non è nemmeno necessario passare al limite per a che tende a -∞ e +∞. Basta sostituire a con ∞.

Cosa succede alla disuguaglianza? Un fatto molto simpatico e utilissimo:

π(1 - e^-2(∞2)) > (∫_-∞^∞e^-x2dx)² > π (1 - e^-∞2)

π(1 - 0) > (∫_-∞^∞e^-x2dx)² > π(1 - 0)

Accidenti! Il quadrato dell'integrale che volevamo calcolare fin dall'inizio è contemporaneamente maggiore e minore di uno stesso valore.

Per effetto "sandwich" deve perciò essere:

(∫_-∞^∞e^-x2dx)² = π

E, infine:

∫_-∞^∞e^-x2dx = √π

Niente male il nostro Gauss...

Evviva gli integrali doppi e lo Jacobiano!