16/05/24

Funzioni iperboliche inverse ***

Il quiz -non quiz sul ponte sospeso e l'introduzione della "catenaria", eseguita da Andy, ci ha riportato alle funzioni iperboliche che avevamo trattato abbastanza esaurientemente QUI. Ci eravamo, però, fermati alle funzioni "dirette" ossia sinh, cosh e tanh, tralasciando le funzioni inverse, ossia asinh, acosh e atanh.

Perché complicarci così la vita? Beh, non ci crederete, ma esse possono essere importantissime per la soluzione di vari integrali.

Innanzitutto, ricordiamo cosa si intende per funzione inversa. Essa non è solo legata alle funzioni trigonometriche che tutti conosciamo ma a qualsiasi funzione del tipo

x = f(y)

che possa essere scritta come

y = g(x)

Riprendiamo, allora, le tre funzioni iperboliche espresse in termini dell'esponenziale e.

 x = sinh (y) = (ey - e-y)/2                       .... (1)

x = cosh (y) = (ey + e-y)/2                       .... (2)

x = tanh (y) = (ey - e-y)/(ey + e-y) = (e2y - 1)/(e2y + 1)                .... (3)

Lavoriamo sulla (1), cercando di ricavare la y come funzione di x. Questa y prende proprio il nome di asinh(x).

x = (ey - e-y)/2 = (ey - 1/ey)/2

2x = ey - 1/ey

e2y - 2xey - 1 = 0

Poniamo ey = u

u2 - 2xu - 1 = 0

u = x +/- √(x2 + 1)

ma u = ey è sempre maggiore di zero per cui teniamo solo il segno +

u = ey = x + √(x2 + 1)

ln(ey) = ln(x + √(x2 + 1))

y = asinh(x ) = ln(x + √(x2 + 1))

Procedendo in modo analogo, otteniamo:

y = acosh(x) = ln(x + √(x2 - 1))

y = atanh(x) = ln √((1 + x)/(1 - x))

Ancora più interessante è eseguire le loro derivate, proprio quelle che potrebbero servirci per ricavare integrali apparentemente difficili.

d(asinh(x))/dx = d(ln(x + √(x2 + 1))/dx = (1/(x + √(x2 + 1)))(1 + x/√(x2 + 1)) =

= (1/(x + √(x2 + 1))) ((x + √(x2 + 1))/√(x2 + 1)) = 1/√(x2 + 1)

e, in modo analogo (un po' d'esercizio fa sempre bene...)

d(acosh(x))/dx = 1/√(x2 - 1)

d(atanh(x)/dx) = 1/(1 - x2)

Da cui seguono immediatamente gli integrali:

∫1/√(x2 + 1) dx = asinh(x) + c

∫1/√(x2 - 1) dx = acosh(x) + c

∫1/(1 - x2) dx = atanh(x) + c

Ci risentiamo con una strana ruota...

1 commento

  1. Alberto Salvagno

    Eccomi qua:

    iperboliche

    e poi:

    iperboliche

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