Categorie: Matematica
Tags: derivate funzioni iperboliche inverse integrali
Scritto da: Vincenzo Zappalà
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Funzioni iperboliche inverse ***
Questo è il nono articolo della serie "Ponti sospesi, catenarie, parabole & co."
Il quiz-non quiz sul ponte sospeso e l'introduzione della "catenaria", eseguita da Andy, ci ha riportato alle funzioni iperboliche che avevamo trattato abbastanza esaurientemente QUI. Ci eravamo, però, fermati alle funzioni "dirette" ossia sinh, cosh e tanh, tralasciando le funzioni inverse, ossia asinh, acosh e atanh.
Perché complicarci così la vita? Beh, non ci crederete, ma esse possono essere importantissime per la soluzione di vari integrali.
Innanzitutto, ricordiamo cosa si intende per funzione inversa. Essa non è solo legata alle funzioni trigonometriche che tutti conosciamo ma a qualsiasi funzione del tipo
x = f(y)
che possa essere scritta come
y = g(x)
Riprendiamo, allora, le tre funzioni iperboliche espresse in termini dell'esponenziale e.
x = sinh (y) = (ey - e-y)/2 .... (1)
x = cosh (y) = (ey + e-y)/2 .... (2)
x = tanh (y) = (ey - e-y)/(ey + e-y) = (e2y - 1)/(e2y + 1) .... (3)
Lavoriamo sulla (1), cercando di ricavare la y come funzione di x. Questa y prende proprio il nome di asinh(x).
x = (ey - e-y)/2 = (ey - 1/ey)/2
2x = ey - 1/ey
e2y - 2xey - 1 = 0
Poniamo ey = u
u2 - 2xu - 1 = 0
u = x +/- √(x2 + 1)
ma u = ey è sempre maggiore di zero per cui teniamo solo il segno +
u = ey = x + √(x2 + 1)
ln(ey) = ln(x + √(x2 + 1))
y = asinh(x ) = ln(x + √(x2 + 1))
Procedendo in modo analogo, otteniamo:
y = acosh(x) = ln(x + √(x2 - 1))
y = atanh(x) = ln √((1 + x)/(1 - x))
Ancora più interessante è eseguire le loro derivate, proprio quelle che potrebbero servirci per ricavare integrali apparentemente difficili.
d(asinh(x))/dx = d(ln(x + √(x2 + 1))/dx = (1/(x + √(x2 + 1)))(1 + x/√(x2 + 1)) =
= (1/(x + √(x2 + 1))) ((x + √(x2 + 1))/√(x2 + 1)) = 1/√(x2 + 1)
e, in modo analogo (un po' d'esercizio fa sempre bene...)
d(acosh(x))/dx = 1/√(x2 - 1)
d(atanh(x)/dx) = 1/(1 - x2)
Da cui seguono immediatamente gli integrali:
∫1/√(x2 + 1) dx = asinh(x) + c
∫1/√(x2 - 1) dx = acosh(x) + c
∫1/(1 - x2) dx = atanh(x) + c
Ci risentiamo con una strana ruota...
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Eccomi qua:
e poi: