Questo è il nono articolo della serie "Ponti sospesi, catenarie, parabole & co."

 

Il quiz-non quiz sul ponte sospeso e l'introduzione della "catenaria", eseguita da Andy, ci ha riportato alle funzioni iperboliche che avevamo trattato abbastanza esaurientemente QUI. Ci eravamo, però, fermati alle funzioni "dirette" ossia sinh, cosh e tanh, tralasciando le funzioni inverse, ossia asinh, acosh e atanh.

Perché complicarci così la vita? Beh, non ci crederete, ma esse possono essere importantissime per la soluzione di vari integrali.

Innanzitutto, ricordiamo cosa si intende per funzione inversa. Essa non è solo legata alle funzioni trigonometriche che tutti conosciamo ma a qualsiasi funzione del tipo

x = f(y)

che possa essere scritta come

y = g(x)

Riprendiamo, allora, le tre funzioni iperboliche espresse in termini dell'esponenziale e.

 x = sinh (y) = (e^y - e^-y)/2                       .... (1)

x = cosh (y) = (e^y + e^-y)/2                       .... (2)

x = tanh (y) = (e^y - e^-y)/(e^y + e^-y) = (e^2y - 1)/(e^2y + 1)                .... (3)

Lavoriamo sulla (1), cercando di ricavare la y come funzione di x. Questa y prende proprio il nome di asinh(x).

x = (e^y - e^-y)/2 = (e^y - 1/e^y)/2

2x = e^y - 1/e^y

e^2y - 2xe^y - 1 = 0

Poniamo e^y = u

u² - 2xu - 1 = 0

u = x +/- √(x² + 1)

ma u = e^y è sempre maggiore di zero per cui teniamo solo il segno +

u = e^y = x + √(x² + 1)

ln(e^y) = ln(x + √(x² + 1))

y = asinh(x ) = ln(x + √(x² + 1))

Procedendo in modo analogo, otteniamo:

y = acosh(x) = ln(x + √(x² - 1))

y = atanh(x) = ln √((1 + x)/(1 - x))

Ancora più interessante è eseguire le loro derivate, proprio quelle che potrebbero servirci per ricavare integrali apparentemente difficili.

d(asinh(x))/dx = d(ln(x + √(x² + 1))/dx = (1/(x + √(x² + 1)))(1 + x/√(x² + 1)) =

= (1/(x + √(x² + 1))) ((x + √(x² + 1))/√(x² + 1)) = 1/√(x² + 1)

e, in modo analogo (un po' d'esercizio fa sempre bene...)

d(acosh(x))/dx = 1/√(x² - 1)

d(atanh(x)/dx) = 1/(1 - x²)

Da cui seguono immediatamente gli integrali:

∫1/√(x² + 1) dx = asinh(x) + c

∫1/√(x² - 1) dx = acosh(x) + c

∫1/(1 - x²) dx = atanh(x) + c

Ci risentiamo con una strana ruota...