10/10/13

1. Zero e Infinito *

Ho cercato il modo migliore per introdurre due numeri (o -meglio- concetti) fondamentali per la matematica, la geometria e la fisica. Ho trovato varie possibilità, anzi potrei dire che ne ho trovato infinite. E, allora, mi sono fermato se no rischiavo di mordermi la coda (che non ho… ve lo giuro!). Ho quindi deciso di agire a modo mio. L’importante è che alla fine si riesca a comprendere con chi abbiamo a che fare.

Sicuramente è il concetto più difficile da definire senza usare una matematica già abbastanza sofisticata. Tuttavia, per comprendere una matematica di un certo livello è necessario aver introdotto il concetto di infinito. Un bel problema. Ho deciso, quindi di lasciare la formulazione matematica per ultima.

Essendo noi degli appassionati dell’Universo, dovremmo forse partire dalla definizione fisica. Quante volte abbiamo parlato di Cosmo infinito. Ricordiamoci, però, che abbiamo anche dimostrato che un Universo finito può anche essere considerato  infinito dato che non esiste niente al di fuori di esso. Temo che anche il pensare a qualcosa di grande, immenso, rischi alla fine di creare dei “limiti” alla comprensione. E parlare di infinito con dei… limiti diventerebbe assurdo.

Un punto reale ma irraggiungibile

Alla fine ho deciso di partire con la geometria. Non che sia più facile discutere di geometria, anzi non solo ha i problemi della matematica, ma tutta una serie di strane applicazioni per trasformare ciò che esiste in tre dimensioni nella sua migliore rappresentazione in due soltanto, ossia il piano del foglio. Tuttavia, la geometria ha un enorme vantaggio: il concetto di infinito è immediatamente sotto gli occhi di tutti. Cosa che non capita per l’Astronomia, dove per vedere l’infinito siamo costretti a immaginare ed estrapolare qualcosa. Nella geometria, invece, l’infinito è lì, davanti a noi, basta sapere dove cercare.

Ricordiamoci una delle definizioni più semplici e utilizzate, che conoscono perfino i bambini più piccoli: “Due rette parallele non si incontrano mai”. Non è un concetto difficile da capire e da provare direttamente. Basta munirsi di un “metro” e andare lungo una linea ferroviaria (meglio se in disuso in modo da essere sicuri che non passino treni). Se non abbiamo paura di camminare un po’, possiamo facilmente misurare la distanza tra le due rotaie in punti diversi, anche molto lontani tra loro. La conclusione sarà sempre la stessa: la distanza d non cambia com’è indicato nella Fig.1. A questo punto nessuno avrà più dubbi e accetterà la definizione di rette parallele. Per quale motivo ciò che capita in un tratto di decine di chilometri non dovrebbe proseguire oltre, fino all’ultima stazione? In realtà è proprio così e ce lo dimostrano anche i treni che arrivano dall’ultima stazione (facciamone passare almeno uno): se le rette non fossero parallele avrebbe deragliato.

fig.1
Figura 1

Abbiamo fatto nostro un concetto fondamentale della geometria euclidea (quella che insegnano a scuola e che descrive molto bene i nostri dintorni) e ne siamo contenti. Ma che c’entra con l’infinito? C’entra, c’entra, fidatevi!

Se aveste a disposizione un bel deserto tipo quelli dei film western sarebbe meglio, ma basta la Pianura Padana e anche meno. Mettetevi vicino alla ferrovia e guardate il binario che si allontana . Cosa concludereste senza avere alcun dubbio? “Due rette parallele si incontrano sicuramente”. Si vede benissimo e non bisogna nemmeno avere davanti a sé il deserto del Nevada. Ce lo illustra benissimo la Fig. 2 che è proprio quello che chiunque vedrebbe con i propri occhi. Accidenti. Una delle poche cose che avevamo capito viene immediatamente distrutta dai nostri occhi. Eppure essi sono sempre stati perfetti (o quasi, nel mio caso). L’esperto di turno ci direbbe subito che è solo un’illusione, un qualcosa che ci sembra vero ma che non lo è. Magari parlerebbe anche di prospettiva e di punti di fuga. Non statelo a sentire! Non perché abbia torto, ma perché se lo seguite vi scapperà ancora una volta il concetto di infinito che invece avete davanti a voi a portata di mano.

fig.2
Figura 2

La geometria non se lo fa scappare e ci dice veramente come stanno le cose. Attenzione, allora, a questa frase che diventerà la nostra per potere andare avanti con maggiore sicurezza: “Due rette parallele si incontrano in un solo punto, il punto all’infinito”.

Cosa ci regala questa nuova definizione? Conserva la vecchia definizione delle rette parallele. Infatti, in qualsiasi punto si vada la distanza tra le rotaie rimane sempre costante. E’ ovvio: non le abbiamo misurate nel punto in cui si incontrano. Se, però, guardiamo davanti a noi quel punto così importante continua essere ben visibile e sembra quasi giocare con noi. A mano a mano che ci spostiamo sulla ferrovia sembra allontanarsi sempre di più. Un punto un po’ bizzarro e scherzoso, ma del tutto reale: lo posso vedere benissimo e anche disegnare usando la regola “tecnica” della prospettiva.

Ricapitoliamo brevemente. Attraverso i nostri occhi e utilizzando la geometria più banale siamo riusciti a definire e a vedere un punto che si trova all’infinito. Una grande conquista che né la matematica né la fisica ci permettevano di “toccare” così bene con gli occhi. Attenzione, però, toccare con gli occhi non vuol dire toccare con le mani. Se la ferrovia andasse dalla Terra alla Luna, potremmo seguirla tutta, continuando a fare misure, ma non troveremmo mai quel punto. Eppure prima di partire siamo sicuri di vederlo: è proprio là davanti a noi. E’ un po’ come la pentola d’oro degli arcobaleni. Più ci avviciniamo a lei (ossia alla base dell’arcobaleno) e più si sposta lontano. Insomma, il punto all’infinito è un punto molto speciale che esiste ma è irraggiungibile.

Due amici molto intimi

Ci ritorneremo più in  là, ma fate attenzione che la definizione del punto all’infinito di due rotaie ci permette di comprendere perfettamente anche il concetto dell’amico più intimo dell’infinito: lo zero. Sembrano proprio uno l’opposto dell’altro, ma sono invece strettamente collegati: se esiste uno deve esistere anche l’altro. Utilizzando solo gli occhi, cosa potreste anche dire che succede in quel punto all’infinito delle rotaie? Semplice: “La distanza tra i due binari è uguale esattamente a zero. Ossia, esse si toccano perfettamente in un punto; ma un punto ha, per definizione, dimensioni nulle, come ci hanno insegnato fin dai primi anni di scuola”. Il punto all’infinito ci regala quindi due concetti in uno: quello di infinito e quello di zero. Niente male per davvero.

A questo punto, possiamo anche alzare gli occhi al Cielo e accorgerci che anche lui poteva darci informazioni simili. Due stelle che girano una intorno all’altra si manifestano come due punti che restano sempre alla stessa distanza tra loro (anzi supponiamo per semplicità che siano proprio due punti luminosi e non dei dischetti di un certo dimetro angolare). Tuttavia, se il sistema è vicino, misuriamo una certa distanza identificata dall’angolo che le separa. Se la stella è più lontana quest’angolo diminuisce fino a che le due stelle diventano una sola (sappiamo anche come chiamare quest’angolo: potere separatore dell’occhio o del telescopio). Se potessimo tracciare le linee che rappresentano gli spostamenti apparenti delle due stelle (sempre alla stessa distanza assoluta tra loro) mentre si allontanano da noi, disegneremmo esattamente un paio di rotaie che s’incontrano in un punto all’infinito. Per noi la distanza tra le stelle è diventata zero.

Fermi tutti. Qualcuno potrebbe dirmi: “Quel punto è misurabile facilmente se conosco la vera distanza tra le stelle e il potere separatore del telescopio. Basta applicare una semplice formula di trigonometria piana. Caro Enzo hai raccontato solo bugie… Ho calcolato quel punto e non si trova poi molto lontano. Sicuramente più vicino di moltissime stelle e galassie che esistono nell’Universo. Altro che punto all’infinito!”

Errore! Il potere separatore non definisce un vero punto di dimensione nulle, ma un limite relativo a noi e al nostro strumento. Se si potesse avere un potere risolutore uguale a zero, ossia si potessero spostare le stelle fino a vedere la loro distanza apparente uguale veramente a zero, l’Universo non ci basterebbe. Il punto all’infinito ci porta, quindi, realmente verso un concetto di infinito di tipo fisico. Anche in questo caso, è legato allo zero, dato che la distanza apparente tra le stelle diventerebbe esattamente zero. In realtà, le due stelle sono un esempio non proprio perfetto, perché, per vicine che siano, non potrebbero mai ridursi a un solo punto, dato che hanno delle dimensioni finite. Sarebbe molto meglio prendere due fotoni. Tuttavia, l’importante è il concetto di base e mi sembra sia abbastanza chiaro.

Cosa dobbiamo concludere? Il punto all’infinito esiste ed è visibile, ma è irraggiungibile. Lo possiamo descrivere con la matematica (dato che appartiene alla geometria) e lo possiamo facilmente disegnare (con una qualche geometria proiettiva e/o con la prospettiva), ma non possiamo mai toccarlo fisicamente. Abbiate pazienza, ma non potevamo certo sperare di più. Lo abbiamo definito, l’abbiamo visto, dobbiamo accontentarci. Tuttavia, non lamentiamoci, dato che sarebbe stato ancora più complicato utilizzare i numeri o la fisica. Inoltre, la definizione “intoccabile” del punto all’infinito ci permette di andare ancora oltre.

Costruiamo l’infinito geometrico

Un'altra definizione che tutti conoscono fin dalle elementari è: “Per due punti passa una e una sola retta”. E’ anch’essa sicuramente vera e si può provare in mille modi. Questa definizione ci consente di andare oltre nel nostro modo di rappresentare geometricamente l’infinito. Prendiamo un'altra ferrovia, che non sia parallela a quella di prima. Se infatti fosse parallela prima o poi la vedremmo unirsi all’altra nel loro punto all’infinito, come ci dice la nuova definizione di rette parallele che abbiamo dato poco fa. Questa ovvia conclusione ci dice chiaramente che ogni sistema di rette parallele ha uno e un solo punto all’infinito, come ci mostra molto bene la Fig.3. L’infinito riesce a sintetizzare molto bene le cose, non c’è che dire. Invece di tante rette parallele si può considerare un solo punto.

fig.3
Figura 3

Se la nuova ferrovia non è parallela alla prima, avrà anche’essa un suo punto all’infinito diverso da quello precedente. Disegniamolo in  Fig. 4.

fig.4
Figura 4

Due punti che, in fondo, poco c’importa che siano entrambi all’infinito: sono comunque due punti ben rappresentabili in una figura e ben visibili con i nostri occhi. Ma, sappiamo che per due punti passa una e una sola retta. Sarà ancora vero per i punti all’infinito? Perché no! Basta tracciare la retta che li unisce. Questa retta prende il nome di retta all’infinito e unisce punti all’infinito, come mostrato in Fig. 5. La cosa sta diventando proprio divertente.

fig.5
Figura 5

Andiamo a prendere un’altra banale definizione della geometria euclidea. Essa dice: “Una retta qualsiasi può sempre essere individuata dall’intersezione di due piani” o , in altre parole, “due piani non paralleli definiscono una retta attraverso la loro intersezione”.  L’ultima definizione può essere facilmente trasformata in “due piani paralleli hanno una sola linea intersezione, quella all’infinito”. La stessa retta che abbiamo definito attraverso due punti all’infinito. Non abbiamo, infatti, più paura di lavorare con rette o piani paralleli. Facciamo un  semplice esempio. Ai nostri occhi il mare e il cielo sembrano proprio essere due piani paralleli. In realtà la geometria ci permette di trattarli così e quindi di definire la loro retta intersezione che deve stare all’infinito. Questa retta è il classico orizzonte, come mostrato nella Fig. 6. Possiamo quindi dire, analogamente a prima, che tutti i piani paralleli possono essere rappresentati da una sola retta all’infinito.

fig.6
Figura 6

Ridendo e scherzando abbiamo introdotto punti e rette all’infinito (Attenzione: una retta infinita è tutt’altra cosa. Una retta infinita è qualcosa che non ha un inizio e una fine, ma questo concetto vale per qualsiasi retta). Anche se le cose diventerebbero più complicate per essere disegnate in modo intuitivo è facile estendere il concetto di punti e linee all’infinito, introducendo anche il piano all’infinito. Non è difficile definirlo a parole, ricordando un’altra definizione elementare: “Due rette incidenti o parallele identificano sempre un solo piano”, ma anche “dati tre punti nello spazio esiste uno e un solo piano che li contiene”, o ancora “data una retta e un punto esterna ad essa esiste un solo piano che li contiene”. Basta, allora, dire che dati tre punti all’infinito esiste un piano che li contiene e che prende il nome di piano all’infinito. Esso è l’insieme di tutte le rette e i punti all’infinito definiti precedentemente.

Cari amici, abbiamo ottenuto un’estensione del piano euclideo e lo chiamiamo piano ampliato. In esso, infatti, le definizioni di ciò che capita nellageometria “normale” può trasferirsi senza problemi all’infinito.

ATTENZIONE: se andate a leggere un articolo che ho scritto sull'interno dei buchi neri (QUI), vi accorgerete immediatamente che i concetti spiegati finora (e che sembrano puramente teorici) possono essere applicati immediatamente e fornirci un quadro d'insieme altrimenti impossibile. Ho aggiunto questa frase per rispondere ad Andrea I che mi chiedeva di mostrare appena possibile le applicazioni pratiche della matematica. Contento?

Fermiamoci qui se no le cose si complicherebbero troppo. Non voglio nemmeno dirvi che in questo piano ampliato una retta può essere perpendicolare a se stessa e altre cose piuttosto strane. E’ comunque il posto migliore dove far “vivere” i celebri numeri complessi, guidati dalla ancor più celebre radice quadrata di meno uno e indicata con i. Ma di cose assurde ne abbiamo già tante nella MQ e, per il momento, non pretendiamo troppo. Lo studio del piano ampliato e delle sue caratteristiche fa parte di esami universitari di alto livello e di rappresentazioni grafiche che mi fanno ancora girare la testa se ci penso…

Abbiamo un infinito con cui lavorare

Torniamo a noi e all’infinito. Con i concetti banali e alla portata di tutti che abbiamo introdotto non è adesso difficile passare alla definizione matematica di infinito e di zero. Ciò ci permetterà di introdurre alcune operazioni fondamentali, utilissime nella stessa matematica, ma anche nelle definizioni fondamentali della fisica, quali la velocità, l’accelerazione e cento altre. Proprio quelle che avevo cercato di descrivere con molta più fatica nel libro “la Fisica addormentata nel Bosco”. Saremo così in grado di studiare una funzione matematica, senza preoccuparci se ci sono punti che sembrano “intoccabili”. Il piano ampliato ci ha fornito la possibilità di maneggiarli senza problemi.

Prima di lasciarci, fatemi riportare i simboli che si usano per definire, in matematica, lo zero e l’infinito. Vi sembrerà un’aggiunta veramente stupida. Può darsi, ma è meglio richiamarli, dato che la prossima volta inizieremo a fare le operazioni più banali proprio con questi strani numeri.

Zero  --> 0

Infinito  -->

QUI il capitolo successivo

QUI l'intero corso di matematica

25 commenti

  1. cari amici,

    non ho mantenuto le promesse e ho inserito un articolo anche oggi. Dovevo farlo, se no si creava una coda mostruosa... Tuttavia, questo è un articolo "speciale" dato che è il primo dedicato alla matematica. Sarà visibile qui, per un po', ma  lo potrete trovare facilmente "linkabile" nella sezione "matematica elementare", dove a uno a uno si costruirà la nostra matematica molto speciale... Potete quindi anche tralasciarlo, per adessso. Lui è là che vi aspetta... :-P

    Al limite, fatemi sapere se il modo un po' stranod i partire con la matematica "superiore" è di vostro gradimento. Se no posso sempre modificarla...

     

  2. Mario Fiori

    Perfetto Enzo, scorrevole, capibile e... strano per la Matematica ed ancora per un appassionato molto limitato...molto ,molto divertente.

  3. manuela

    Sei grande,Enzo, non avevo mai trovato tanto affascinante e divertente la geometria, addirittura, (ma credo che sia dovuto al tuo linguaggio che fa percepire il tuo amore per la materia) in certi momenti, poetica, perchè fa vedere l'infinito, il cosmo , con gli occhi interni...Incredibile che gli antichi avessero potuto elaborare un concetto di infinito, di nè inizio , nè fine, con tutte le sue implicazioni da brivido. E, come sempre,anche il tuo senso dell'umorismo: non ne volevi neanche parlare della retta perpendicolare a sè stessa, eh ? :mrgreen: vorrei fare due domande: se le due rette parallele son rette infinite(quindi non finiscono mai) perchè dopo che si incontrano all'infinito nn le vediamo proseguire divergendo? mi sarei già risposta intuitivamente, in realtà, ma sento il bisogno di conferma (o correzione) autorevole e chiara. Poi: tutte quelle affermazioni splendide su rette, punti e piani sono assiomi o hanno dei teoremi che le dimostrano ?

  4. manuela

    vorrei rittrattare il commento lasciato prima :mrgreen: ignora la domanda sulle due rette; rimuginandoci sopra mi sono data la risposta da sola, è legata al conceto di infinito, scusa, non avevo capito subito

  5. SVelo

    Caro Enzo,
    vuoi vedere che mò, grazie a te, incomincio a capirci qualcosa di matematica? :mrgreen:
    Quest'articolo è favoloso, anche se gli ho dato solo una lettura veloce che dovrò approfondire con più concentrazione (come al solito sono al lavoro...) e mi sembra di aver capito già qualcosa :roll:
    Grazie :-D

  6. Andrea I.

    Enzo, se questo é l'inizio ho gia l'acquolina al cervello  (metafora alquanto disgustosa , ma che rende l'idea :mrgreen: ) pensando al continuo! Si si, decisamente contento.....Grazie!

  7. grazie ragazzi, di sicuro ci divertiremo assieme!

    @Manuela,

    in realtà hai ragione ad avere ritrattato, anche se all'infinito le rette possono fare molte cose. ma devono essere entrambe rette all'infinito. Comunque, lasciamole stare sia perchè dovremmo lavorare con i numeri complessi sia perchè dovrei veramente fare un ripasso "mostruoso". E poi... tu ti fideresti di rette che sono perpendicolari a loro stesse? :mrgreen:

    Le rette parallele sono il celebre quinto postulato di Euclide. Si è anche cercato di dedurlo da altri postulati, ma alla fine si è preferito tenerlo come indipendente. E' qualcosa su cui si basa l'intera teoria che segue da esso. 

    @ Svelo,

    mi fai veramente contento e sono sicuro che tra qualche mese userai le derivate come se fossero noccioline! Altro che logaritmi... anzi faremo insieme la derivata del logaritmo!!!! :mrgreen:

     

  8. SVelo

    Altro che logaritmi… anzi faremo insieme la derivata del logaritmo!!!!
     
    Aiutoooooo :lol:

  9. manuela

    appunto perchè è il celebre quinto postulato che ero un poco perplessa. Ricordo qualcosa riguardo al fatto che in pratica lo teniamo valido nella geometria Euclidea perchè ci viene comodo, ma mi pareva che c'era stato un matematico che, cercando di dimostrarne la validità con la dimostrazione per assurdo, aveva scoperto che .... non era veramente valido e aveva anche scoperto una nuova geometria, che poi qualcun'altro ha chiamato iperbolica. O sto facendo un pò di confusione? probabile...

  10. Mario Fiori

    Affascinante, solo affascinante anche la conversazione. Anche io, con tutto il poco tempo che mi ritrovo, con la ma età (52) e con i miei limiti di studio (un perito agrario che per di più non lo ha mai fatto), ma con tanta passione , comincio a vedere un po' più chiaro nella Matematica.
    Grazie Enzo.

  11. cara manuela,

    non hai torto. In pratica, si costruiscono le matematiche iperboliche che in qualche modo ci lanciano nella forma dell'Universo. La matematica ha sempre applicazioni pratiche...

     

  12. Jacopo

    Bravo Enzo! È il modo che hai nello spiegare che rende anche un argomento ostico come la matematica (almeno per me  :-| ) così piacevole nella lettura.... ricordo ancora quando a scuola mi scervellavo per cercare di capirci qualcosa di derivate e integrali 8-O  

  13. Andrea I.

    Piú ci penso e piú trovo davvero significativa l'idea di legare l'infinito alla prospettiva.
    La cosa mi sta facendo ragionare parecchio, anche grazie al link allo splendido articolo che avevi scritto....e che mi ero vergognosamente perso!
    Mi viene da pensare che l'infinito possa essere un "limite" che ci viene imposto dalla natura dell'universo. Sto pensando troppo as usual... :roll:
     

  14. Gaetano M.

    Veramente bello, Enzo!
    Faccio solo fatica a capire questo passaggio: "Basta, allora, dire che dati tre punti all’infinito esiste un piano che li contiene e che prende il nome di piano all’infinito. Esso è l’insieme di tutte le rette e i punti all’infinito definiti precedentemente."
    Perchè i punti all'infinito li immagino tutti facenti parte della retta all'infinito, però magari dormendoci sopra... :wink:

  15. alexander

    Purtroppo sapevo di non essere preparato con la matematica e purtroppo ho avuto difficoltà fin dal primo articolo…   :(
    Quando parli di infinito (ad esempio le 2 rette che si incontrano all’infinito) parli di un punto all’infinito che esiste, è visibile ma irraggiungibile.
    Quindi quando in un qualsiasi articolo, esempio o altro si parla di infinito a me non converrebbe pensare (data la sua irragiungibilità) al concetto di tendenza all’infinito o sbaglio?
    Altro dubbio che mi è venuto a questo punto sui buchi neri, premettendo che il concetto di zero concettualmente è uguale a quello di infinito, se non ricordo male mi sembra di averti sentito parlare, a proposito della singolarità, del fatto che il collasso era inarrestabile e a tempo indefinito (nel senso che, una volta generato il buco nero, la materia/energia potesse continuare a collassare ancora e ancora a tempo indefinito)
    Quando parlavi di collasso interminabile nel tempo ti riferivi al concetto matematico espresso in questo articolo? Cioè all’irraggiungibilità dello zero?
    Infine una nota di colore: il mio piccolo cervello è collassato definitivamente in un buco nero quando ho cercato di mettere in relazione i concetti di zero ed infinito con l’articolo su astronomia.com di red relativo all’introduzione delle costanti di plank e alla quantizzazione dell’energia (e forse anche dello spazio tempo?)   :)
    Se vivessimo realmente in uno spazio tempo quantizzato i concetti di infinito e zero (o tendenza a zero e infinito) perderebbero di validità, esisterebbe solo la tendenza a raggiungere le costanti di plank?
    Oppure anche quest’ultime sono solo costrutti matematici e una singolarità può diventare più piccola della lunghezza di plank?
    Perdonami enzo se sono uscito dal seminato ma credo di essermi sovraccaricato!  :)
     

  16. caro Gaetano,

    dati tre punti esiste sempre un piano e uno solo che li contiene. Essendo i tre punti all'infinito, anche il piano deve essere all'infinito. Ma il piano è uno e uno solo e quindi deve contenere tutto ciò che è all'infinito (altri punti e le relative rette). Queso piano amplia quello normale (euclideo) e dà luogo al piano ampliato dove esistono anche i "punti infinito". In questa situazione anche infinito può essere trattato come tutti gli altri punti. In realtà, i punti infinito non si raggiungono mai (come abbiamo detto nell'articolo) per cui si potrà parlare di qualcosa CHE TENDE ALL'INFINITO e questo ci introdurrà il concetto di LIMITE (con calma, però...). Dormi tranquillo... :wink:

     

  17. caro Alexander,

    non dire che sei in crisi... hai capito tutto! Hai, da solo, introdotto il concetto di LIMITE che introdurremo più in là. Ossia qualcosa che tende all'infinito o allo zero (l'infinito non si può mai raggiungere ma esiste). Ed ecco che anche sui buchi neri dici cose eatte. Si può tendere a una singolarità (zero) in un tempo infinito.

    Sulla costante di planck bisogna fare un discorso "concreto" e non puramente matematico: lo zero non esiste nella MQ. Infatti non si può pensare a una singolarità all'inizio di tutto, ma a un qualcosa in cui esistevano già "pacchetti" di energia. O, almeno, qualcosa del genere.Il brodo primordiale...

    Tuttavia, sì, hai ragione, i concetti di finito e infinito sono essenzialmente matematici e teorici, ma permettono di risolvere enormi problemi pratici e concreti.

     

  18. alexander

    @enzo, meno male, temevo di ave travisato tutto e invece qualcosa ho capito!  :-o

  19. andrea.andrea

    Enzo, se tu fossi nato prima del '500 saresti di sicuro nel dipinto "La scuola di Atene", forse a destra, tra Tolomeo ed Euclide. :)
    Tornando al bell'articolo trovo singolarte come nella mente di noi esseri umani, ogni considerazione sull'infinito sia concettualizzata come se avesse un risultato finale.
    In fondo anche nelle figure postate l'infinito è rappresentato come un punto "finale", anche se irraggiungibile.
    Leggendo on line ho trovato un bell'esempio (di Euclide stesso?) sull'angolo di contingenza, che a mio avviso, rappresenta bene il concetto di infinito, anche se rivelandolo per diminuizione.
    Li si nota che l'angolo descritto tra una retta tangente una circonferenza è minore di qualsiasi angolo rettilineo possibile.
    Secondo me è molto adatto per capire il concetto perchè elimina il punto finale che potrebbe "trarre in inganno" (forse è solo una mia considerazione erronea).
    Provando a disegnare una retta tangente una circonferenza tutto diveta molto intuitivo, anche esulando dalle dimostrazioni matematiche, apatto che l'intuizione sia giusta ovviamente! :).
    Cosa ne pensi Enzo di queste considerazioni?...Potrebbe essere questo il punto in cui entra in gioco il concetto di limite?.
    sperando di non aver scritto fesserie.
    Un saluto a tutti.
    Con tanta stima.
    Andrea
     
     

  20. andrea.andrea

    Scusate ragazzi, non avendo aggiornato la pagina causa cena non avevo letto gli ultimi post che mi avrebbero schiarito le idee.!

  21. non esageriamo Andrea! mi basra guardare dav fuori la Scuola d'Atene...

    Diciamo che la tua tangente ci porta ancora avanti di un gradino: siamo alle DERIVATE... Calma ragazzi, calma... :-D

     

  22. Gaetano M.

    Caro Enzo,
    dopo averci dormito sopra... se fosse una sfera di raggio infinito (e quindi formata comunque da un insieme infinito di rette) la immagino meglio.
    Grazie, sto correndo per mettermi in pari. :)

  23. beppe

    caro Enzo ho letto da qualche parte una cosa che mi ha fatto sorridere:

     ∞ = 0 ritorto...

    Beh l'ho travata simpatica :oops:  

  24. Pier Francesco

    Due rette parallele si incontrano in un solo punto, il punto all’infinito...
    Non lo dica troppo forte, perché ricordano le famose "convergenze parallele" tanto care ai nostri politici... :mrgreen: :mrgreen:

  25. :mrgreen: :mrgreen:

    P:S:: caro Pier... dammi pure del tu... qui da noi si usa così :-P  

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:wink: :twisted: :roll: :oops: :mrgreen: :lol: :idea: :evil: :cry: :arrow: :?: :-| :-x :-o :-P :-D :-? :) :( :!: 8-O 8)

 

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