Dic 24

9. Il limite è veramente importante? ***

Ho inserito tre asterischi in questo articolo (o lezione). Non spaventatevi, però. Esso non contiene formule difficili o passaggi acrobatici. Il fatto è che richiede concentrazione per capire esattamente il concetto di limite e le sue applicazioni. Non leggetelo, perciò, velocemente, ma cercate di entrare dentro il mondo di Achille e della tartaruga, facendolo veramente vostro.

Il paradosso di Zenone, ci ha aiutato a trovare un giusto compromesso tra fisica e matematica. In poche parole, abbiamo sostituito al concetto di punto puramente matematico (senza dimensioni) il concetto fisico di intervallo che ha dimensioni finite e misurabili. Per passare da intervallo a punto basta solo eseguire una strategia operativa: fare tendere a zero l’intervallo che lo contiene. Questa strategia l’abbiamo anche descritta in termini rigorosi (la matematica non accetta niente che vada “a spanne”): dato un numero piccolo finché si vuole, è sempre possibile trovare un intervallo che abbia dimensioni più piccole di quel numero e che contenga il punto. Il punto matematico viene quindi definito come un intervallo le cui dimensioni tendono a zero.

Sembrerebbero solo parole fini a se stesse, un “escamotage” che cerca solo di girare intorno all’ostacolo, ma senza arrivare veramente al … punto del problema. Questa è la matematica più difficile, non quella delle formule complicatissime e intricate con simboli apparentemente assurdi.  No, quella matematica sembra difficile solo perché usa parole che non conosciamo, come se leggessimo un libro scritto in cirillico. Basterebbe imparare la lingua straniera e ci accorgeremmo che non dice niente di strano o incomprensibile.

La matematica veramente difficile è invece quella che definisce le sue regole logiche fondamentali. Capire la differenza “enorme”, che esiste tra punto matematico e punto inteso come intervallo fisico che tende a zero, vuol dire risolvere uno dei concetti più ostici della matematica. Compreso lui, tutto il resto diventa molto più semplice.

Potremmo anche chiederci: “Perché sprecare tante parole e fare tanta fatica mentale per definire un punto? Basterebbe non pretendere troppo e accontentarsi di un qualcosa che gli assomigli, come il segno lasciato dalla punta di una matita”. Non avremmo torto, in prima approssimazione. Tutto sta in quello che vogliamo studiare attraverso la matematica e sua sorella, la geometria. Se volessimo rappresentare le strategie di gioco per una partita di calcio potrebbe sicuramente bastare. Sarebbe sufficiente anche per un grande artista che dipinge la Gioconda. Le cose cambiano, invece, se vogliamo studiare le funzioni matematiche, quelle strane macchine che legano una x a una y in modo indissolubile. Sono realmente importanti? Beh… lo abbiamo già detto e ridetto. Senza l’introduzione delle funzioni la fisica rimane empirica e non riesce ad avere una descrizione rigorosa e generale. Non riuscirebbe a esprimere le leggi universali e i vari fenomeni sarebbero descritti ma non capiti fino al punto di poterli prevedere e ricostruire in laboratorio. Insomma, Galileo Galilei e la sua ricerca scientifica perderebbero di senso.

Come appassionati di Universo, non potremmo certo chiudere gli occhi e abbandonare al loro destino le funzioni matematiche applicate agli attori del grande Teatro del Cosmo. Ci dovremmo accontentare di assistere a fenomeni, magari entusiasmanti, trascurando tutte le loro interazioni e i loro legami. E’ un po’ come osservare senza capire  oppure osservare dopo aver capito. Nel primo caso, la macchia rossa di Giove, una nebulosa planetaria, una galassia a spirale o ellittica, sarebbero solo dei simboli; nel secondo caso diventano, invece, fenomeni meravigliosi, naturali, legati tra loro attraverso una intricata catena formata da molte o poche leggi fisiche (ossia funzioni).

Il momento angolare che determina la macchia rossa del pianeta gigante è lo stesso parametro che domina le caratteristiche di una stella di neutroni o che introduce nel mondo quasi assurdo dello spazio rotante attorno a un buco nero galattico. Diventa, quindi, ovvio che, per cercare di capire, non ci si può limitare a immagini “personali” e limitate, ma bisogna pretendere di vedere il meglio del meglio, quello che la tecnologia dei telescopi odierni riesce a regalarci giorno dopo giorno. Senza essere degli esperti, ma anche solo degli appassionati, solo così potremmo avvicinarci veramente alle leggi fondamentali e all’importanza altrettanto fondamentale delle funzioni matematiche. Senza un’applicazione fisica, la matematica perde gran parte del suo significato e della sua piacevolezza estetica.

Scusate questa digressione, che però è sempre utile per sapere in che campo cerchiamo di muoverci. Torniamo alle funzioni e al nostro punto-intervallo. Esso diventa essenziale se vogliamo addentarci nell’affascinate mondo delle funzioni (ossia delle leggi fisiche).

Per quanto conosciamo finora delle funzioni (solo la retta), la frase di prima sembrerebbe fin troppo categorica. In fondo, senza bisogno di tanti giri di parole potremmo determinare la posizione di un punto senza andare troppo nel sottile, anche se Zenone ci ha dimostrato che è sempre molto rischioso non essere rigorosi fin dall’inizio. Ma noi proviamo a non dargli retta e applichiamo quanto sappiamo per trovare e definire un punto su una retta che altro non è che una funzione, magari semplice, ma sempre una funzione.

Facciamoci aiutare dalla banalissima Fig. 29.

fig.29
Figura 29

Conosciamo la funzione y = f(x), essa è, ad esempio, la retta y = 2x – 1 (2 è il coefficiente angolare m della retta e 1 è la costante n). La domanda che vi faccio è: “ Siete capaci a determinare il punto P della retta che ha per ascissa x0 = 10?”. La risposta sarà (spero proprio) immediata: “Basta inserire il valore di x0 all’interno della macchina f e aspettare che faccia le sue operazioni. Il risultato sarà l’ordinata y0 del punto della retta P che ha come ascissa x0”. In parole matematiche:

x0 = 10

y0 = 2 ∙10 – 1 = 19

Il punto P è P(10,19).

Tutto fatto, senza bisogno di intervalli e di verbi come “tendere a”.

Fermi, fermi, sarebbe troppo bello. Lo possiamo fare solo perché la nostra funzione è veramente semplice e riesce a mascherare molto bene i problemi legati a un punto matematico. Abbiamo usato la matita e abbiamo troncato tutti i possibili decimali che esistono (sempre e comunque) dietro a un numero. Se misuraste l’ascissa 10 con un righello da pochi soldi sareste anche contenti. Ma se la misuraste con un microscopio che legge anche i millesimi di millimetro vi accorgereste che il vostro 10 non è assolutamente 10, ma 10.002 o -magari- 9,997.

Non stupitevi, quindi, se anche in questo caso, apparentemente senza problemi grafici o concettuali, abbia deciso di inserire il concetto di limite di una funzione. Finalmente, direte! Eh sì, lo so, ve l’ho fatto desiderare a lungo, ma la sua importanza è tale che dovevo preparargli un ingresso teatrale.

Invece di inserire “rozzamente” l’ascissa x0 nella funzione f(x) e ottenere y0, devo definire un’operazione molto più elaborata. Considero un intervallo intorno all’ascissa x0 e lo faccio tendere a zero (con la solita frase : “Dato un numero ε piccolo a piacere esiste sempre un intervallo x -x0 più piccolo di ε”). Se contemporaneamente la differenza f(x) – y0 tende anch’essa a zero, ossia esiste un numero ρ piccolo a piacere, legato a ε, tale che … ecc., ecc., posso dire che

lim x → x0  f(x) = y0           …. (1)

a parole: y0 è il limite della funzione f(x) per x che tende a x0.

Proviamo ad applicare questa espressione al caso della retta precedente. Non stupitevi se non cambia assolutamente niente rispetto a prima…

lim x → x0 (2x – 1) = 19

Non ho fatto altro che sostituire x0 al posto di x…  Non arrabbiatevi, non vi ho preso in giro… Per funzioni come la retta, l’introduzione del limite sembra proprio una cosa assurda e inutile, ma per altre funzioni sarà ben più importante.  In pratica, cosa ho fatto nel passaggio al limite di una funzione? Consideriamo la Fig. 30.

fig.30
Figura 30

Abbiamo una certa retta y = mx + n. Cosa ci dice di fare l’operazione “limite”? Praticamente uno “zoom”. Prendiamo un rettangolino che ha come lati le differenze di ascissa e ordinata dei suoi estremi e poi rendiamolo sempre più piccolo, fino a farlo tendere a zero. Il rettangolino coinciderà, al suo limite, con il punto P.

Più rigorosamente, rivediamo il procedimento in Fig. 31.  Consideriamo intervalli di y e x attorno alle coordinate y0 e x0 del punto. Facendo tendere a zero l’intervallo delle x vediamo se tende a zero anche l’intervallo delle y (solitamente si enuncia il viceversa, ossia si fa tendere a zero l’intervallo delle y e si vede se fa lo stesso anche l’intervallo delle x, ma poco importa per noi…). Se questo succede vuole dire che y0 è il limite della funzione f(x) per x che tende a x0.

fig.31
Figura 31

In realtà dovremo essere ancora più precisi (vedremo che sarà spesso molto utile) e definire sia il limite sinistro che il limite destro di una funzione in un punto. In poche parole definiamo il limite della funzione separando l’intervallo delle x in due intervalli separati, quello delle x più grandi e quello delle x più piccole. Infatti, x può tendere a x0 sia arrivando da sinistra che da destra. Basta considerare l’intervallo che deve tendere a zero compreso tra il valore x e il valore x0. Nel caso si arrivi da sinistra si scrive:

lim x → x0-  f(x)

e si definisce come il  limite della funzione f(x) per x che tende a x0 provenendo da valori più piccoli (da sinistra). Si scrive, invece:

lim x → x0+  f(x)

e si definisce come limite della funzione f(x) per x che tende a x0  provenendo da valori più grandi (da destra).

Attenzione a quello che sto per dire e che forse fa già capire alcuni problemi delle funzioni più complicate.

Una funzione è continua in un punto, se in quel punto esistono sia il suo limite sinistro che il suo limite destro e se essi sono uguali tra loro e finiti.

Due parole da comprendere bene: “continua” e “finiti”.

Dire che una funzione è continua in un punto (a parte la definizione appena data) vuol dire, in modo un po’ semplicistico, che ogni punto della funzione “dà la mano” sia al punto adiacente di destra che a quello di sinistra. Esiste, insomma, una catena indistruttibile. Non arrabbiatevi se illustro la situazione con una figura sciocca come quella di Fig. 32. Più seriamente, un funzione che non è continua ammette limiti diversi arrivando da destra o da sinistra. Più “sottile” è la parola “finiti”. Il contrario di finito è il solito caro amico infinito. Il che vuol dire che un punto infinito non può essere contato come un punto vero di una funzione, a meno che non appaia ai suoi limiti estremi.

fig.32
Figura 32

A questo punto, dobbiamo proprio convincerci che infinito è un simbolo, un concetto, ma non qualcosa di veramente rappresentabile. Scusatemi se anticipo cose che tratteremo più in là, ma voglio farvi vedere, in Fig. 33, due casi “veri” di funzione non continua. A sinistra, abbiamo proprio una rottura della catena; a destra la catena si unisce solo nel punto infinito, ma non può comunque essere considerata continua.

fig.33
Figura 33

Lasciamo subito da parte queste strane funzioni, dato che abbiamo ancora parecchia strada da fare per poterle analizzare in dettaglio. Torniamo al nostro limite e alla sua definizione che sembra molto astratta e forse poco comprensibile. Vi faccio presente che ho cercato di renderla più leggera rispetto a quella usata normalmente nei libri. Potremo anche ritornarci sopra, ma per non creare confusioni su definizioni esageratamente corrette in senso matematico, possiamo limitarci a una definizione un po’ semplificata (e anche non propriamente perfetta…), ma più che sufficiente per il lavoro che vogliamo svolgere.

Posso solo dirvi che il concetto di limite ci farà finalmente lavorare tranquillamente con quel maledetto “infinito” che passa da punto concreto a entità sfuggente, con grande disinvoltura. Inoltre, ci permetterà di risolvere molti casi indeterminati nelle operazioni tra infinito e zero. E questo non è certo un piccolo risultato.

Tuttavia, vedremo anche che il limite di un funzione è solo una “stazione intermedia”. La sua importanza non è tanto pratica quanto concettuale. In particolare, permette di poter trattare infinito e zero in modo molto più matematico e secondo regole ben delineate, ma ha comunque dei … limiti. Esso lavora solo in un punto o -al massimo- in un intorno del punto e si disinteressa di tutto ciò che capita più lontano. Una ferrovia, però, non deve essere controllata solo nei passaggi a livello, ma lungo tutto il suo percorso. Cominciamo, quindi, a pensare il limite di una funzione in un punto solo come un preparativo per qualcosa di molto più pratico e generale. Non vado oltre, ma teniamo presente di non pretendere troppo da un concetto che ha già svolto un ruolo molto importante nel legare la matematica con la fisica.

Vediamo alcune sue applicazioni.

Abbiamo visto che se applichiamo la definizione di limite a un punto “tranquillo” della funzione, la sua entrata in campo sembra essere del tutto inutile. Sì, ha introdotto l’intervallo fisico che lega fisica e matematica, ma ha fatto ben poco dal punto di vista pratico. Data una y = f(x) è, in fondo, un’operazione inutile cercare il limite della funzione y  per x che tende a x0 attraverso l’intervallino che decresce, e cose del genere. Basta sostituire x0 al posto della x nella funzione e un facile calcoletto aritmetico mi dà la y0 corrispondente. Parliamoci chiaro, il limite in questi casi non serve proprio a niente.  E’ solo servito alla tartaruga per cercare di “fregare” matematicamente Achille! E a noi per fare i raffinati e voler dare al punto un’importanza che praticamente interessa ben poco.

Accidenti, tanta attesa per un’operazione matematica fine a se stessa, quasi narcisistica. No, no, non abbiate paura. Se il limite di un punto “normale” ha risvolti solo “tecnici”, ben diversa è la sua applicazione ai famosi punti zero e infinito.

Forza diamoci dentro!

Consideriamo per primo l’ormai celebre (e un po’ antipatico) punto all’infinito. Abbiamo già accennato al fatto che il concetto di limite può estendersi facilmente anche a un intervallo che, invece di diventare sempre più piccolo,  diventa sempre più grande. E questo è proprio il caso di infinito. Un esempio immediato: qual è il limite dell’ordinata della nostra solita e banalissima retta y = mx + n per x che tende a infinito? La scrittura di limite prende la forma:

lim x → ∞  f(x) = lim x → (mx + n) … (2)

Beh… la cosa si fa interessante. Finalmente il nostro treno sta proprio viaggiando verso quel punto un po’ simbolo e un po’ realtà. Ripetiamo cosa dice il limite in questo caso. Se considero un  numero grande a piacere, troverò sempre un valore di x che sia più grande di quel numero. E’ uno strano intervallo, ma proprio l’unico che ci definisce il tendere all’infinito. Cosa capita a y in questa situazione che è tenuta, in qualche modo, sotto controllo? Nel caso della retta, anche la y tende ad essere sempre più grande e anche per lei si può dire che dato qualsiasi numero grande a piacere si troverà una y maggiore di quel numero.

Uffa… di nuovo parole, solo parole. Beh… allora passiamo ai fatti e calcoliamo il limite  (2). Per far questo dobbiamo, innanzitutto, saper fare qualche operazione con i limiti. Ad esempio, quanto vale il limite di una costante e -ancora di più- quanto vale il limite di una variabile (x) moltiplicato per una costante. Il primo problema è facilissimo da risolvere: il limite di una costante è del tutto indipendente da quello che fa la x (non compare per niente). Ne segue che scrivere:

lim x → n

non porta nessun cambiamento a n. Lei non dipende da x e quindi continua a essere n per qualsiasi valore di x. Ne segue:

lim x → n = n    …. (3)

Per il secondo problema, basta ricordare che valgono le quattro operazioni aritmetiche anche per i limiti, ossia: il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti; il limite di una differenza è uguale alla differenza dei limiti; il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti; il limite di una divisione è uguale alla divisione dei limiti.

Sembra che abbia detto un’enorme banalità. Tuttavia, vi devo chiedere di credere a queste costatazioni. La loro dimostrazione matematica non è assolutamente facile. Sappiate, però, che si possono dimostrare.

A noi, al momento, interessano la somma e il prodotto.

lim x → (mx + n) = lim x → (mx) + lim x → n

Ho solo applicato la regola che dice che il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti! Posso ancora scrivere:

lim x → (mx) + lim x → n = lim x → m ∙ lim x → x + lim x → n

Ho solo applicato la regola che il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti

Ricordando che il limite di una costante è una costante (3), possiamo scrivere:

lim x → (mx + n) = m ∙ lim x → x + n    ….(4)

Vi sembra che abbia ottenuto poco. E invece no. Posso dire che il limite della mia funzione y  per x che tende a infinito si riduce solo a calcolare il limite di x per x che tende a infinito. Ma, la risposta è ovvia: se x tende a infinito, il limite di se stesso è ovviamente infinito! La (4) diventa allora:

lim x → y = lim x → (mx + n) = m ∙ ∞ + n = ∞

Sembra di essere tornati ai primi articoli, quando avevamo bisogno di rette parallele che si incontravano e di cose molto ambigue e astratte. E, invece, no. Adesso possiamo dare il risultato senza problemi concettuali. Moltiplicare  infinito per una costante, così come sommargli un’altra costante, non possono certo cambiare le caratteristiche di x che tende a infinito. Ricordiamo che se x tende a infinito vuol dire che non esiste alcun numero grandissimo, scelto a piacere, che non possa risultare più piccolo di x. Che si moltiplichi o si sommi x a qualcosa,  questa caratteristica non cambia di certo. Anche con queste aggiunte la variabile tende comunque a infinito. Posso anche esprimerlo matematicamente.

Ripeto, se x tende a infinito vuol dire che scelto un numero N grande a piacere  vi sarà sempre una x più grande di N, ossia

x > N

Se aggiungo e moltiplico x per delle costanti, trovo che anche mx + n (che è proprio y) deve essere maggiore di un numero grande a piacere. Basta prendere il numero un po’ diverso, ossia P = mN + n.

Infatti, posso scrivere senza problemi:

mx + n > mN + n = P

quindi se x > N anche mx + n > P, con P grande a piacere.

Il risultato è che per una retta qualsiasi, se x tende a infinito, anche la y tende a infinito. Ne segue che il risultato del limite è proprio infinito e non indica solo una “tendenza a”. Quest’ultima frase fa già parte della definizione di limite.  Non abbiamo più bisogno di eseguire operazioni simboliche come m + ∞ = ∞, senz’altro vere ma basate su disquisizioni più filosofiche che matematiche. Il simbolo ∞ resta un simbolo, ma definisce un’operazione matematica perfettamente controllabile ed eseguibile.

Capisco di aver creato un po’ di confusione. Tuttavia, come già detto molte volte, dimostrare le cose ovvie è molto più difficile che dimostrare le cose complicate. Il succo di quanto fatto è l’essenza profonda della matematica: sostituire a concetti apparentemente accettabili, ma non realmente quantificabili, nuovi concetti descrivibili rigorosamente.

Adesso, possiamo dire con molta più tranquillità che al tendere di x a infinito, anche la y, legata a x da una funzione matematica come la retta, tende a infinito. Possiamo, perciò, dimenticarci le scritte relative al punto all’infinito di una retta e tutte le visioni più o meno astratte. Il limite ci ha dato un metodo rigoroso per descrivere la retta fino ai suoi estremi, benché irraggiungibili. La cosa diventa ancora più chiara per funzioni più complicate.

Facciamone un esempio veloce. Prendiamo un “ramo”, quello positivo, della funzione y = 1/x (vedremo tra non molto che funzione importante essa sia).

Qual è il limite di questa funzione quando x tende a infinito? Ossia, calcoliamo:

lim x → (1/x)     …. (5)

lim x → (1/x) = lim x → (1)/ lim x → (x) = 1/ lim x → (x)

Ma ormai sappiamo molto bene quanto vale il lim x → (x). Esso è infinito (l’abbiamo appena definito). Risulta, perciò, che il limite della nostra nuova funzione tende al rapporto tra 1 e qualcosa che tende a infinito. Detto in parole matematiche se x diventa sempre più grande (maggiore di qualsiasi numero a piacere N), il suo inverso non può che diventare sempre più piccolo, ossia si troverà sempre un numero ε piccolo a piacere tale che 1/x < ε o, analogamente, che (1/x – ε) < 0. Il che vuole anche dire che 1/x tende a zero! In poche parole:

lim x → (1/x) = 0

Questa volta il risultato è proprio zero, dato che la tendenza è già insita nel limite.

Avete visto che la celeberrima asserzione 1/∞ = 0 ( e viceversa)  acquista un significato ben più rigoroso e matematico. La rappresentazione geometrica di quanto abbiamo appena detto è riportata nella Fig. 34.

fig.34
Figura 34

Facciamo un altro esempio, dove x non tende a infinito, ma a un punto finito. Per esempio proprio lo zero. La funzione è la stessa di prima: y = 1/x.

Scriviamo

lim x → 0 (1/x)

Ormai non abbiamo più bisogno di tante parole e sappiamo come eseguire le operazioni:

lim x → 0 (1/x) = lim x → 0 (1) / lim x → 0 (x)

Il numeratore è il limite di una costante e quindi rimane la costante. Il denominatore è invece il limite di x per x che tende a zero. Ovviamente è zero e quindi:

lim x → 0 (1/x) = 1/0 = ∞

Quello che abbiamo fatto è stato di rendere il denominatore sempre più piccolo, ossia abbiamo fatto diventare sempre più piccola la differenza (x – 0). Ne segue che il numero 1 diviso qualcosa che diventa sempre più piccola (0.1, 00000.1, 0.00000000000001, ecc. ecc.) non può che tendere a infinito, ossia essere sempre più grande di qualsiasi numero grande a piacere volessimo scegliere. Ossia il limite è infinito.

Sì lo so, eravamo capaci a ottenere gli stessi risultati sostituendo a x il valore 0 o ∞, ma adesso, lavorando con gli intervalli, abbiamo eseguito un’operazione fisicamente corretta.

Concludiamo questo articolo con un piccolo esercizio. Quanto vale:

lim x → (1/x + n)

Concludo ripetendo una constatazione già fatta, ma che sembra talmente banale da creare , forse, problemi interpretativi e logici. Essa, invece, è di estrema importanza matematica e non solo.

D’ora in poi per determinare il limite di una qualche funzione in un punto non avremo più bisogno di fare tutti quei discorsi su numeri piccoli e grandi a piacere e nemmeno parlare di “tendenza a” (tutte cose che sono già implicite nella definizione di limite). Basterà sostituire il valore limite di x e vedere se la y assume un valore determinato. In altre parole, possiamo trattare tutti i punti nello stesso modo e inserire l’ascissa nella funzione e calcolare l’ordinata. Esattamente ciò che avevamo cercato di fare all’inizio di tutta la “nostra” matematica. Tante lezioni per tornare al punto di inizio? A prima vista sì, ma da un punto di vista logico e concettuale abbiamo fatto passi da gigante e i punti zero e infinito, pur rimanendo simboli, hanno acquistato una loro definizione perfettamente corretta e descrivibile.

Non ci resta desso che riprendere in mano le forme indeterminate e vedere se il concetto di limite ci permette , finalmente, di risolverle… Ce la faremo, ma capiremo anche che il concetto di limite di una funzione in un punto è solo l’inizio di un discorso ben più ampio ed efficiente.

Se siete riusciti a seguirmi fin qui, posso dirvi che avete superato le difficoltà maggiori. Tutto ciò che verrà adesso (studio di funzioni, derivate, asintoti, ecc., ecc.) sembrerà più complicato, ma avrà bisogno di uno sforzo interpretativo decisamente minore. Fidatevi…

 

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24 commenti

  1. beppe

    Bravo Enzo ci stai portando per mano nei perigliosi sentieri della matematica, sei il nostro Virgilio!
    Sentieri che percorsi anni fa, ma tu come ottima guida quale sei, ci fai soffermare per vedere stupendi panorami o suggestivi fiorellini ai lati del sentiero... 
    Buone Feste!! 

  2. dai... non commuovermi... è già Natale e finisce che mi fai piangere... Al limite, sono una guida di un museo o di un sito archeologico... :mrgreen:

  3. teto

    lim x → ∞ (1/x + 5)= 5 Il grafico sarà una specie di parabola che da infinito tende a 5.

  4. ConcettoM

    Grazie.

    Concordo pienamente con Beppe.

    lim x → ∞ (1/x + n)= n

     
     

  5. ragazzi... mi vergogno di avervi fatto questa domanda... :-P...

  6. gioyhofer

    Ciao Enzo,
    ho provato anch'io a risolvere la domanda, dimmi se il procedimento è corretto, per favore... 

     lim x → ∞ (1/x + n)= (∞ 1/∞ x) +n= 0+n= n

    Praticamente basta riflettere un attimo e pensare che un numero piccolissimo moltiplicato per infinito da zero, poi a zero sommo n e il gioco è fatto? 

  7. cara Giogia,
    il risultato è giusto, ma devo farti un piccolo appunto (magari dovuto solo a un errore di scrittura...). E' x soltanto che tende a infinito e quindi 1 resta 1 e non viene moltiplicato per infinito. La tua formuletta andrebbe scritta:

    lim x --> inf  (1/x + n) = 1/inf + n = 0 + n = n 

    ma sono convinto che ti sia scappato un infinito in più... se non ti torna qualcosa dimmelo, però!!! :wink:  

  8. gioyhofer

    Ooopppsss......In effetti ho fatto un bell'errore... :(
    Grazie mille 
     

  9. Gianluca Paone

    Perfetto !!!!!
    Tutto perfetto, ricordavo qualcosa ma non la ricordavo così semplice nell'applicazione..
    Grazie Enzo..

    PS. Commento poco ma leggo molto... Grazie di nuovo.... 

  10. grazie a te Gianluca!!!! Mi dai conferma che sono riuscito a spiegarmi bene... :wink:

  11. Paolo

    Caro Enzo, ho una piccola domanda, sul limite destro e limite sinistro, per vedere se ho capito..

    Ammettiamo di considerare la particolare forma indeterminata n∞

    Sappiamo bene che se n è maggiore di 1 il risultato è infinito, se è minore di 1 è zero, se è uguale a 1 la forma è indeterminata.

    Basta una leggerissimo scostamento del valore di n per capovolgere il risultato, della serie: zero e infinito così lontani, così vicini, o meglio sono separati da un intervallo infinitesimo!

    Ora se cerco di calcolare il limite di n che tende ad 1, arrivando da destra (numeri maggiori di 1), il risultato di questa strana relazione sarà sempre infinito, mentre se calcolo il limite da sinistra, ossia arrivando da numeri più piccoli di 1 la relazione risulterà uguale a zero.

    E' corretto?

    Paolo

  12. Frankie

    Vincenzo, metterai qualche articolo anche sulle Serie (Numeriche, Geometriche, Armoniche) ? convergenti, divergenti? indeterminate?ci aiuteresti davvero tanto! Grazie infinite

  13. caro Frankie,

    non moltissimo... ma se vai su "approfondimenti" (in alto) e su "viva la matematica ...", vedrai che gli articoli dal 42 al 48 sono dedicati agli sviluppi in serie... Forse potrebbero interessarti...

    Buona fortuna!

  14. Massimiliano Vaglieco

    Ho scritto su Forum (Planetologia) di Astronomia.com un articoletto su l'Anomalia Media che mi farebbe veramente piacere che lo visitasse. L'ho scritto perchè ho sempre pensato  che l'Anomalia Media da chi ne parla non è mai spiegato in modo esauriente e scientifico.

    E' piccola cosa, rispetto ai suoi studi, ma forse interessante; anzi Lei stesso potrebbe dircene di più!

    Spero voglia perdonare la mia invadenza: La ringrazio.

    M.Vaglieco

  15. caro Massimiliano,

    non ho il permesso di guardare quel file... dovresti mandarmelo direttamente qui.  Anomalia media, anomalia eccentrica e tante altri parametri "orbitali", non sono mai stati trattati qui da noi. Abbiamo, però, appena finito il passaggio dalla legge di Newton alle leggi di Keplero. Il prossimo passo dovrebbe, a suo tempo, essere dedicato alle velocità e alle varie anomalie ecc., ecc.

  16. Massimiliano Vaglieco

    Non so come mettere un allegato in pdf: se qui o in altro posto , ma come? Non avendo avuto notizia prima della sua gentile risposta nel frattempo l' ho caricato in wiki alla voce Anomali Media, ma senza alcun commento.

    Sarei veramente felice se comunque un commento lo facesse Lei: poi le manderò non appena mi dirà come inviarlo in allegato o in altro modo.

    M.Vaglieco

  17. caro Massimiliano,

    io non sono un esperto informatico... ma penso che nei commenti si possano tranquillamente inserire dei link. Puoi fare anche solo così e comparirà il tuo link nei commenti e poi vedremo... Potresti inserire il link a wikipedia che hai scritto tu... Tra poco ne parleremo senz'altro, non solo di anomalia media, ma anche di tutti gli elementi orbitali e molto altro....

  18. Daniela

    Ciao Massimiliano,

    devi semplicemente aprire la pagina Wikipedia che vuoi far leggere al prof., copiare il contenuto della barra dell'indirizzo e incollarlo in questo spazio per i commenti.

  19. Massimiliano Vaglieco

    Ecco il link su Anomalia Media. Solo la dimostrazione è mia, la prima parte no; ma è tutto da commentare.

    https://it.wikipedia.org/wiki/Anomalia_media

    A presto grazie. M. Vaglieco

  20. caro Massimiliano, sarà mia cura commentarlo passo a passo. Abbi solo un po' di pazienza... :)

  21. caro Massimiliano,

    ho dato una prima occhiata alla tua voce su wikipedia. Innanzitutto, devo dirti che non sono d'accodo sulla prima frase: "l'anomalia media è una misura del tempo...". In realtà essa è un angolo che varia col tempo in modo lineare e questo è il suo grande vantaggio. Proprio a questo riguardo, io inserirei anche una breve spiegazione del motivo "pratico" per cui si utilizza M e, di conseguenza, l'angolo ausiliario E. Altrimenti l'anomalia media sembra solo un calcolo fine a se stesso. Andrebbe poi spiegata insieme all'anomalia eccentrica e andrebbe citata l'equazione di Keplero... Una voce che non completa l'intero discorso è di difficile lettura.

    Ovviamente, questo è un mio modo di vedere un vero aiuto divulgativo... e spesso trovo wikipedia negativa proprio perché butta le cose senza fare riferimenti,  lasciando troppe cose nel vago...

  22. Massimiliano Vaglieco

    Poiché Wikipedia tratta per Voce, l' Anomalia Media riguarda solo questa e non implica ulteriori spiegazioni se non eventuali rimandi: così i “Censori”. La sua osservazione sull’ accostamento al tempo dell’ A.M. mi trova perfettamente d’accordo: infatti non è mia.

    Io accenno solo nell’ultima riga che può essere usata come dimostrazione per la II° Legge di Keplero.

    Poiché promette “ un prossimo passo” in materia aspetterò, sperando quanto prima. Mi sto appena orizzontando sulle molteplici cose che scrive.

    Grazie. M.Vaglieco

  23. caro Massimiliano,

    intanto diamoci del tu (nel nostro circolo è un OBBLIGO). Intendevo andare avanti con le leggi di Keplero e descrivere le velocità e la fatica necessaria a trovare l'anomalia vera, da cui l'introduzione delle due anomalie suddette. Teniamoci in contatto e vediamo come i miei scritti possano in qualche modo servire alla tua Voce...

    a presto

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