14/09/14

24 bis. Esercizi sullo studio delle funzioni **

Attraverso il capitolo 24 siamo ormai in grado di calcolare i punti particolari di funzioni abbastanza semplici. Scopriremo che esistono anche altri punti peculiari e altri metodi di calcolo, ma per adesso accontentiamoci di quanto descritto finora. Forza, le vacanze sono finite e si torna al lavoro! Un piccolo test prima di andare avanti. Se non riuscite… ditelo senza vergogna (magari in privato), in modo che possa intervenire subito. Sarebbe assurdo continuare se sono sorti dei problemi già adesso.

Seguire il metodo descritto nel capitolo 24 per trovare le coordinate dei punti particolari delle seguenti funzioni (sempre che esistano) e descrivere cosa rappresentano.

(1)  y = 2x2 - x

(2)  y = x2 - 3

(3)  y = 3x2 - 2x + 5

(4)  y = x3 - 2

(5)  y = 2x - 7

Noterete che le derivate da calcolare sono estremamente facili e non dovrebbero porre problemi a nessuno.

Buon lavoro e - mi raccomando - percorso netto!!

 

QUI il capitolo precedente

QUI il capitolo successivo

QUI l'intero corso di matematica

 

19 commenti

  1. Alfierecampochiaro - Massimo

    La funzione numero 4 ha un nome specifico?

  2. beppe

    equazione (1) è una equazione di secondo grado spuria perché senza termine noto, presenta un minimo nel punto [x=0,25; y=-0,125]
    equazione (2) è una equazione di secondo grado pura perché manca il termine di primo grado con minimo nel punto [x=0; y=-3]
    equazione (3) è una equazione di secondo grado canonica, presenta un minimo nel punto [x=1; y=4]
    equazione (4) è una equazione di terzo grado pura e presenta un flesso orizzontale nel punto [x=0; y=-2]
    l'equazione (5) è un'equazione monotona di 1° grado e non presenta punti peculiari

  3. qualche giorno e poi svolgeremo assieme gli esercizi e attenti agli errori di calcolo... :wink:

  4. Lusba

    Ciao a tutti e buona serata, la prima funzione è una bella parabola che intercetta l'asse delle x nei punti di coordinata (0,0) e (1/2,0). Nell'intervallo tra questi due punti di ascissa la curva passa sotto lo zero mentre esternamente diventa positiva (va all'infinito da ambo le parti, come tutte le parabole d'altronde). Il calcolo della derivata prima porta ad un valore di minimo con coordinata (1/4,-1/8) mentre la derivata seconda conferma la convessità della parabola, ovvero ha concavità sempre rivolta verso il basso.
    Nel week-end finisco il compito ... questa settimana ho avuto da seguire la figlia al ritorno dalle vacanze ed alle prese con il ripasso per la prima superiore! :-)

  5. alexander

    caro Enzo, purtroppo invece io non posso far parte, almeno per ora, del gruppo che è in pari con la matematica.
    Come accennato nei giorni scorsi, accorto delle mie grosse, lacune, ho deciso prima di rileggermi (ristudiare purtroppo non lo posso fare causa mancanza di tempo) i libri di matematica delle superiori e solo dopo ripartirò da zero con i tuoi articoli in modo da poter provare a capirli e sfruttarli fino in fondo,,,
    Senza fare cosi avevo la sensazione di star perdendo per strada troppo cose...

    PS. comunque la matematica non è proprio noiosa come ricordavo da ragazzino, probabilmente è tutta questione di prendere coscienza della sua importanza e del fatto che regola tutto il mondo in cui viviamo.
    Da piccolo me la facevano studiare come qualcosa di intangibile che mi dava la sensazione che non sarebbe mai entrata nella vita di nessuno se non di qualche matematico e invece non era vero

  6. Lusba

    Buongiorno Prof. e buona settimana!
    Per motivi di tempo sono sono riuscito a fare solo la numero 4) cioè y=x^3-2 che spero sia corretta.
    Trattasi di una funzione continua su tutto l'insieme dei numeri reali. La sua curva interseca l'asse y nel punto di coordinate (0,-2) mentre l'asse x nel punto (rad. cubica di 2, 0). E' positiva per valori superiori a quest'ultima ascissa (circa 1,25) mentre passa negativa per valori inferiori a questo numero. Va all'infinito per valori tendenti a infinito mentre va a meno infinito per valori tendenti a meno infinito. La derivata prima (3x^2) posta >=0 ci dice che la curva è sempre crescente (da controllare il punto 0 dove la derivata si annulla!); la derivata seconda (6x) posta >=0 indica l'esistenza di un flesso a tangente orizzontale proprio in corrispondenza del punto (0,-2) con concavità e convessità della curva rispettivamente prima e dopo il punto stesso.

  7. Lusba

    Buonasera caro Professore, ho concluso il cimento che le riporto in forma abbreviata
    Equazione 2. Parabola, campo di esistenza tutto R, interseca l'asse y nel punto (0,-3) e l'asse x nei punti -radice3 e +radice3 e (esternamente a questi ultimi valori è positiva, internamente negativa. E' simmetrica rispetto all'asse y. La derivata prima (2x) e seconda (2) confermano la decrescenza a sinistra dello 0 e la crescenza alla sua destra nonchè la convessità per tutto la curva.
    Equazione 3. Parabola, campo di esistenza tutto R, non tocca l'asse x mentre interseca l'asse y nel punto (0,5). E' sempre positiva. Dalla derivata prima (6x-2) si evince un minimo in x=1/3.
    Equazione 5. E' una retta. Sussiste in tutto R. Interseca l'asse x nel punto 7/2 e l'asse y in -7. La derivata prima (2) conferma la crescenza della "curva" cioè l'orientamento della retta a crescere verso destra, da meno infinito a più infinito.

  8. alexander

    ci provo solo per la 1), le altre potrò farle tra qualche giorno perchè non mi sento ancora sicuro su alcune cose che devo ancora studiare bene.

    La funzione non ha problemi con il dominio ed è una comune parabola che passa per i punti (0;0) e (1/2;0)
    Il limite con la x che tende a più o meno infinito è sempre + infinito
    Il limite con la x che tende a 1/2 da destra mi da un valore positivo e il limite con la x che tende a 1/2 da sinistra mi da un valore negativo.
    Lo stesso con il limite che tende a zero da destra ho risultati negativi e da sinistra ho risultati positivi, vuole dire quindi che la parabola passa sotto l'asse delle x nei punti che vanno da (0;0) a (1/2;0)
    La derivata prima è per tutta la funzione 4x-1 ed è maggiore di zero (quindi il grafico della funzione cresce) dal punto (1/4;-1/8) in poi.
    La derivata seconda conferma che si tratta di una parabola convessa

    spero di non aver detto troppe fesserie, soprattutto devo ancora soffermarmi bene sulle derivate, per i prossimi esercizi mi ci vorrà ancora tempo....

  9. alexander

    dimenticavo, si vedono i punti in cui la parabola passa sotto l'asse x anche risolvendo la funzionr semplicemente 2xquadro - x minore di zero...

  10. ancora qualche giorno e poi le risolviamo insieme... ma vedo che problemi ce ne sono pochi (per chi ha risposto... quantomeno). :wink:

  11. alexander

    2)
    sempre continua
    intersezione sull'asse x nei punti (-radice quadrata di 3;0) e (radice quadrata di 3;0)
    intersezione sull'asse y nel punto (0;-3)
    dallo studio del segno la funzione è negativa nell'intervallo tra i punti -radice quadrata di 3 e radice quadrata di .
    derivata prima 2x significa che la funzione cresce con x>0 quindi dal punto (0;-3) e questo è il vertice della parabola.
    la derivata seconda conferma che è una parabola e che è convessa
    Limiti con x tendente a + e - infinito = infinito

    3)
    sempre continua
    Nessuna intersezione con asse x
    intersezione con asse y nei punti (0;5)
    Questo significa che la funzione è sempre positiva
    Derivata prima 6x-2 che è maggiore di zero in x=1/3 a cui corrisponde y=14/3)
    Da questo punto la funzione cresce ed è anche il vertica della parabola
    derivata seconda indica che è sempre convessa
    Limiti con x che tende a + e - infinito è sempre + infinito

    La 4 e la 5 forse questa sera...

  12. alexander

    4)
    sempre continua
    la funzione interseca l'asse x nelle coorfinate (radice cubica di 2;0) e da questo punto in poi diventa positiva.
    L'intersezione con l'asse y è in (0;-2)
    derivata prima: 3x^2 ed è sempre > o quindi la funzione è sempre crescente
    derivata seconda è 6x ed è maggiore di 0 con x > 0 e quindi con x0 è convessa (0 punto di flesso)
    limite con x tendente a - infinito è - infinito e con x tendente a + infinito è + infinito

    5)
    sempre continua, trattasi di una retta che passa nei punti (7/2;0) e (0:-7)

  13. Paolo

    Caro Enzo, io comincio a provare a risolvere i primi due, descrivendo passo passo anche le varie considerazioni.

    (1) y = 2x^2 – x

    Punti all'infinito:
    lim x→ +∞y = lim x→ +∞ 2x^2 – lim x→ +∞ x = ∞^2 - ∞ = ∞ (il primo infinito è di grado maggiore)
    lim x→ -∞y = lim x→ -∞ 2x^2 – lim x→ -∞ x = -∞^2 -(-∞) = ∞ + ∞ = ∞ (i segni cambiano, il primo perchè elevato al quadrato il secondo perchè ci sono due segni meno)

    Prima considerazione: la funzione tende a infinito sia per x che tende a + ∞, sia per x che tende a - ∞.

    Punti intersezione assi:
    a) x= 0 y= 2 02 – 0 =0

    b) y= f(x)= 0 2x^2 – x = 0
    2x^2 = x x^2/x = 1/2
    x=1/2=0,5

    Considerazioni: il punto A (intersezione della curva con l'asse y) ha coordinate A (0;0), per cui la curva passa dall'origine.
    Il punto B (intersezione della curva con l'asse x) ha invece coordinate B(0,5;0). Di nuovo la curva ha come corrispondente valore di y zero.

    Trovare minimi, massimi o flessi orizzontali:
    y = 2x^2 – x
    y' = 4x - 1
    se y'=0
    0 = 4x -1 4x = 1 x= ¼ = 0,25
    sostituisco il valore trovato di x nella funzione originale:
    y = 2 0,25^2 – 0,25 = - 0,125

    Per verificare di cosa si tratta (minimo, massimo, flesso), sostituisco nella funzione iniziale x1 =+1 e poi x2 =-1 (intervallo entro cui è contenuto x=0,25)
    y1 = 2 1^2 – 1 = 1
    y2 = 2 -1^2 – (-1) = 2 +1 = 3
    Provo a restringere l'intervallo, con x1 =+0,4 e poi x2 =+0,2:
    y1 = 2 0,4^2 – 0,4 = -0,08
    y2 = 2 0,2^2 – 0,2 = 0,08 - 0,2 = -0,12

    Dato che sia y1, sia y2 sono maggiori di -0,125 (valore di y ricavato prima), si tratta sicuramente di un minimo, le cui coordinate sono Mi(0,25;-0,125).

    Conclusioni: visti i punti ricavati (partendo da x che tende a meno infinito) la curva parte da y + ∞, decresce fino a passare per l'origine degli assi nel punto A (0; 0), raggiunge il minimo Mi(0,25; -0,125) e riprende a crescere intersecando nuovamente l'asse x nel punto B (0,5;0), per arrivare a + ∞ quando x arriva a + ∞,

    (2) y = x^2 – 3

    Punti all'infinito:
    lim x→ +∞y = lim x→ +∞ x^2 – lim x→ +∞ 3 = ∞^2 - 3 = ∞
    lim x→ -∞y = lim x→ -∞ x^2 – lim x→ -∞ 3 = -∞^2 -3 = ∞ - 3 = ∞

    Considerazioni: come nel caso precedente, y tende sempre a +∞, sia per x che tende a +∞. sia per x che tende a -∞.

    Punti intersezione assi:
    a) x= 0 y= 02 – 3 = -3

    b) y= f(x)= 0 x^2 – 3 = 0
    x^2 = 3
    x= (3)^1/2 = 1,732

    Considerazioni: Coordinate Punto A intersezione curva con asse y (0;-3);
    Coordinate Punto B intersezione curva con asse x (1,732; 0)

    Trovare minimi, massimi o flessi orizzontali:
    y = x^2 – 3
    y' = 2x
    se y'=0
    0 = 2x x = 0/2 = 0
    sostituisco il valore trovato di x nella funzione originale:
    y = x^2 – 3 = 0 -3 = -3
    Per verificare di cosa si tratta, sostituisco nella funzione iniziale x1 =+0,5 e poi x2 =-0,4 (intervallo entro cui è contenuto x=0)
    y1 = 0,5^2 – 3 = -2,75
    y2 = -0,4^2 – 3 = -2,84
    Dato che sia y1, sia y2 sono maggiori di -3, si tratta sicuramente di un minimo, le cui coordinate sono Mi(0;-3), ossia le stesse del punto A.

    Conclusioni:
    Anche questa curva parte da P (-∞;+∞), ossia con y che decresce al crescere di x, taglia l'asse y in A in coincidenza con il punto minimo Mi (0;-3) dopodiché comincia a crescere, taglia l'asse x punto B (1,732; 0) e cresce fino a +∞ con x che tende a +∞.

    In realtà è plausibile che la curva, nella sua discesa tagli l'asse x anche in P(-1,732;0), d'altronde per scendere dovrà pure tagliare l'asse delle x in qualche punto.

    Nel caso precedente durante la discesa la curva tagliava l'asse x proprio all'origine degli assi.

    In realtà nei passaggi precedenti nell'individuazione del punto B, se invece di x= 1,732, si usa come valore x=-1732, elevandolo al quadrato, il segno meno diventa positivo ed è soddisfatta la condizione che y=0:
    y= -1,732^2 – 3 = 3 -3 = 0.

    Un'ultima considerazione, guardando bene la funzione iniziale
    y= x^2 – 3, assomiglia molto alla funzione di una parabola y= x^2, un po' come succedeva con le rette y=mx + n, quel -3 sembra proprio determinare il valore minimo di y della curva di una parabola, o sbaglio?

    Per ora mi fermo qui, così posso proseguire con gli altri esercizi, senza appesantire troppo il post (già così è lunghissimo).

    Paolo

  14. caro Paolo,
    tutto perfetto! Quel valore - 3 finale indica anche l'ordinata del minimo dato che esso ha ascissa uguale a =. In generale, se avesse anche il termine in x, il termine noto -3 indicherebbe l'ordinata relativo al valore zero della x. La parabola si alzerebbe o si abbasserebbe al cambiare di "-3" , proprio come faceva la retta con il termine "n". Esattamente come hai detto tu!!! Bravo... :-P

  15. Paolo

    Ho terminato gli esercizi, per cui riporto le soluzioni che ho trovato.

    (3) y = 3x^2 – 2x + 5
    Punti all'infinito:
    lim x→ +∞y = lim x→ +∞ 3x^2 – lim x→ +∞ 2x + 5 = ∞^2 – 3∞ + 5 = +∞
    lim x→ -∞y = lim x→ -∞ 3 (-∞^2) – lim x→ -∞ 2 (-∞) +5 = ∞^2 +2 ∞ +5 = +∞
    Considerazioni: anche in questo caso y tende a +∞, sia per x che tende a - ∞, sia per x che tende a +∞.

    Punti intersezione assi:
    a) x= 0 y= 3 (0)^2 – 2 (0) +5 = +5

    b) y= f(x)= 0
    3x^2 – 2x + 5= 0
    3x^2 – 2x = -5

    Non ho trovato alcun valore di x che annulli l'equazione.
    Il problema è che (3x^2 – 2x) dovrebbe restituire come risultato un numero negativo, ossia -5, ma il primo monomio non solo è di grado superiore al secondo, ma la x viene elevata al quadrato, per cui il monomio non può restituire un risultato con segno negativo.
    Inoltre se si assegnano ad x valori uguali o superiori ad 1, il primo monomio ( 3x^2) sarà sempre maggiore del secondo monomio (-2x). Se si assegnano valori inferiori ad 1 il risultato anche se può assumere segno meno non ha alcuna possibilità di raggiungere il valore di -5.

    Considerazioni: la curva interseca l'asse delle y nel punto A(0;5), ma non interseca l'asse delle x in alcun punto (per cui y può avere solo valori positivi).

    Comunque lascio in sospeso il risultato, in attesa di vedere dove è ubicato il minimo della curva (deve per forza essercene almeno uno, poiché la curva decresce da +∞ (quando x tende a -∞) e poi risale verso infinito (quando x tende a +∞).

    Per trovare minimi, massimi o flessi orizzontali, uso il solito metodo:
    y = 3x^2 – 2x + 5
    y' = 6x -2
    se y'=0
    0 = 6x -2 x = 2/6 = 1/3= 0,3333
    sostituisco il valore trovato di x nella funzione originale:
    y = 3 (1/3)^2 – 2 (1/3) + 5
    y = 3 (1/9) – 2 /3 + 5
    y = 1/3 – 2/3 + 5 = (1 -2 +15)/3 = 14/3= 4,6666

    Per verificare di cosa si tratta, sostituisco nella funzione iniziale x1 =+0,1 e poi x2 = +0,5 (intervallo entro cui è contenuto x=0,333).
    Y1 = 3 (0,1)^2 – 2 (0,1) + 5 = 4,83
    Y2 = 3 (0,5)^2 – 2 (0,5) + 5 = 4,75

    Per studiare meglio la funzione provo ad allargare l'intervallo, con x1 =1 e x2 = -0,5
    Y1 = 3 (1)^2 – 2 (1) + 5 = 3 – 2 + 5 = 6
    Y2 = 3 (-0,5)^2 – 2 (-0,5) + 5 = 0,75 +1 +5 =6,75

    Dato che sia y1, sia y2 sono maggiori di 4,666 si tratta sicuramente di un minimo, le cui coordinate sono Mi(0,333; 4,666).
    Le coordinate del punto minimo confermano che la curva non interseca l'asse x.

    Ricapitolando: la curva decresce da +∞ (con x= -∞), interseca l'asse y in A (0;5), e poco più in là raggiunge il minimo Mi(0,333; 4,666), dopodiché ricomincia a crescere verso + ∞ (con x che tende a +∞).

    (4) y = x^3 – 2
    Punti all'infinito:
    lim x→ +∞y = lim x→ +∞ x^3 – 2 = ∞^3 – 2 = +∞
    lim x→ -∞y = lim x→ -∞ -∞^3– 2 = -∞^3 - 2 = - ∞

    Considerazioni: questa volta y tende a +∞ per x che tende a + ∞, mentre tende a - ∞ per x che tende a - ∞.

    Punti intersezione assi:
    a) x= 0 y= (0)^3 – 2 = -2

    b) y= f(x)= 0
    x^3 – 2 = 0
    x^3 = 2
    x = (2)^1/3 = 1,2599

    Considerazioni: la curva interseca l'asse delle y nel punto A(0;-2), e l'asse delle x in B (1,2599; 0).

    Per trovare minimi, massimi o flessi orizzontali, uso il solito metodo:
    y = x^3 – 2
    y' = 3x^2
    se y'=0
    0 = 3x^2 la condizione che annulla l'equazione si ha solo se x = 0.

    sostituisco il valore trovato di x nella funzione originale:
    y = 0^3 – 2 = – 2

    Per verificare di cosa si tratta, sostituisco nella funzione iniziale x1 =-0,5 e poi x2 = +0,5 (intervallo entro cui è contenuto x=0).
    Y1 = (-0,5)^3 – 2 = -2,125
    Y2 = 0,5^3 – 2 = -1,875

    Dato che y1 -2 si tratta sicuramente di un flesso orizzontale ascendente (y aumenta al crescere di x), le cui coordinate (quelle in cui la tangente è parallela all'asse x) sono F(0; -2), ossia le stesse del punto di intersezione della curva con l'asse y, ossia A (0;-2).

    Per studiare meglio la funzione allargo l'intervallo, con x1 =-1 e poi x2= +1
    Y1 = (-1)^3 – 2 = -3
    Y2 = 1^3 – 2 = -1

    Ricapitolando: la curva cresce da -∞ (con x= -∞), interseca l'asse y in A (0;-2), che corrisponde anche al punto di un flesso orizzontale ascendente, dopodiché ricomincia a crescere, interseca l'asse x in B (1,2599; 0) e cresce fino a +∞ (quando x tende a +∞).

    (5) y = 2x – 7
    Vabbè la funzione si riconosce subito.
    E' quella di una retta del tipo y =mx + n, in cui m=2 e n=-7, che quindi non passa per l'origine degli assi, ma taglia l'asse y a -7.
    Ovviamente la retta partirà da - ∞ per arrivare a +∞

    Comunque usando il solito metodo:
    Punti all'infinito:
    lim x→ +∞y = lim x→ +∞ 2x – 7 = ∞ – 7 = +∞
    lim x→ -∞y = lim x→ -∞ 2 (-x) – 7 = -∞ - 7 = - ∞

    Punti intersezione assi:
    a) x= 0 y= 2 (0) – 7 = -7

    b) y= f(x)= 0
    2x -7 = 0
    x = 7/2= 3,5

    Considerazioni: la retta interseca l'asse delle y nel punto A(0;-7), e l'asse delle x in B (3,5; 0).

    Ovviamente, trattandosi di una retta non esistono minimi, massimi o flessi orizzontali:
    y = 2x – 7
    y' = 2
    se y'=0 0=2 ovviamente l'equazione non può annullarsi.

    Ricapitolando: la rette parte da -∞ (con x= -∞), interseca l'asse y in A (0;-7), quello x in B (3,5; 0) e cresce fino a +∞ (quando x tende a +∞).

    Spero di non aver commesso errori e termino con una figura in cui ho provato a rappresentare graficamente le varie funzioni, usando i punti trovati (compresi quelli usati per verificare l'intervallo intorno a x).

    http://www.astrobin.com/full/38903/D/

    Paolo

  16. caro Paolo,
    sempre OK...
    come hai visto eravamo di fronte solo a parabole (più una retta e una cubica). Un'equazione di secondo grado ha soluzioni reali oppure no. Basta applicare la formula risolvente che avevamo ricavato nell'articolo 23. Si arriva subito alla conclusione. In generale è molto importante saperla utilizzare, dato che la derivata prima potrebbe proprio essere di secondo grado e quindi è obbligatorio trovare i punti che l'annullano. Idem, magari, anche per la seconda...

    In ogni modo, di bene in meglio e prima o poi riprenderò in mano la matematica per arrivare agli asintoti e fare un po' di esercizi (insieme) su funzioni più complicate...

    Senza dimenticare che potremmo -un giorno- arrivare agli integrali...

  17. Paolo

    Caro Enzo, per ora ho solo usato l'analisa logica per determinare se esiste un valore di x che annulla l'equazione....

    Mi sembra, però, che prima di passare alle derivate successive ed ai flessi obliqui, sia necessario studiare il capitolo 23, sulle equazioni di secondo grado.... per cui stasera, prima di proseguire con lo studio delle funzioni, vedrò di leggere l'articolo e ragionarci sopra :wink:

    Paolo

  18. dall'analisi logica alla grammatica... :-P

    Sì, direi che fai bene... perché le equazioni di secondo grado diventeranno la norma...

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