Nov 24

La relatività speciale disegnata da Minkowski. 1: Introduzione *

Quando si parla di relatività, di spazio-tempo, di deformazione spazio temporale e via dicendo si entra in un mondo descritto da formule di grande complessità e si perde spesso il filo del discorso. Purtroppo, per visualizzare ciò che capita realmente, la matematica è l’unica salvezza. Le parole tendono sempre più a confondere o a risolvere solo un lato del problema. Ad esempio, lo stesso concetto di spazio può essere descritto in vari modi, a seconda dello scopo che abbiamo in testa: ciò che contiene la materia; il luogo dove i corpi possono muoversi; l’insieme delle relazioni che legano la materia; ecc., ecc.

Sono tutte definizioni giuste, anche se estremamente particolari e legate al tipo di discorso che si sta facendo. Analogamente lo spazio-tempo è spesso un concetto che sembra apparire ovvio e poi improvvisamente si complica e ci fa perdere del tutto il filo del discorso. Tutto sembra andare bene, ad esempio, se consideriamo il cono di luce. Molto meno quando scopriamo che esso non è altro che una delle tante rappresentazioni matematiche che può descriverlo. La verità è che io l’ho sempre introdotto in modo quantomeno imperfetto, non occupandomi di ciò che realmente capita allo spazio e al tempo. Esso nasce, in realtà, all’interno del diagramma di Minkowski, una soluzione geometrica che permette di descrivere lo spazio-tempo introducendo la relatività speciale di Einstein. Per potere fare ciò deve basarsi sulle trasformazioni di Lorentz e le cose diventano, apparentemente, sempre più intricate.

Il fatto di averlo sempre usato in modo “parziale” ha spesso causato problemi interpretativi. Primo fra tutti perché mai assume forme che tutto sono meno che quelle di un vero cono? A parole si fa presto a mettere le cose a posto: lo spazio si espande. Punto e a capo. Se vogliamo vedere dei coni dobbiamo cambiare coordinate e cose del genere. Tuttavia, non è solo l'espansione a creare problemi. Teniamo, infatti, ben presente che quanto racconteremo non si occuperà minimamente dell'espansione dell'Universo. Eppure, già così, la visione di ciò che capita cambia completamente forma e struttura. Ricordiamoci anche, però, che NON distrugge la fisica classica. Essa continua e essere valida se si studiano fenomeni che sono relativi a velocità decisamente minori di quelle della luce. Lo stesso diagramma di Minkowski si trasforma in un qualsiasi diagramma della geometria euclidea.

Questo blog e i suoi lettori sono ormai maturi per capire finalmente (se già non lo sanno, ovviamente) cosa rappresenta il diagramma di Minkowski e il “suo” cono di luce e -soprattutto- come serva per leggere geometricamente intervalli di tempo e di distanza in uno spazio-tempo che segua la relatività ristretta. Per essere sinceri fino in fondo, dovrei dire che il diagramma si inserisce in un quadro più ampio che prende proprio il nome di spazio-tempo di Minkowski. La sua definizione può spaventare nella sua semplicità: è un oggetto matematico  utile a descrivere lo spazio tempo della relatività speciale. Una frase banale e terribile nello stesso istante (attenzione a parlare di istante…. però…), soprattutto per quel “matematico” che incombe. Noi non andremo a fondo di questa rappresentazione (almeno per adesso) e ci limiteremo al diagramma che ne è una visione puramente geometrica, per la quale non ci sarebbe nemmeno bisogno di utilizzare formule.

Vale però la pena di ricordare come lo stesso Minkowski definiva il suo “oggetto” matematico:

Un punto dello spazio ad un punto del tempo, cioè, un sistema di valori x, y, z, t lo chiamerò un punto dell’Universo. La molteplicità di tutti i pensabili sistemi di valori x, y, z, t, la battezzeremo universo ”. In altre parole, uno spazio-tempo così definito è uno spazio matematico a quattro dimensioni senza proprietà fisiche, i cui punti sono definiti punti-evento. Il moto degli oggetti è rappresentato da linee di universo, che uniscono i punti-evento corrispondenti alle coordinate istantanee degli oggetti stessi.

Fermiamoci qui, altrimenti farei scappare la voglia di proseguire anche a un santo. Vedremo che, una volta che saremo ben allenati, tutto apparirà di un’armonia perfetta e di una semplicità meravigliosa, a patto di aver fatto girare le rotelle del nostro cervello.

Per le stesse motivazioni dello spazio-tempo costruito da Minkowski è, ovviamente, necessario conoscere la relatività speciale e le sue implicazioni sulle coordinate spazio e tempo. Il diagramma è stato costruito proprio per lei! Inoltre, dato che Einstein ha avuto bisogno di usare delle trasformazioni di coordinate un po’ speciali, quelle già introdotte da Lorentz, saremo anche obbligati a fare la loro conoscenza. Niente di veramente complicato, dato che, con un po’ di fatica, si possono descrivere utilizzando solo e soltanto il teorema di Pitagora.

Immergiamoci, quindi nel mondo creato da questi tre personaggi non certo banali: Einstein-Lorentz- Minkowski e vediamo di riuscire a disegnare nello spazio relativistico con la stessa facilità con la quale sappiamo farlo nello spazio euclideo (quello che ci hanno insegnato a scuola). Nel frattempo, avremo anche capito la relatività speciale di Einstein… niente male, no?

Prima di cominciare, vi offro una relazione semplicissima che potrebbe farvi avvicinare un po’ alla volta alla problematica nel suo insieme. Una relazione che tutti conoscete e che usate quotidianamente. Vi sembrerà una cosa ovvia e banale, ma, pensandoci bene, il segreto di tutto è proprio lei.

Nella fisica classica esiste una relazione fondamentale, alla portata di tutti e che tutti conoscete sicuramente: la definizione di velocità. Essa è data dal rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo. La velocità, quindi, è la più semplice relazione possibile che lega lo spazio con il tempo. Ed è anche la grandezza fisica di partenza di tutta la meccanica. Essa, però, non pone nessun vincolo effettivo tra spazio e tempo. Posso farli variare a piacere e ottenere tutti i valori che voglio. In questo contesto, posso, quindi, considerare spazio e tempo come due grandezze del tutto indipendenti tra loro. Li posso manipolare uno alla volta e ottenere alla fine il valore corrispondente della velocità. Questa è la visione di Newton che va benissimo per un mondo alla portata dell’uomo e delle sue azioni quotidiane.

Se invece impongo un valore fisso alla massima velocità raggiungibile, creo immediatamente un legame indissolubile tra spazio e tempo. In altre parole, non posso cambiare lo spazio quanto voglio e fare lo stesso con il tempo. Potrei, infatti, trovare un valore superiore alla velocità della luce. La costanza della velocità della luce impone quindi che, fissato uno spazio (o un tempo), il tempo (o lo spazio) debba variare in modo da non superare quel valore. Questo fatto cosa ci dice? Che per certi valori della velocità, molto prossimi a quelli della luce, una variazione dello spazio obbliga a far variare il tempo entro certi confini e viceversa. Ed ecco nascere le relazioni della dilatazione dei tempi e dell’accorciamento dello spazio e tutte le deformazioni susseguenti.

In fondo, la teoria della relatività è tutta qui… o quasi…

Data l’importanza dei concetti in tutta la trattazione della relatività e del diagramma che la rappresenta nello spazio tempo, vi pregherei di bloccarmi subito appena qualcosa vi lascia dubbiosi. Se ci portiamo dietro un dubbio prima o poi qualche nodo non si riuscirà più a sciogliere e lo spazio-tempo ci cadrà addosso (e non pesa poco…).

Ancora una cosa, prima di iniziare. Dobbiamo essere sinceri: se il diagramma di Minkowski può essere descritto e utilizzato anche senza l'uso di formule, lo stesso non è possibile per la relatività speciale. Sì, potremmo descrivere a parole certi concetti (dilatazione del tempo, contrazione delle lunghezze, composizione della velocità, ecc.), ma alla fine faremmo solo una grande confusione se non potessimo rappresentare certe quantità (che sono poi sempre le stesse) con valori ben determinati e calcolabili.  Niente di trascendentale (sono, in fondo le trasformazioni di Lorentz), ma più che necessarie. Cercheremo, perciò, di far capire molto bene prima il concetto qualitativo e solo dopo inseriremo la rappresentazione quantitativa. In tal modo quando si introdurrà un certo parametro sapremo subito che significato "pratico" si porta dietro.

Andremo avanti con molta calma e ripeteremo i concetti varie volte, magari guardandoli da angolazioni leggermente diverse.

2 commenti

  1. Alvermag

    " ...... Non ce la caveremo con poche puntate… potete esserne certi".

    Questa è MUSICA per le mie orecchie, caro Enzo.

    Ti devo però chiedere una cortesia: siccome mi ritrovo con 4 articoli sulla relatività speciale, come è preferibile archiviarli? Costituiscono un corpo a sè stante (già concluso o da riprendere in futuro?) o sono la premessa di questa serie o cosa ancora?

    Ti indico gli articoli in questione:

    0. Un viaggio in carrozza del 24.08.2014;
    0.bis Semplifichiamo del 25.08.2014;
    0.ter Da spazio a spazio-tempo del 26.08.2014
    1. La trasformazione galileiana del 01.09.2014

  2. Hai ragione Alvy... solo che quegli articoli si riferivano alla relatività galileiana e si riferivano a quando pensavo di trattare solo la relatività... E' meglio eliminare i numeri davanti. Direi di definirli come relatività galileiana, soprattutto l'ultimo (il numero 1). Appena ho un attimo di tempo, cambio il titolo...
    Li avevo persi di vista... :oops:

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