12/01/15

L’impareggiabile lavoro dei neutroni. 1: il decadimento alfa **

In tre (o quattro) articoli affrontiamo l’importantissimo argomento della radioattività. Benché sia ormai di dominio pubblico e venga associata normalmente a processi più o meno pericolosi per l’uomo, essa è una delle trasformazioni fondamentali che avvengono all’interno dei nuclei atomici e si attua attraverso diversi meccanismi. Iniziamo con quello, forse, più famoso. Ovviamente c’è sempre lo zampino della MQ, anche se sembra lavorare di nascosto. Perdonate se ho abbandonato, momentaneamente, la relatività speciale, ma vorrei veramente affrontarla con la massima chiarezza e lucidità. Accontentiamoci di qualcosa di più semplice, ma sempre di estremo interesse.

Immaginiamo un autobus “atomico” estremamente affollato. Al suo interno devono coesistere un grande numero di passeggeri-protoni che, da un lato, cercano di non urtarsi l’uno con l’altro per mezzo di una forza repulsiva (tecnicamente, forza coloumbiana, quella relativa all'interazione elettromagnetica) che cercherebbe di farli scappare da quella ressa, mentre, dall’altro, sono continuamente schiacciati da una forza attrattiva (interazione nucleare forte). D’altra parte, non possono perdere quell’autobus, il lavoro chiama…

Se il numero cresce di molto, le liti si fanno frequenti e la prima forza diventa preponderante: i protoni uscirebbero perfino dai finestrini o almeno ci proverebbero. Fortunatamente esistono dei “pacieri”, i neutroni, che riescono a tenere a distanza i protoni diminuendo la forza repulsiva che li sta dominando. Loro, i neutroni, non hanno di questi problemi: sono sempre calmi e tranquilli, non avendo carica elettrica. Per loro è assurdo scappare, dato che il loro lavoro è proprio quello di mantenere l’ordine nell’autobus!

Una pace tirata per i capelli, ma sempre pace è. Tuttavia, per un numero di protoni veramente elevato, il numero di neutroni deve essere nettamente superiore. Se, sono troppo pochi, la pace è solo apparente e la situazione instabile. E’ facile che un gruppetto estremamente unito e combattivo, formato da due protoni e due neutroni (c’è sempre chi fa il doppio gioco!) scappi da quella prigione troppo stretta e se ne vada per la sua strada. Poterlo fare, però, non è così facile, dato che il fuggitivo non avrebbe l’energia necessaria a uscire. Ci pensa, però, la MQ ad aiutarlo, mediante un tunnel che non ci dovrebbe essere.

Bene, abbiamo raccontato in parole estremamente semplici il decadimento alfa degli elementi radioattivi.

Adesso, possiamo fare un passo indietro ed essere un po’ più seri.

Il decadimento radioattivo, o radioattività, è la trasformazione “spontanea” di nuclei molto pesanti e instabili, che si “scompongono” dando luogo a nuclei di altri elementi. Queste trasformazioni avvengono con quattro meccanismi principali: decadimento alfa, decadimento beta positivo, decadimento beta negativo e cattura K. Ognuno di questi processi può essere o meno accompagnato da emissione di energia, per lo più sotto forma di raggi gamma.

Notiamo, innanzitutto, che questi sono processi dovuti solo e soltanto alla situazione che esiste all’interno del nucleo atomico. Non vi è nessun intervento esterno. I veri dominatori silenziosi e poco appariscenti sono i neutroni che si inseriscono tra i protoni. Gli elettroni stanno praticamente solo a guardare (soprattutto nel primo processo di decadimento)…

Iniziamo nuovamente con il decadimento alfa, anche se i concetti base sono molto simili per tutti i meccanismi.

Le condizioni di partenza, proprio perché tutto avviene all’interno del nucleo, sono estremamente semplici: il movimento iniziale può essere considerato nullo così come l’energia esterna al sistema. Questo fatto facilita di molto il calcolo delle energie in gioco e le solite leggi di conservazione. Ebbene sì, cari amici: anche per descrivere la radioattività ci si può limitare, quasi del tutto. a fare un discorso di meccanica classica.

La particella alfa che riesce a scappare non è altro che un nucleo di elio, cioè un gruppo di due protoni e due neutroni. Un gruppetto molto stabile. Come già accennato scherzosamente all’inizio, il decadimento avviene quando il rapporto tra neutroni e protoni è molto basso. Inoltre, ovviamente, si verifica solo per elementi che abbiano un nucleo molto pesante (autobus affollati). Normalmente il numero atomico deve essere superiore a 82.

Prima di cominciare con qualche semplice formuletta, diamo ancora una visione elementare della situazione all’interno del nostro “autobus” più o meno affollato attraverso la Fig. 1. Essa può servire per spiegare la situazione ai più piccoli o ai meno esperti.

Figura 1
Figura 1

In (a) il numero di protoni è molto basso. Essi sono estremamente vicini (addirittura a contatto) e la forza di attrazione (freccia bianca) bilancia quella di repulsione (nera).

In (b) il numero di protoni è molto alto. La forza di attrazione funziona abbastanza bene per protoni vicini, ma per protoni lontani si fa sentire di più quella repulsiva. Se facciamo la somma di ciò che attrae e di ciò che allontana, vince la repulsione.

In (c) intervengono i “pacieri”, i neutroni. Essi esercitano una forza attrattiva sia tra di loro che con i protoni, ma non risentono di nessuna forza repulsiva (non hanno carica elettrica) e quindi riescono a bilanciare nuovamente le due azioni opposte. E’ come se trattenessero i protoni desiderosi di fuggire.

Ne consegue che il rischio di “disgregazione” si ha solo quando vi sono tanti protoni e quando non vi sono abbastanza neutroni per bilanciare la voglia di scappare.

In queste condizioni, come già detto, il quartetto, formato da due neutroni e due protoni, riesce a fuggire dal nucleo originario attraverso l’“effetto tunnel” (vedi  QUI).

In parole molto semplici, e schematizzando al massimo, possiamo considerare la particella alfa contenuta in una buca di potenziale, come mostra la Fig. 2.

Figura 2
Figura 2

La meccanica quantistica dimostra che una particella, avente energia inferiore al massimo del potenziale,  può comunque uscire con una certa probabilità perfettamente calcolabile, che è tanto più alta quanto più alta è l’energia della particella in fuga. Come sempre, quindi, chi comanda è l’energia in gioco e la ben nota legge della sua conservazione. Ci arriveremo quasi subito, ma, prima, ricordiamo ancora una volta i “numeri” che si associano a un nucleo atomico e la scrittura simbolica che viene comunemente usata.

Il numero atomico (Z) indica quanti protoni (ed elettroni) esistono nell’atomo e si scrive in basso, prima del simbolo dell’elemento chimico. Il numero di massa (A) indica quanti nucleoni  sono presenti nel nucleo, ossia indica la somma di neutroni e protoni. Questo numero si riporta in alto prima del simbolo chimico. Per avere il numero di neutroni (N), basta fare la differenza tra A e Z. Ossia N = A – Z. La simbologia che definisce completamente l’elemento chimico in questione, per i nostri scopi, è quindi:

AZX

Questa scrittura vuole significare che l’elemento X ha un numero di nucleoni uguale ad A e un numero di protoni uguale ad Z. La particella alfa (α), ad esempio, viene scritta come:

42He

Un nucleo di elio (He) che ha due protoni (Z =2) e due neutroni (N = 2), ossia A = Z + N = 4.

Conserviamo l’energia

Cominciamo con un discorso estremamente generale (tanto per richiamare concetti che dovrebbero essere ormai ben noti).

Immaginiamo di avere due particelle o due nuclei o due “cose” qualsiasi (a e b). Esse si trasformano in altre due “cose” c e d.

Non ci resta che uguagliare l’energia di a e b con quella di c e d, dato che deve conservarsi. Stiamo parlando di fisica nucleare e quindi dobbiamo accettare la formula che lega l’energia alla massa secondo quanto ci insegna la famosa formula di Einstein E = mc2 (la ricaveremo attraverso la relatività speciale). Ovviamente, la massa m è la massa a riposo (corpo fermo) e c è la velocità della luce. Questa energia è quella posseduta dal corpo “a riposo”. A lei deve essere aggiunta l’energia cinetica K. La formula di conservazione diventa:

mac2 + Ka + mbc2 + Kb = mcc2 + Kc + mdc2 + Kd

Raccogliendo:

(ma + mb – mc – md) c2 = Kc + Kd - Ka - Kb

Ne segue:

Q = K finale – K iniziale = (miniziale – mfinale)c2   …. (1)

Q rappresenta l’energia rilasciata nel processo di trasformazione ed è data solamente dalla differenza di massa moltiplicata per la velocità della luce al quadrato.

Sembrano passaggi banali, ma sono di estrema importanza per la trattazione del decadimento radioattivo. Dato che il nucleo iniziale è fermo, si può anche dire che l’energia rilasciata Q non è altro che l’energia cinetica finale. Passiamo, perciò, al nostro caso vero e proprio.

La massa mancante

Iniziamo a chiamare le “cose” con il loro nome. Il nucleo iniziale lo chiamiamo nucleo padre e la sua massa Mp. Il nucleo finale, dopo la perdita della particella alfa, lo chiamiamo nucleo figlio di massa Mf. Non dimentichiamoci, inoltre, della particella alfa che ha una massa Mα.

Ciò che abbiamo trovato attraverso la (1) è che la massa totale dopo il decadimento (ossia, dopo la trasformazione) non è uguale alla massa del nucleo padre. Non dobbiamo certo meravigliarci.

L’energia iniziale non è altro che l’energia a riposo del nucleo padre. L’energia finale è uguale alla somma di quelle a riposo più l’energia cinetica della particella alfa (che scappa) e del nucleo figlio che … rincula (conservazione della quantità di moto!). Uguagliandole si ottiene proprio la (1):

Mpc2 = Mfc2 + Mαc2 + Q

Da cui, l’energia disponibile:

Q = (Mp – (Mf + Mα))c2 = ΔMc2

In poche parole, l’energia disponibile dopo il decadimento è pari all’equivalente energetico della differenza di massa ΔM, che è la massa “sparita” durante la trasformazione, il cosiddetto difetto di massa. Ovviamente, la reazione può avvenire spontaneamente solo se Q, e quindi ΔM, è positivo, cioè se la massa originaria è maggiore della massa finale. Dato che il processo è spontaneo non può certamente utilizzare energia esterna. Può solo rilasciarla.

Cerchiamo di comprendere meglio l’energia Q. Essa deve tener conto di tutte le particelle. Come si ripartisce? Utilizziamo solo la dinamica e  i soliti principi di conservazione di energia e quantità di moto. Chiamiamo Vα la velocità della particella alfa e Vf  il “rinculo”, ossia la velocità del nucleo figlio. La conservazione dell’energia ci porta a scrivere:

½MfVf2 + ½MαVα2 = Q

La conservazione della quantità di moto dice, invece, che, in assenza di forze esterne, la quantità di moto dopo il decadimento deve essere uguale a quella precedente (la trasformazione è qualcosa di interno al sistema). La quantità di moto iniziale è però uguale a ZERO (il nucleo padre è fermo). Ne segue:

MαVα – MfVf = 0           (le velocità hanno, ovviamente, segno opposto)

E, quindi:

MαVα = MfVf

Le due leggi di conservazione permettono di calcolare, “immediatamente”, l’energia cinetica della particella alfa:

Kα = ½ Mαvα2 = Q/(1+ Mα/Mf)      (chi vuole può provare a ricavarla…non è difficile)

Se il nucleo è molto “pesante”, Mα << Mf , segue che Kα ~ Q: quasi tutta l’energia è quella cinetica della particella alfa. Il rinculo del nucleo figlio è trascurabile. Ciò, ovviamente, dipende molto dal tipo di elemento chimico che subisce la trasformazione. A parità di nucleo padre, si può, comunque, dire che l’energia liberata con il processo alfa è discreta.

Qualcuno potrebbe chiedermi: “Che fine fanno gli elettroni che pareggiavano i protoni nell’atomo padre?”. Sicuramente, non se li porta via la particella alfa. Essi rimangono attorno al nucleo figlio finché non si "accorgono" che niente li attrae e se vanno liberi per la loro strada. Tuttavia, essi non danno nessun contributo al gioco energetico, che rimane una reazione puramente nucleare.

Alla fine abbiamo una particella vagante e un nucleo figlio che, dopo aver perso i due elettroni in eccesso, diventa un atomo più stabile del padre. Tuttavia, può darsi che anche lui subisca una trasformazione analoga. Per stare veramente tranquilli è necessario che cali sufficientemente il numero totale di protoni (l’autobus deve svuotarsi).

Tutta questa “fatica” ha una sola ragione fisica: ogni sistema cerca di sistemarsi nelle condizioni di minore energia possibile. Anche i nuclei atomici seguono la stessa regola. Ricordate la pallina messa sul bordo di una scodella? Può anche stare in bilico con un’energia potenziale più alta, ma -basta un niente- e la pallina cade verso il fondo, dove la stabilità è assicurata e l’energia potenziale è minima.

Il decadimento alfa può essere scritto con i simboli che ben conosciamo:

AZX --> A-4Z-2Y + 42He

E il decadimento è possibile solo se, per le masse in gioco, vale:

M(A, Z)  > M(A-4, Z-2) + M(4,2)

Dove, ovviamente, il simbolo M(A,Z) significa la massa di un nucleo di numero di massa A e di numero atomico Z, e via dicendo. La Fig. 3 riassume "artisticamente"  il tutto…

Figura 3
Figura 3

 

7 commenti

  1. Mik

    Grazie mille per il chiarissimo articolo! Ho un paio di domande per te.

    Giustamente tratti i neutroni come entità neutre. Tuttavia i neutroni sono fatti di quark, e in particolare da due quark con carica +1/3 e uno con carica -2/3 (o viceversa, vado a memoria). La somma fa zero, e quindi nel complesso la particella è neutra. Ma nello spintonarsi del nucleo mi chiedevo se questa natura "intima" del neutrone emergesse in qualche modo e se aiutasse (o contrastasse) l'emissione radioattiva.

    Volevo poi chiederti se potevi spendere qualche parola sulla struttura nucleo - questo misterioso. Da qualche parte avevo letto che protoni e neutroni nel nucleo non sono un "brodo" informe ma tendono invece ad organizzarsi, in analogia a quel che succede agli elettroni (che si posizionano in orbitali). Devo ammettere che non ricordo se fossero solo ipotesi teoriche o se gli esperimenti avessero dimostrato qualcosa. Grazie ancora!

  2. caro Mik,
    innanzitutto vorrei non entrare all'interno dei nucleoni. E' un discorso molto più ampio, da fare con molta calma e che, in realtà, non è necessario per la trattazione del decadimento radioattivo.
    Il neutrone ha un ruolo fondamentale e proprio il suo essere neutro (e quindi non subire la forza coulombiana) lo rende molto attivo nel processo alfa. Egli trattiene con la forza forte i protoni ed evita il loro allontanamento, senza respingere niente e nessuno. E' un vero salvagente a cui aggrapparsi per evitare di affogare in una tempesta elettromagnetica... Ruolo ancora più attivo l'avrà nel decadimento beta. Che poi in realtà sia composto da altre particelle sistemate e operanti in un certo modo è cosa da trattare separatamente. Spero proprio, un giorno, di riuscire a entrare anche dentro quel mondo con tutti voi!
    Sì, hai ragione, anche i protoni si sistemano secondo certe regole, rispettando la MQ e i suoi principi. Spero dopo il decadimento di spendere qualche parola in più, ma per adesso è meglio limitarci agli altri meccanismi, prima di studiare la struttura più sottile. Dire poche cose in breve potrebbe creare inutile confusione. Prometto di dedicargli un articolo. OK? :wink:

  3. Mik

    Sisì grazie. Senza fretta, col tempo che ti ci vorrà, che ora è ancora più prezioso.
    Grazie mille.

  4. Alvermag

    "Prometto di dedicargli un articolo. OK?"

    Guarda Enzone, che ogni promessa è debito ... :mrgreen: scherzo!!

  5. Alvermag

    Scusa Enzo, nel bilancio energetico:
    mac2 + Ka + mbc2 + Kb = mcc2 + Kc + mdc2 + Kd
    non dovrebbe comparire, al secondo membro, anche l'energia associata alla radiazione gamma che viene prodotta all'atto dell'evento? Dalla formula sembra che il difetto di massa sia tutto convertito in energia cinetica delle particelle emesse.

    E, quindi, la formula non dovrebbe essere:
    mac2 + Ka + mbc2 + Kb = mcc2 + Kc + mdc2 + Kd + nhν
    con n numero di fotoni emessi?

    Anche la formula dell'energia rilasciata, che discende da quella precedente:
    Q = K finale – K iniziale = (miniziale – mfinale)c2 …
    mi sembra confermi la mia affermazione.

    Mi puoi chiarire il dubbio?
    Grazie

  6. caro Alvy,
    nel decadimento alfa classico non vi è produzione di fotoni gamma. Ciò può capitare solo se il nucleo rimane eccitato, ma non è la norma. In tal caso, avviene l'emissione per stabilizzare il nucleo. Ne avrei parlato alla fine... :wink:

  7. Alvermag

    OK.
    Quindi, Enzo, il riscaldamento della Terra prodotto dalla radioattività naturale dipende dalla conversione dell'energia cinetica in calore , nel momento in cui le particelle alpha incidono sui diversi strati del pianeta.

    Ma allora il global warming ... esiste! :mrgreen:

    Grazie Enzo.

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