Feb 17

La relatività speciale disegnata da Minkowski. 9: definiamo lo spaziotempo **

Riflessioni

Abbiamo ricavato le equazioni di Lorentz, che Einstein ha usato per rappresentare il legame che esiste tra spazio e tempo in due sistemi in moto relativo. Il tempo è una coordinata non più assoluta, ma si abbraccia costantemente con la x (direzione del moto) e vale, ovviamente, il viceversa. Che questo capiti lo si vede benissimo dalla prima e dall’ultima equazione delle trasformazioni di Lorentz.

Qualcuno potrebbe dirmi: “Ma capitava già per la trasformazione di Galileo… Anche in quel caso la coordinata x’ era legata alla x attraverso la velocità v e il tempo t, infatti x’ = x – v t ”. Non facciamoci ingannare: vt = s e, quindi, la relazione si riduceva a x’ = x – s, del tutto indipendente dal tempo. In altre parole, il tempo era assoluto e non mutava da un sistema di riferimento a un altro. Il tempo viveva una sua vita indipendente, del tutto estranea a cosa stessero facendo i sistemi di riferimento. Dava il suo contributo alla velocità, ma lo faceva sempre  nello stesso identico modo senza guardare in faccia nessuno.

Nelle equazioni di Lorentz le cose sono nettamente diverse: il legame tra x e t è ben più profondo e il tempo è costretto a cambiare se osservato da diversi sistemi di riferimento. Ci torneremo sopra ancora molte volte, ma cerchiamo fin da subito di non farci ingannare dalla solita frase: “Per chi viaggia più velocemente il tempo rallenta!”. Questa frase comporterebbe immediatamente la soluzione “apparente” del paradosso dei gemelli. Infatti: se vado più veloce invecchio di meno

No, stiamo commettendo una serie di terribili errori! Innanzitutto, per chi viaggia velocemente il tempo NON rallenta assolutamente, il suo orologio gira sempre allo stesso modo. E’, invece, esatto dire che il suo orologio gira più lentamente quando viene visto da un osservatore in quiete rispetto a lui. La differenza dei tempi ha senso solo se si confrontano tempi che scorrono in diversi sistemi di riferimento, ma che sono osservati da un solo sistema di riferimento. L’orologio di un certo sistema di riferimento A gira in modo diverso per ogni altro sistema che si muova rispetto a lui. Esistono quindi infiniti movimenti del suo orologio quanto sono infiniti i sistemi di riferimento che si muovono di moto rettilineo uniforme rispetto a lui.

L’unica cosa che possiamo già azzardarci a dire (e ci torneremo presto) è che il tempo che A misura sul suo orologio è sicuramente il più breve tra tutti quelli che gli vengono attributi dagli altri viaggiatori. Gli altri lo troveranno sempre più lento di quanto non sia il tempo misurato sul loro orologio, che è, però, identico a quello che misura il sistema di riferimento A sul suo orologio.

Non ha alcun senso confrontare tempi misurati su sistemi di riferimento diversi. Innanzitutto, perché non potrebbe mai essere fatto! Come fare, infatti a essere presente contemporaneamente sia nel sistema esterno che in quello in moto? Dovremmo o fermare quello in moto oppure muoverci e raggiungerlo. I entrambi i casi, tuttavia, alla fine, vedremmo orologi che camminano allo stesso modo, dato che siamo ormai nello stesso sistema di riferimento: la velocità relativa è uguale a ZERO.

Quindi è tutta un’apparenza? Non c’è niente di vero nella differenza dei tempi e delle lunghezze? Beh, se rimaniamo nella relatività ristretta potremmo anche dire di sì, dato che se io viaggio con una certa velocità rispetto a un sistema, anche lui viaggia con una certa velocità rispetto a me e quindi vi è una perfetta simmetria: io posso dire che il suo tempo sembra rallentare, ma lui può dire che è il mio tempo che sembra rallentare. E abbiamo entrambi ragione, come ci dice perfettamente la trasformazione di Lorentz che può essere invertita tra i due sistemi con la sola accortezza di cambiare v in –v.

In realtà, però, le cose vanno in modo ancora diverso: vi è veramente una dilatazione dei tempi per un viaggiatore spaziale (anche se di tipo simmetrico) quando viene osservato da un altro. Lo è a tal punto che se lui tornasse a casa sarebbe decisamente più giovane del fratello gemello. Siamo quindi sicuri che viaggiando più veloci, il tempo scorre più lentamente per un osservatore esterno che guarda il viaggiatore, ma la simmetria della relatività ristretta ci assicura che è impossibile dato che per colui che viaggia siamo noi a muoverci con velocità uguale e contraria e quindi ad avere orologi che girano più lentamente.

Proprio qui nasce il paradosso dei gemelli: il rallentamento visto da fuori è giusto e REALE per entrambi, ma alla fine uno solo è veramente invecchiato di più. Come già abbiamo visto (e ci torneremo ancora sopra) questa assurdità nasce dal fatto che per confrontare gli orologi, REALMENTE nello stesso sistema di riferimento, uno dei due sistemi deve accelerare o decelerare e quindi cadono i principi della relatività ristretta e si deve entrare nella relatività generale.

Per i nostri scopi attuali, quindi, cerchiamo di non confondere le cose. Noi stiamo assistendo a legami tra spazio e tempo e alle loro deformazioni che sono sicuramente reali, ma che esistono solo se osservate da un unico sistema di riferimento. L’osservatore terrestre T può misurare un fenomeno attraverso il suo orologio e attraverso quello dell’astronauta visto da T. Solo in queste condizioni vede una diversità nei due tempi. Non pensiamo assolutamente che l’orologio di chi viaggia cammini intrinsecamente in modo diverso da quello di chi osserva da fuori. Fosse così non avremmo una teoria della relatività, dato che essa dice proprio che ciò che capita è relativo al sistema in cui si osserva.

Questa differenza che sembrerebbe solo apparente e poco importante è invece fondamentale per l’osservazione dell’Universo. Lo abbiamo già visto nella relatività della simultaneità, da cui, in pratica, deriva tutto il resto. In altre parole, senza tener conto della relatività ristretta non saremmo capaci di descrivere ciò che osserviamo realmente nello spazio (anzi spaziotempo), dato che saremmo sconvolti da assurdità verificabili direttamente. E questo vale comunque, anche lontano da masse tali da introdurre accelerazioni, ossia dal regno della relatività generale. La relatività ristretta è di per sé rivoluzionaria anche se trascura le masse e le loro azioni a distanza. Va quindi perfettamente compresa, e … DISEGNATA, per poter effettuare il passo successivo, dove la gravità entrerà in gioco a piedi uniti.

Spero di non aver confuso le idee invece di chiarirle… In ogni modo, torniamo alla nostra trasformazione di Lorentz e vediamo di modificarla per meglio capire la sua importanza decisiva. Quanto detto qui sopra lo ritroveremo e lo capiremo meglio andando avanti.

Cosa vogliamo dimostrare, in particolare? Solo e soltanto che il tempo può tranquillamente diventare una coordinata uguale alle lunghezze x, y e z. Se riusciamo a fare ciò, abbiamo in mano la possibilità di trattare il tempo come la coordinata x, ad esempio, quella che indica il verso del moto.

Spazio e tempo per me pari sono

Le conseguenze sono enormi: come possiamo considerare punti di ascissa negativa e positiva, così possiamo trattare punti con tempo negativo e positivo, ossia eventi del passato e del futuro. Qui sta proprio la grandezza della rappresentazione spaziotemporale di Minkowski. Entriamo veramente nelle quattro dimensioni, dove le coordinate x, y, z, t diventano coordinate misurate con la stessa unità di misura, quella spaziale. I “punti” diventano “eventi”, ma possono essere trattati con le stesse regole geometriche. E vedremo che, con qualche accorgimento, si può benissimo estendere il teorema di Pitagora alle quattro coordinate (tranne tener conto di qualche segno…), con buona pace del nostro Alvy (ma senza numeri complessi…).

Riscriviamo la trasformazione di Lorentz e usiamo i simboli delle grandezze adimensionate che abbiamo definito come γ e β (le formule diventano più maneggiabili).

x’ = (x – vt)/(1 – v2/c2)1/2

y’ = y

z’ = z

t’ = (t – vx/c2)/(1 – v2/c2)1/2    …. (1)

 

β = v/c

γ = 1/(1 – β2)1/2     …. (2)

Attraverso le (2), le (1) diventano:

x’ = γ(x – vct/c) =  γ(x – βct)

y' = y

z’= z

t’ = γ(t – βx/c)                            …. (3)

Anche se abbiamo ottenuto delle relazioni molto più compatte, ci accorgiamo che la prima e l’ultima hanno ancora dimensioni fisiche diverse. Non è un grave problema e possiamo facilmente superarlo proprio perché ormai abbiamo le relazioni che legano spazio x e tempo t, ossia esse non sono più variabili indipendenti.

Decidiamo, allora, di definire un nuovo tempo

T = ct

esso ha proprio la le dimensioni di una lunghezza che si può misurare in metri (ad esempio).

La nuova unità di tempo T = 1 m, è legata al tempo t espresso in secondi dalla relazione 1 m = c t, da cui si deduce t = 1 m / (300000000 m/s ). La nuova unità “metrica” di tempo corrisponde al tempo che occorre alla luce per percorrere uno spazio di un metro. Un tempo T di 300 000 km corrisponde, quindi, a un secondo.

Attenzione: in tale sistema di unità, la velocità di un corpo è il rapporto fra uno spostamento (in metri) e il tempo (anch’esso espresso in metri), ossia non è altro che il parametro adimensionale β.

Facilissimo da dimostrare:

v = ds/dT =ds/(cdt ) = (1/c) ds/dt = v/c = β.

Ricordiamoci, sempre, che tutto ciò può essere ottenuto perché la velocità della luce è una costante.

In questo sistema, la velocità della luce diventa c =1.

Sostituendo t = T/c e t' = T'/c nelle (3), esse si riducono a espressioni del tutto simmetriche nello scambio di x con t e x' con t':

x’ = γ(x – βct) = γ(x – βT)

y' = y

z’= z

T’ = cγ(T/c – βx/c) = γ(T – βx)      …. (4)

La prima e l’ultima sono esattamente la stessa relazione a patto di sostituire la x con la T . Il tempo è veramente diventato una lunghezza a tutti gli effetti.

Notate che potevamo anche lavorare al contrario, ossia trasformare le unità di misura di lunghezza in unità di tempo. Lasciavamo l’unità di tempo pari a 1 secondo e avremmo ottenuto qualcosa di ben conosciuto a tutti noi: il secondo luce. Infatti, esso non è altro che lo spazio percorso dalla luce in un secondo, ossia 300 000 km.

Chi si sente disorientato dall’uso di un tempo misurato in metri, pensi a quante volte ha già usato la distanza misurata in secondi (o anni o miliardi di anni): quella stella ha una distanza di x anni luce. E’ del tutto analogo al dire che un intervallo di tempo tra due eventi è pari a x metri. La prima non vi spaventa e la seconda sì? Basta rifletterci sopra e vedrete che ha la stessa difficoltà concettuale.

Cosa abbiamo imparato con queste semplici trasformazioni di variabili? Che è possibile disegnarle, con le stesse regole, in uno spaziotempo a quattro dimensioni e misurarle con la stessa unità di misura! Vi sembra poco? Se poi, ci ricordiamo che y e z si trasformano in loro stesse, risulta immediato che l’intero spaziotempo a quattro dimensioni può essere schematizzato facilmente sul piano del foglio, a due dimensioni, dato che non avviene nessuna deformazione nelle due coordinate rimanenti.

9 commenti

  1. Alvermag

    "E vedremo che, con qualche accorgimento, si può benissimo estendere il teorema di Pitagora alle quattro coordinate (tranne tener conto di qualche segno…), con buona pace del nostro Alvy (ma senza numeri complessi…)".

    E no Enzone, il succo della questione stà proprio nei segni .. e tu me li fai passare in second'ordine! :evil:

    Non mi farai il gioco delle tre carte eh?

    ih ih ih , caro Enzone, attendo con ansia quanto ci prospetterai sul pitagorico teorema. :wink:

  2. No, Alvy... ci mancherebbe che non tenessi conto del segno! Voglio solo dire che il tutto assomiglierebbe al teorema di Pitagora se non ci fosse un segno MENO... Ah questi invarianti.... che strani che sono :wink:

  3. Gaetano

    Enzo solo per farti capire che ho letto tutto con attenzione: non doverebbe essere y'=y.
    Tra tutte le spiegazioni del paradosso dei gemelli, quest'articolo, che è tutt'altro, è quello che lo chiarisce meglio. Quando si parla delle relatività di Einstein si dice sempre che si può, a velocità normali non tenerne conto, ma quando si parla di spaziotempo non pare che sia proprio così. Già il GPS ne viene influenzato

  4. Bravo Gaetano! Ti ringrazio... mi era scappato un apice.... e poi con il "copia e incolla" me l'ero portato dietro...

    Sono felice per te e per me... Sì, il GPS deve tenerne conto sicuramente!

  5. Paolo

    Scusa Enzo, volevo solo soffermarmi un attimo sulla frase che chiude il tuo articolo, per vedere se ho compreso il concetto.

    Se y=y' e z = z', una volta determinata la direzione del movimento di un sistema rispetto all'altro, basta costruire un sistema di coordinate che pone il movimento parallelo o coincidente con l'asse x.

    Le posizioni y e z una volta determinate non cambiano, per cui è possibile usare solo l'asse x e l'asse T per descrivere cosa accade.

    In altri articoli hai mostrato come è possibile passare da 4, a 3, a 2 dimensioni e viceversa, quindi anche in questo caso in qualunque momento è possibile passare dalla rappresentazione grafica a due dimensioni a quella originale a quattro, dato che le coordinate y' e z' sono sempre uguali a y e z.

    Sbaglio?

    Paolo

  6. caro Paolo,
    più che perfetto! Vedrai che ho utilizzato proprio le tue parole per passare allo spazio di Minkowski... La logica è una compagna inseparabile e fondamentale!!!! :-P

  7. Gaetano

    Enzo, sono un pò O.T.
    ma se non lo chiedo a te...
    Come mai le dimensioni extra (oltre le quattro canoniche) sono viste sempre come dimensioni spazio e non, per esempio come dimensioni tempo o, addirittura qualcosa di diverso.

  8. Beh... Gaetano, posso dirti che , essendo costruzioni mentali, sono state costruite proprio così. Inoltre, la relatività speciale, nel suo piccolo, ci insegna già che anche la coordinata tempo può essere trasformata in coordinata di lunghezza. In uno spaziotempo, qualsiasi siano le sue dimensioni ipotizzate, il passaggio da spazio a tempo è regolato da una trasformazione e la differenza perde di vero significato.

    Una dimensione di qualcosa di diverso da spaziotempo non ha alcun senso fisico e se fosse ipotizzata non avrebbe alcun riscontro con la realtà fisica. Sai, io preferisco rimanere nello spaziotempo che conosciamo, senza lasciarmi trascinare in universi a n dimensioni o cose del genere. E' abbastanza facile costruire teorie puramente matematiche, sicuri -da un lato- che nessuno potrebbe mai provarle. Io accetto solo teorie che hanno una possibilità pratica di essere confermate o smentite. Se no è puro contorcimento mentale. L'Universo a 4 dimensioni è già abbastanza misterioso e degno di essere studiato più a fondo fin dalle sue basi.

  9. Gaetano

    Enzo, ti seguo da tanto e apprezzo il tuo essere così pragmatico. Però tu hai sposato la tua missione di insegnante, io, con un paio di anni più di te a volte mi lascio prendere dalla ... fantasia. D'altra parte, l'ultima tua frase è molto proiettata in avanti. La meccanica quantistica e la relatività stanno molto strette nelle attuali condizioni e, almeno per un dilettante come me, non si intravede a breve una connessione.

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