Feb 24

La relatività speciale disegnata da Minkowski. 10: ogni sistema misura il suo tempo ***

Torniamo alla trasformazione “canonica” e vediamo di ricavare, direttamente da lei, quali sono i fenomeni apparentemente assurdi che riesce a produrre. Già sappiamo che un sistema in movimento pone non pochi problemi alla sincronizzazione degli orologi che sembra giusta o sbagliata a seconda di dove si cerchi di verificarla. Non possiamo, perciò, stupirci più di tanto se il tempo e lo spazio diventano qualcosa di … relativo.

Due fattori fondamentali

Prima di partire in quarta, è utile prendere maggiore dimestichezza con i due parametri adimensionali β e γ che abbiamo introdotto la volta scorsa. Essi sono fondamentali per capire al meglio a cosa si va incontro. Il primo ci dice chiaramente quanto sia veloce il nostro sistema di riferimento che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a un altro. Infatti, non è altro che il rapporto tra la velocità relativa e quella della luce. E’, allora, interessante vedere come γ, molto meno intuitivo, varia in funzione di β. Potrebbe essere un semplice esercizio di studio di funzione dato che abbiamo:

γ = 1/(1 – β2)1/2

dove β fa la parte della x e γ quella della y. E’ una funzione che vede una radice quadrata, in cui compare il quadrato di x, al denominatore. Stiamo parlando di relatività ristretta e sembrerebbe puerile parlare di funzioni elementari, ma noi cerchiamo di non perdere mai di vista una visione globale di ciò di cui discutiamo. Invito, perciò, chi vuole imparare meglio il calcolo delle derivate, di trovare i possibili massimi e/o minimi della funzione.

A noi interessa mostrare il risultato finale per avere un’idea di come il parametro γ vari con β, ossia con la velocità del moto relativo riferita alla costante c (velocità della luce). Per semplicità, possiamo considerare solo valori positivi di v (il risultato non cambia per valori negativi, dato che la velocità compare al quadrato). Il valore minimo di v è quindi ZERO, ossia abbiamo sistemi fermi uno rispetto all’altro. Per v = 0, anche β = 0 e γ = 1. Il valore massimo “plausibile” per v è dato da c, ossia β = 1. Questo valore comporta γ = + ∞. La funzione, perciò, tende a infinito (positivo) per v che tende a c. La curva risultante è riportata in Fig. 1

Figura 1
Figura 1

Si nota molto bene che per valori anche grandi di v (e quindi di β) il valore di γ si discosta poco da 1. In altre parole, guardando la trasformazione di Lorentz relativa alla x, si ha che x’~ x – vt, ossia si ricade nella trasformazione galileiana.

La fisica di tutti i giorni, quella che ci circonda, si svolge praticamente tutta in questo ambito. Pensiamo a un aereo supersonico che viaggi a 3600 km/h, ossia 1 km/sec. Niente male anche per l’uomo “normale” del 2015. Eppure, in questo caso avremmo β = 1/300 000 = 0.00000333... che porta a un valore di γ = 1.0000000000055. Pochi strumenti potrebbero rendersi conto della differenza tra questo valore e quello “galileiano” perfettamente uguale a 1.

Per valori di v prossimi a quelli della luce, però, γ parte come una “scheggia” e tende rapidamente a infinito. Per v > c (valore  matematicamente plausibile) avremmo una radice quadrata negativa e γ perderebbe di significato. La faccenda non ci disturba affatto, dato che nessun corpo dotato di massa può raggiungere o superare la velocità della luce. La figura precedente ci mostra matematicamente che la velocità della luce è un limite insuperabile.

Tuttavia, l’intero microcosmo, il “nocciolo” concettuale di tutta la fisica macroscopica, vive muovendosi a velocità molto prossime a c. Ne segue che la relatività ristretta è fondamentale per descriverlo correttamente. Oggi che siamo capaci di arrivare vicino a c anche nei laboratori terrestri, la relatività ristretta diventa dominatrice di moltissimi fenomeni, insieme alla sua sorella maggiore relatività generale e alla nuova e scomoda arrivata, la meccanica quantistica. Insomma, per vedere veramente in grande bisogna guardare sempre più verso il piccolo. E dispiace sempre di più che per sentir parlare di questi tre "giganti" della fisica è necessario, spesso, arrivare all'Università...

Applichiamo la trasformazione

Bando alle “ciance” e torniamo alla nostra trasformazione e ai suoi effetti più evidenti. Teniamo ben presente il legame tra v/c e il fattore di Lorentz, dato che β ci dice praticamente la velocità a cui viaggia il sistema in movimento relativo e γ ci quantifica i suoi effetti sul tempo e la lunghezza.

Consideriamo, in Fig. 2, un sistema di riferimento S’ di origine O’. Poniamo un bell’orologio C’ su di esso, a una distanza fissa x1’ dall’origine.

tempoproprio2

Facciamolo partire e guardiamolo girare. L’orologio, trovandosi sempre nella stessa posizione rispetto all’origine, segnerà esattamente il tempo misurato in quel punto. Vi sembra che stia dicendo una banalità quasi ridicola? Bene, pazienza… ma teniamola bene a mente: stiamo misurando un tempo sempre dallo stesso punto fisso, quello in cui si trova l’orologio. Segniamo l’ora in un dato momento t1’.  Lasciamolo girare per qualche minuto e leggiamo di nuovo l’ora: essa è quella relativa al tempo t2’. Attenzione: sia t1’ che t2’ sono stati misurati, con lo stesso orologio, sempre nello stesso punto, quello in cui si trova l’orologio. Non vi è stato bisogno di eseguire nessuna sincronizzazione. In altre parole sia t1’ che t2’ sono stati misurati nella posizione fissa  x1’ del sistema S’. La differenza tra i due tempi misurati in questo modo (ossia lo scorrere del tempo misurato su uno stesso orologio in uno stesso punto) lo indichiamo in un modo speciale, ossia:

ΔtP = t2’ – t1

Scendiamo dal sistema S’ e portiamoci su un altro sistema S di origine O (Fig. 3).

Figura 3
Figura 3

Lungo l’asse x di S si sono posizionati moltissimi orologi, tutti sincronizzati tra loro (ma sappiamo quanto la sincronizzazione sia relativa…). Ci accorgiamo che , in realtà, il sistema S’, in cui avevamo misurato quel tempo così speciale, è in movimento rispetto a S con velocità uguale a v. Da questa posizione “esterna”  vediamo passare l’orologio C’ nel punto di coordinate x1 (del sistema S). Quando C’ segna t1’, viene misurato il tempo t1 attraverso l’orologio C1 posizionato in x1. Il tempo passa e il sistema S’ con il suo orologio C’ scorre verso destra rispetto a S. Nel momento in cui l’orologio C’ segna il tempo t2’, utilizziamo l’orologio C2 posto nella posizione x2 per misurare t2. Attenzione! Ci siamo fidati ciecamente della sincronizzazione dei due orologi C1 e C2 posti in due punti x1 e x2, diversi, del sistema S.

Tuttavia, sappiamo che questa sincronizzazione non è valida per tutti i sistemi in movimento tra loro… Ne vediamo subito gli effetti, utilizzando la trasformazione tra t e t’ che abbiamo ricavato solo e soltanto attraverso i postulati di Einstein. Ribadiamo ancora la netta differenza tra i tempi t1’ e t2’, misurati sullo stesso orologio posto sempre nello stesso punto x1’ del sistema S’ e i tempi t1 e t2, misurati  su due orologi diversi posti in punti diversi del sistema S.

Questo è il punto fondamentale della relatività ristretta, espressa matematicamente dalla trasformazione di Lorentz.

Ricapitoliamo, facendo uscire allo scoperto la relazione che lega t e t’.

t’ = (t – vx/c2)/(1 – v2/c2)1/2

Riferiamola al momento in cui l’orologio C’ segna t1’ e  quello C1, posto in x1 segna t1:

t1’ = (t1 – vx1/c2)/(1 – v2/c2)1/2     …. (1)

Riferiamola, adesso, al momento in cui l’orologio C’ segna t2’ e quello C2, posto in x2 segna t2.

t2’ = (t2 – vx2/c2)/(1 – v2/c2)1/2     …. (2)

Per vedere come scorre il tempo non dobbiamo fare altro che fare la differenza tra la (2) e la (1)

t2’ - t1’ = (t2 – vx2/c2 – t1 + vx1/c2)/(1 – v2/c2)1/2  = ((t2 - t1) – v(x2 – x1)/c2)/(1 – v2/c2)1/2

Chiamiamo Δx la differenza tra x2 e x1 e Δt la differenza tra t2 e t1 (misurati con orologi diversi posti in punti diversi). ΔtP sappiamo già cos’è.

ΔtP = (Δt – vΔx/c2)/(1 – v2/c2)1/2

Ma  Δx = vΔt , per definizione di velocità costante misurata nel sistema S.

E, quindi:

ΔtP = (Δt – Δt v2/c2)/(1 – v2/c2)1/2  = Δt (1 –v2/c2)/(1 – v2/c2)1/2 = Δt (1 – v2/c2)1/2

E, infine:

Δt = ΔtP/(1 – v2/c2)1/2 = γ ΔtP

Ossia:

Δt = γ ΔtP            …. (3)

 

Fantastico e semplicissimo risultato: la differenza di tempo misurato attraverso i due orologi posti in punti diversi di S è legata alla differenza di tempo, misurata attraverso un unico orologio posto nel punto fisso x’ di S’, solo attraverso il fattore di Lorentz!

Il tempo proprio non cambia

Sappiamo, però, benissimo che il fattore γ rimane sempre maggiore di 1, a mano a mano che la velocità relativa aumenta. Questo vuol dire che il tempo segnato da un orologio che si muove con velocità v appare andare sempre più lento rispetto a quello misurato dagli orologi posti in un sistema che si considera fermo. Facciamo attenzione che la stessa identica cosa accadrebbe se S’ si considerasse fermo e volesse misurare il tempo che scorre sul sistema S in movimento con velocità –v rispetto a lui. In queste condizioni l’orologio fisso sarebbe quello in S e gli orologi differenti apparterebbero a S’. A S’ sembrerebbe che il tempo di S scorra più lentamente del suo. Esattamente la stessa cosa che dice S. La trasformazione è sempre la stessa, con l’accortezza di cambiare v in –v.

Proprio da questa simmetria, insita nella relatività ristretta, nasce il ben noto paradosso dei gemelli.

Per comprenderne appieno il significato, ripetiamo ancora il risultato ottenuto: l’intervallo di tempo Δt che viene misurato nel sistema di riferimento in cui l’orologio C’ viene visto muoversi con velocità v è sempre maggiore del valore ΔtP misurato dall’orologio C’. Questo risultato è quello che viene comunemente chiamato dilatazione relativistica del tempo.

Come già accennato c'è una differenza sostanziale fra gli intervalli di tempo ΔtP  e Δt che appaiono nella (3). L'intervallo di tempo ΔtP, infatti, è il tempo misurato da un unico orologio C’ e, quindi, non è in nessun modo influenzato dalle procedure di sincronizzazione. Questo tempo è, quindi,  una grandezza fondamentale  di tutta la teoria e viene chiamato  TEMPO PROPRIO. L'intervallo di tempo Δt, invece, è quello misurato da due orologi diversi (C1 e C2), posti in punti diversi di posizione x1 e x2, e, quindi, dipende fortemente da come gli orologi del sistema S sono stati sincronizzati fra di loro.

Non dobbiamo, perciò, travisare il concetto di tempo dilatato per chi viaggia a una certa velocità v rispetto a noi. Il suo tempo, misurato all’interno del sistema, è quello proprio. Esso appare scorrere più lentamente solo se “osservato” dal nostro sistema di riferimento che lo vede muoversi con velocità v. Questo effetto appare identico a quello che misura un osservatore del sistema S’ mentre ci vede muovere con velocità uguale e opposta –v.

A questo punto, capite molto bene perché è stato più giusto iniziare con il concetto di sincronizzazione degli orologi su un certo sistema di riferimento e della sua relatività rispetto a sistemi in moto tra di loro. Ciò ci ha indotto a pensare che il tempo non potesse essere assoluto ma relativo. Attraverso l’utilizzo dei soli postulati di base abbiamo ricavato la trasformazione di coordinate che lega i due sistemi di riferimento. L’abbiamo infine applicata a un caso reale, verificando matematicamente il concetto che la sincronizzazione relativistica ci aveva suggerito.

Il semplice fatto che v = x/t ci dice subito che se t è relativo al sistema di riferimento e v è una costante, deve essere relativa anche la lunghezza x. Lo vedremo nel prossimo articolo…

4 commenti

  1. Alvermag

    Porca miseria Enzo, lo so, sto latitando.

    E' che sono preso da parecchi impegni il che, da un certo punto di vista, è positivo.
    Mi manca però il tempo di seguire il blog come prima e questo mi spiace (anche se farà contenti molti altri , ih ih ih).

    Sono rimasto indietro con Minkowski e devo cercare di rimettermi in paro.
    Ma tu non dubitare Enzo, in un modo o nell'altro continuo a seguirti.

  2. Non ti preoccupare Alvy,
    anch'io avrò un periodo abbastanza impegnato. In ogni modo, Minkowski non ... scappa!!!

  3. Paolo

    Caro Enzo, dato che sono fresco delle tue lezioni sullo studio delle funzioni, ho provato ad applicare i concetti che spero di aver compreso trattando il rapporto tra β e γ (γ = 1/(1 – β^2)^1/2 )come una funzione del tipo:
    y = 1/(1 – x^2)^1/2

    In questo modo penso di aver appreso molte più cose sul comportamento di questa funzione e sono riuscito a costruire una figura che a mio avviso rende bene il concetto di reciprocità e simmetria delle trasformazione di Lorentz ("visto" da S o da S', le trasformazioni sono uguali, cambia solo il segno della velocità).

    Nello studio della funzione ho calcolato anche derivata prima e derivata seconda, però, soprattutto su quest'ultima ho bisogno di una conferma, su metodo e risultati ottenuti.

    Prima di cercare minimi massimi o flessi, mi sembra importante soffermarsi un attimo sulle limitazioni della nostra x.

    Innanzitutto x è elevata al quadrato, per cui anche i valori negativi restituiscono un risultato positivo (da sottrarre ad 1).

    Dopodiché il massimo valore che può assumere x è 1, altrimenti verrebbe violata la velocità della luce, ossia v maggiore di c.

    La curva della funzione incrocia l'asse y:
    se x=0
    y = 1/(1-(0)^2 )^1/2
    y = 1/1=1
    per cui il punto di intersezione ha coordinate (0;1)

    La curva della funzione incrocia l'asse x:
    Se y =0
    0 = 1/(1-x^2 )^1/2
    Nessun valore di x (x non può essere maggiore di 1) restituisce come risultato 0, per cui la curva non incrocia mai l'asse x.

    A questo punto calcolo la derivata prima della funzione iniziale e vedo quali punti l'annullano.
    y = 1/(1-x^2 )^1/2

    Porto sopra il denominatore e cambio il segno dell'esponente.
    y = (1-x^2 )^-1/2

    Si tratta di una funzione (1-x^2 ) all'interno di un'altra funzione ((1-x^2 )^-1/2 )

    Per cui calcolo la derivata della funzione esterna lasciando inalterato il
    modulo e la moltiplico per derivata della funzione interna:
    f(x) = (1-x^2 )^-1/2
    f'(x) = -1/2 (1-x^2 )^-1/2 – 1 = -1/2 (1-x^2 )^-1,5
    g(x) = 1-x^2
    g'(x) = -2x

    y' = -2x (-1/2 (1-x^2 )^-1,5)
    y' = +x (1-x^2 )^-1,5

    Vedo per quali valori di x si annulla la derivata:

    0= x (1-x^2 )^-1,5
    0= x 1/(1-x^2 )^1,5

    Lo tratto come un prodotto, che deve restituire risultato zero:
    a) x= 0
    per cui (0) 1/(1-(0)^2 )^1,5 = (0) 1/1 = 0

    b)
    1/(1-x^2 )^1,5 =0

    Non trovo alcun valore di x (tra 0 e 1) che restituisca come risultato zero, solo con x = +/- ∞ si annulla l'equazione (ma un tale valore di x è incompatibile con la funzione iniziale, poiché fornirebbe una radice quadrata di un numero negativo, ossia un numero immaginario).

    Ora sostituisco il valore di x nella funzione iniziale per trovare il corrispondente valore di y:
    Con x=0
    y = 1/(1-(0)^2 )^1/2
    y = 1/(1 )^1/2
    y = 1

    Il Punto trovato ha coordinate (0;1);

    Per vedere di quale punto si tratta calcolo la derivata seconda, partendo dalla derivata prima:
    y' = x (1-x^2 )^-1,5

    Qui c'è sia un prodotto tra funzioni, sia una funzione della funzione.

    Le due funzioni da moltiplicare sono:
    f(x) = x
    g(x) = (1-x^2 )^-1,5
    f'(x) = 1
    La derivata di g(x), deve considerare la funzione di una funzione:
    ga'(x) = -1,5 (1-x^2 )^-2,5
    gb'(x) = -2x
    g'(x) = +3x (1-x^2 )^-2,5

    Ora posso moltiplicare le due funzioni, seguendo la regola:
    f(x) g (x) = f'(x) g (x) + f(x) g'(x)
    y'' = 1 (1-x^2 )^-1,5 + x (3x (1-x^2 )^-2,5
    y'' = 1 /(1-x^2 )^1,5 + 3x^2/(1-x^2 )^2,5

    Con x=0
    y'' = 1 /(1-(0)^2 )^1,5 + 3(0)^2/(1-(0)^2 )^2,5
    y'' = 1 /1 + 0/1 = 1+ 0 = +1

    Dato che la derivata seconda nel Punto P(0;1) è positiva, si tratta del Punto Minimo della funzione.

    A questo punto voglio vedere come si comporta la funzione iniziale per diversi valori di x (tra 0 e 1).
    Se x = 1
    y = 1/(1-x^2 )^1/2
    y = 1/(1-(1)^2 )^1/2
    y = 1/(1-(1)^2 )^1/2 = 1/0 = +∞

    Quindi quando x, ossia β , tende ad 1 (ossia la velocità relativa raggiunge quella della luce) y, ossia γ , tende a +∞.

    Anche cambiando il segno di x, ossia x = -1, il risultato non varia.

    L'idea che mi sono fatto è che se per un sistema la velocità ha segno positivo, la curva va disegnata a destra (solo valori positivi di x), se ha segno negativo, la curva va disegnata a sinistra (solo valori negativi), in pratica le due curve sono perfettamente speculari, o sbaglio?

    Comunque tanto vale considerare x con segno positivo.

    Vediamo qualche altro punto:
    x= 0,3
    y = 1/(1-(0,3)^2 )^1/2 = 1/(1- 0,09)^1/2 = 1,048
    Q1(0,3; 1,04)
    x= 0,5
    y = 1/(1-(0,5)^2 )^1/2 = 1/(1- 0,25)^1/2 = 1,15
    Q2(0,5; 1,15)
    x= 0,7
    y = 1/(1-(0,7)^2 )^1/2 = 1/(1- 0,49)^1/2 = 1,4
    Q3(0,7; 1,4)
    x= 0,8
    y = 1/(1-(0,8)^2 )^1/2 = 1/(1- 0,64)^1/2 = 1,66
    Q4(0,8; 1,66)
    x= 0,9
    y = 1/(1-(0,9)^2 )^1/2 = 1/(1- 0,81)^1/2 = 2,29
    Q5(0,9; 2,29)
    x= 0,95
    y = 1/(1-(0,95)^2 )^1/2 = 1/(1- 0,90)^1/2 = 3,20
    Q6(0,95; 3,20)
    x= 0,97
    y = 1/(1-(0,97)^2 )^1/2 = 1/(1- 0,94)^1/2 = 4,11
    Q7(0,97; 4,11)
    x= 0,98
    y = 1/(1-(0,98)^2 )^1/2 = 1/(1- 0,96)^1/2 = 5,02
    Q8(0,98; 5,02)
    x= 0,99
    y = 1/(1-(0,99)^2 )^1/2 = 1/(1- 0,98)^1/2 = 7,08
    Q9(0,99; 7,08)
    x= 0,995
    y = 1/(1-(0,995)^2 )^1/2 = 1/(1- 0,99)^1/2 = 10,01
    Q10(0,98; 10,01)

    Ho volutamente lasciato nei risultati il valore assunto dal rapporto v/c (ossia il valore di x, o meglio di β) ed il rapporto tra i quadrati, ossia v^2/c^2 (ossia β^2) per rendere evidenti le differenze tra questi due rapporti.

    Ovviamente se si attribuisce ad x, ossia β, un segno negativo, il risultato non cambia, ossia y assume il medesimo valore positivo (dato che viene elevato al quadrato), per cui si ottiene la stessa curva speculare a quella con x con segno positivo (perfetta simmetria).

    La figura ricostruisce la curva usando i punti trovati, si nota anche la perfetta simmetria delle curva per valori negativi e positivi di β, in sintesi si nota la reciprocità, ossia le trasformazioni sono reversibili da un sistema all'altro, solo che la velocità cambia di segno.

    http://www.astrobin.com/full/38903/H/

    Un'ultima considerazione, la curva non presenta massimi (di fatto non vi è un intervallo entro il quale si ha prima un incremento e poi un decremento di y all'aumentare di x, ma solo una curva che tende a +∞ ), ma solo un minimo, (in questo caso l'intervallo esiste, dato che la funzione consente anche valori di x compresi tra 0 e -1, quando la velocità ha segno negativo).

    Torno, perciò un attimo sulla derivata prima considerando il valore massimo che può assumere x, ossia +/-1, per vedere cosa rappresenta la retta tangente alla curva nel Punto Pi (1;+∞)
    y' = x /(1-x^2 )^1,5
    y' = (1) /(1-(1)^2 )^1,5
    y' = 1 /0

    Ma si tratta di una retta perpendicolare a quella che annulla la tangente (con x=0 y' era uguale a zero, m=0, con x= 1 y' è uguale a 1/0, ossia =1/m), per cui la derivata prima rappresenta una retta perpendicolare all'asse x e parallela a quello y, che passa per il punto Pi (1;+∞) e lo stesso vale per il punto Pi (-1;+∞).

    La figura mostra le rette tangenti alla curva (derivata prima)

    http://www.astrobin.com/full/38903/I/

    La curva mostra chiaramente che per velocità relative basse, y non varia molto, solo quando ci si avvicina alla velocità della luce, y cresce velocemente fino a tendere a infinito (β = v/c=1).

    A questo punto non mi resta che attendere conferme e se ho commesso errori soprattutto con il calcolo delle derivate. :roll:

    Paolo

  4. caro Paolo,
    ottimo lavoro...

    un appunto: la x è compresa, per definizione, nell'intervallo tra o e 1 e quindi non ha senso calcolare la funzione per valori esterni a questo intervallo. Roba da poco, ma concettualmente importante.

    La funzione non ha né massimi né minimi "relativi", ma parte da un valore minimo e raggiunge un valore massimo che tende a infinito. I valori estremi di questo tipo non hanno, quindi, niente a che vedere con una funzione che annulla la sua derivata prima. Calcolare la derivata seconda si può sempre fare, ma in questo caso, essendo la funzione crescente era ovvio che la concavità è rivolta vero l'alto... Comunque, un ottimo esercizio per lo studio delle funzioni.

    Quella retta tangente all'infinito e perpendicolare all'asse x non è altro che un asintoto verticale... che non abbiamo ancora trattato ... come al solito, anticipi le lezioni... bravo!

    Il fatto che cambiando beta in meno beta la funzione sia simmetrica vuol proprio dire ciò che hai detto tu: cambiando v in - v la trasformazione non cambia (a parte il segno di x)...

    Ottimo Paolo :-P ... come sempre....

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