Mar 29

La relatività speciale disegnata da Minkowski. 13: se il tempo si dilata la lunghezza si contrae ***

Per dimostrare graficamente la relazione che lega le lunghezze della trasformazione di Lorentz, continuiamo a usare il nostro orologio a luce. Dobbiamo, però, aver già ricavato la relazione che “dilata” i tempi. Questa volta sistemiamo l’orologio a luce in posizione orizzontale, lungo l’asse dello spazio, ossia dell’ascissa x. Ci sistemiamo in un sistema di riferimento “fermo” S e osserviamo ciò che avviene a un orologio a luce posto nel sistema S’ che si muove rispetto a noi con velocità v.

Lo specchio A coincida con un certo punto dell’asse x che chiamiamo xA nel momento in cui la luce parte da A (Fig. 1a).

Figura 1
Figura 1

Il tempo relativo, misurato con un orologio posto in xA sia t0. La luce viaggia, ma viaggia anche l’orologio a luce. A un certo tempo t1 la luce colpisce lo specchio B, giunto nella posizione B1 e viene rimandata indietro (Fig. 1b). Questa posizione la chiamiamo xB1. Nello stesso istante lo specchio A si trova in A1 di ascissa  xA1. La distanza tra A1 e B1 è misurata nello stesso istante da due orologi sincronizzati del sistema S ed è pari alla lunghezza L dell’orologio a luce. Qual è la distanza d1 percorsa dalla luce che è partita da A all’istante t0 e arriva in B1 all’istante t1?

La Fig. 1b ce lo dice subito:

d1 = (xA1 – xA) + L      …. (1)

ma

xA1 – xA = v(t1 – t0)

Per semplicità scriviamo:

Δt1 = (t1 – t0)

Da cui

d1 = v Δt1 + L

Andiamo avanti e stabiliamo il nuovo tempo t2 in cui la luce che è tornata indietro colpisce lo specchio A che si è portato in A2. Ovviamente, il tempo è misurato dall’orologio posto in A2. Quanto vale, adesso la distanza d2 percorsa dalla luce che è partita da B1 all’istante t1 ed è arrivata in A2 al tempo t2?

Non è difficile rispondere guardando la Fig. 1c. La luce è partita dal punto di ascissa xB1 e torna indietro al punto di ascissa xA2. Notando che xB1 non è altro che d1, possiamo allora scrivere:

d2 = d1 – (xA2 – xA) = (xA1 – xA) + L - (xA2 – xA) = (xA1 – xA) + L – ((xA2 – xA1) + (xA1 - xA)) = xA1 – xA + L - xA2 + xA1 - xA1 + xA

d2 = L – (xA2 - xA1)

Ma

xA2 – xA1 = v(t2 – t1)

Ponendo, come prima:

Δt2 = t2 – t1

Si ha

d2 =  L - v Δt2

Tuttavia, dobbiamo ricordare che la distanza d1 è il percorso compiuto dalla luce per andare dallo specchio A allo specchio B e d2 è il percorso compiuto dalla luce per tornare da B ad A.

Ne segue che

d1 = c Δt1

e

d2 = c Δt2

Da cui:

d1 = v Δt1 + L = c Δt1

e

d2 = L - v Δt2 = c Δt2

Dalla prima si ottiene:

Δt1 = L/(c – v)

Dalla seconda:

Δt2 = L/(c + v)

Sommando:

Δt = Δt1 + Δt2 = L/(c – v) + L/(c + v) = (L c + L v + L c – L v)/(c2 – v2) = 2L c/(c2 – v2)

Mettendo in evidenza c2 al denominatore, abbiamo:

Δt = (2L c/c2)(1/(1 – v2/c2)) =  (2L/c)(1/ (1 – v2/c2))   …. (2)

Ma, quando abbiamo ricavato lo stesso valore la volta scorsa (poco prima di giungere alla relazione relativa al tempo della trasformazione di Lorentz), si era ottenuto:

Δt = (2L0/c)(1/(1– v2/c2)1/2)     …. (3)

Il sistema di riferimento è lo stesso e quindi la  (2 ) e la (3) devono coincidere!

Questo capita se e solo se:

L = L0 (1– v2/c2)1/2

Che è proprio la relazione della trasformazione di Lorentz che dimostra la contrazione delle lunghezze.

Se ne conclude che  la dilatazione dei tempi implica la contrazione delle lunghezze e viceversa.

 

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