12/05/15

Fermiamoci un attimo sulla RR...

Mi sono reso conto di essere andato troppo veloce con la relatività speciale. Il suo problema non è tanto la rappresentazione geometrica che, probabilmente, si riesce a capire abbastanza bene, ma la comprensione di ciò che è reale e di ciò che è apparente. Il diagramma di Minkowski aiuta moltissimo in questo contesto, ma per poterci lavorare sopra è necessario avere già le idee molto chiare.

Prendiamo, ad esempio, il caso limite della luce e le domande che la riguardano: "I fotoni sono dappertutto? I fotoni non si muovono? I fotoni non invecchiano?"Ecc., ecc. Analogamente si confonde facilmente ciò che si vede e ciò che capita realmente. L'esempio dei muoni è lampante. Per non parlare del poter percorrere 160 000 anni in soli 60 anni...

La vera difficoltà è di far nostro il concetto di relatività, ossia di ciò che non può cambiare e di ciò che cambia passando da un sistema di riferimento a un altro. Ricordiamoci sempre che noi osserviamo la realtà attraverso un particolare sistema di riferimento e quindi ciò che potremmo anche assumere come apparente è la realtà che misuriamo e osserviamo.

Seguendo il consiglio di Alvy, cercherò di scovare qualche applicazione pratica che aiuti nel passare da idee astratte a fatti concreti. Lo farò rileggendo attentamente ciò che ho scritto, cercando di evidenziare i punti che necessitano di un'ulteriore analisi. La stessa cosa dovreste farla voi, rileggendo attentamente ciò che è stato scritto, capitolo per capitolo, e comunicandomi i punti che trovate particolarmente ostici o ambigui.

Insomma, una bella rilettura globale di tutto il circolo!

Possiamo usare questa "comunicazione" come luogo per inserire i problemi che sorgono, le domande, i dubbi. Mi serviranno per cercare di aggiungere o di estendere concetti e possibili confusioni e/o fraintendimenti.

La relatività speciale e il diagramma di Minkowski sono troppo belli e importanti per non digerirli al meglio!!!

Siamo o non siamo un circolo che lavora all'unisono? E allora nessun problema a fermarsi e a rivedere ciò che è stato fatto...

31 commenti

  1. Alvermag

    Permettetemi allora di aprire le danze.

    Ricordo che una delle cose che mi fece maggiormente penare fu il problema dell'(degli)osservatore(i).
    E' un tema che hai affrontato, Enzo, ma dandogli forse meno risalto del dovuto.
    Hai scritto che Einstein dedicò molte pagine a spiegare la necessità dei molti osservatori (nello stesso sistema!), segno che la questione non è banale, nè trascurabile.

    Faccio un esempio, di quelli che mi mandarono al manicomio.
    Ho un sistema di riferimento ed un osservatore che vede accendersi due lampadine. Quali sono le coordinate spazio-temporali dei due eventi? Se ho un solo osservatore devo dedurne che prenderà per buono l'istante in cui sarà colpito dalla radiazione; dunque, se si trova nella mezzeria dello spazio che separa le lampadine, gli eventi saranno simultanei; se si trova ad un'estremità i due eventi saranno temporalmente separati e così via. Devo allora dedurne che le coordinate dipendono dalla posizione dell'osservatore e quindi dall'osservatore che più mi piace?
    Oppure devo considerare infiniti osservatori, uno in ciascun punto della trama spazio-temporale del sistema, ciascuno dotato di metro campione ed orologio sincronizzato con tutti gli altri? In questo caso non si scappa!

    Altra questione da approfondire è l'APPARENZA delle contrazioni e delle dilatazioni: anche qui, non posso certo dire che tu non abbia affrontato il problema, ma per noi poveri dilettanti la questione appare molto strana. Certo, c'è la simmetria delle situazioni che fa capire l'apparenza dei fenomeni osservati ma, sai com'è, farle entrare in testa non è facile.

    Tornando alla questione degli esempi concreti, ribadisco che l'esperimento di Michelson-Morley (1887) è illuminante perchè, in fondo, è nato tutto da lì. Si capisce perchè la contrazione spaziale (e la conseguente dilatazione temporale) sia, per quanto controintuitiva, necessaria.
    Oltretutto introduce anche storicamente la RR, l'"eresia" dell'etere ed il conseguente distacco dalla fisica classica. Forse mai esperimento così fallimentare (nell'esito che si attendeva) fu così fecondo per le conseguenze che ebbe nella rivoluzione del nostro modo d'intendere le cose.

    Bene. L'approfondimento delle tematiche non farà male a nessuno.

  2. SuperMagoAlex

    Io purtroppo sono partito in ritardo e ho appena oltrepassato la metà, in pratica mi sto avviando verso la parte difficile.
    Ora però devo stamparmi tutto, visto che leggendo su monitor ho delle grosse difficoltà di concentrazione :(

  3. Alvermag

    Ciao SMA.

    Non ti lagnare, io sono fermo al 6° capitolo!

    Ne devo leggere altri 8! :roll: per tacere dei quiz che voglio approfondire per bene.

  4. Paolo

    Caro Enzo io vorrei provare a testare il mio livello di comprensione ed i miei limiti, usando il quiz che è apparso e poi scomparso dal sito. :roll:

    Una piccola premessa: tempo e spazio o meglio la loro misura non è assoluta, ma relativa, ossia ogni sistema di riferimento misura spazio e tempo con il proprio tempo proprio e le sua lunghezza propria, l'unica cosa che hanno in comune questi due sistemi di riferimenti è la costanza della velocità della luce.

    Quindi per chi rimane a terra (che per convenzione considero fermo) lo spazio da percorrere è di 160.000 anni luce.
    Per percorrere tale tragitto, secondo il suo tempo (Tempo proprio terrestre), la luce impiega 160.000 anni.
    Il terricolo ragionando con il suo sistema di misura del tempo, non può che giustamente ritenere impossibile raggiungere tale distanza in 60 anni, ossia impiegare meno tempo di quanto ci mette la luce. :roll:

    Il viaggiatore (in movimento a velocità relativistiche rispetto al sistema Terra), misura il tempo in modo diverso rispetto al terricolo, ossia il suo Tempo proprio non è lo stesso tempo proprio del terricolo.

    Se si considera un certo intervallo di tempo: ad un intervallo Δt (Tempo terrestre) corrisponde un intervallo Δto (tempo proprio del viaggiatore), secondo la relazione
    Δt = γ Δt0

    Nel quiz il viaggiatore aveva solo 60 anni del suo tempo (non certo di quello terrestre) per coprire la distanza di 160.000 anni luce (distanza, però, misurata dal sistema terrestre, non certo dal viaggiatore).

    Dato che S = vt, lo spazio percorso in un certo intervallo di tempo dal viaggiatore visto dal terricolo sarà uguale a:
    S= v Δt
    S= v γ Δt0
    Lo Spazio S può essere considerato come una lunghezza, per cui
    Lo = v γ Δt0

    Nel quiz, Lo corrisponde a 160.000 anni luce (spazio da percorrere misurato dal terricolo), mentre Δt0 corrisponde al Tempo proprio del viaggiatore, che ha a disposizione solo 60 anni (del suo tempo), ne segue che:
    160.000 = V γ 60
    Ricordando che γ = 1/(1- β^2)^1/2
    160.000/60 = V/(1- β^2)^1/2
    2.666,67 = V/(1- β^2)^1/2
    2.666,67 (1- β^2)^1/2 = V

    V però deve necessariamente essere minore della velocità della luce C, ed è legata ad essa dalla relazione:
    β = V/C
    quindi:
    V= β C
    2.666,67 (1- β^2)^1/2 = β C

    Nell'equazione il sistema di misura usato è in anni luce, per cui il valore di C è uguale ad 1 (in un anno compie 1 anno luce), per cui:
    2.666,67 (1- β^2)^1/2 = β (1)
    per trovare il valore di β che soddisfa l'equazione elevo entrambi al quadrato:
    2.666,67^2 (1- β^2) = β ^2
    2.666,67^2 - 2.666^2β^2 = β ^2
    2.666,67^2 = β ^2 + 2.666,67^2β^2
    2.666,67^2 = β ^2 ( 1+ 2.666,67^2)
    2.666,67^2/(1+ 2.666,67^2) = β ^2
    β = (2.666,67^2/(1+ 2.666,67^2) ) ^1/2 = (7.111.111/7.111.112)^1/2 = 0,99999992969

    Quindi il viaggiatore deve raggiungere quasi la velocità della luce ( 0,99999992969 C) per coprire la distanza in 60 anni del suo tempo proprio (misurato alla velocità di 0,99999992969 C).

    Per il terricolo il viaggiatore ha coperto tale distanza in ben altro tempo, ossia
    T= S/v = 160.000/ 0,99999992969 = 160.000, 011 anni

    Ovviamente la distanza misurata dal viaggiatore è ben diversa da quella misurata dal terricolo, ossia:
    L = Lo/γ
    L = Lo (1- β^2)^1/2
    L = 160.000 (1-0,99999992969^2)^1/2 = circa 60 anni luce

    Dato che lui viaggia quasi alla velocità della luce la sua distanza propria (Lo) è raggiungibile nel suo Tempo proprio (60 anni).

    E' corretto tale ragionamento ?

    Paolo

  5. Alvermag

    Prendo spunto dall'ultimo commento, quello di Paolo, per una riflessione, giusto in termini di fraintendimenti e confusione.

    Il tempo t' può essere ricavato, noti altri parametri, dalle due equazioni (che in effetti sono ... una sola!), che riporto:

    t' = t*√(1-β^2)
    t’ = (t–β*x)/ √(1-β^2)

    La domanda è: quando vale l'una e quando l'altra?

    La seconda ha validità generale, mentre la prima può essere impiegata solo in determinate condizioni. La prima equazione non è che un caso particolare della seconda e può essere derivata da quella, quando ne esistano le condizioni!
    Nel quiz ... scomparso si può usare la prima proprio perchè si verificano quelle condizioni.
    Credo che, a volte, usare le scorciatoie può essere pericoloso, almeno per dei dilettanti più o meno allo sbaraglio, tant'è che ho preferito transitare per la formula più generale che mi ha poi ricondotto a quella derivata.

    Penso dunque che si debba battere molto su questo aspetto, chiarendo quando può andar bene la prima formula.

  6. Paolo

    Caro Alvy, se non ho capito male, la prima formula si ricava dalla seconda, prendendo in considerazione due intervalli di tempo misurati con lo stesso orologio posto nel medesimo punto.

    Quindi se:
    Δt' = t2 – t1
    t1’ = (t1 – vx1/c^2)/(1 – v^2/c^2)^1/2
    t2’ = (t2 – vx2/c^2)/(1 – v^2/c^2)^1/2

    Δt' = ((t2 – vx2/c^2)/(1 – v^2/c^2)^1/2 - (t1 – vx1/c^2))/(1 – v^2/c^2)^1/2
    Δt' = ((t2 – vx2/c^2 ) - ( t1 – vx1/c^2))/(1 – v2/c2)1/2
    Δt' = (t2 – vx2/c^2 - t1 + vx1/c^2)/(1 – v^2/c^2)^1/2
    Δt' = (t2 - t1) - v/c^2 (x2- x1) )/(1 – v2/c2)^1/2

    Dato che (t2 - t1) non è altro che l'intervallo di tempo misurato dal sistema fermo, si può definire come Δt e dato che (x2- x1) non è altro che l'intervallo di spazio percorso misurato dal sistema fermo, esso non è altro che Δx, quindi:
    Δt' = Δt – (v Δx/ c^2) /(1 – v2/c2)^1/2

    Ma Δx necessariamente è uguale a v Δt (spazio percorso secondo il sistema fermo in un certo intervallo di tempo ad una certa velocità), per cui:
    Δt' = Δt – v (v Δt/ c^2) /(1 – v2/c2)1/2
    Δt' = Δt – Δt (v^2/ c^2)/(1 – v2/c2)1/2
    Δt' = Δt (1- v^2/ c^2)/(1 – v2/c2)1/2
    Δt' = Δt (1 – v2/c2)1/2

    Δt' non è altro che l'intervallo di tempo misurato dal sistema in movimento (intervallo di tempo proprio del sistema in movimento).

    Per ricavare il corrispondente intervallo di tempo prorpio del sistema fermo, basta usare la formuletta ricavata prima:
    Δt' = Δt (1 – v2/c2)1/2
    Δt = Δt'/(1 – v2/c2)1/2

    Se al posto di 1/(1 – v2/c2)1/2 si sostituisce γ
    le due formulette diventano:
    Δt' = Δt /γ
    Δt = Δt' γ

    Tale ragionamento è stato sviluppato, decisamente meglio da Enzo nel capitolo 10
    http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2015/02/24/la-relativita-speciale-disegnata-da-minkowski-10-ogni-sistema-misura-il-suo-tempo/

    Paolo

  7. Paolo

    Mannaggia, alla scrittura che non consente pedice ed apice, per cui v2 e c2 sono v e c elevate al quadrato, ma soprattutto, all'inzio
    Δt’ = t'2 – t'1
    e non certo a t2 -t1, che invece è Δt.

    Chiedo scusa. :oops:

    Paolo

  8. Alvermag

    Analiticamente, è sufficiente porre nella seconda formula:
    t’ = (t–β*x)/ √(1-β^2)

    la condizione: x =0

    da cui deriva la prima formula:
    t’ = t*√(1-β^2).

    Cosa vuol dire? Che nel sistema O la separazione spaziale tra i due eventi è nulla, quindi i due eventi avvengono nello stesso luogo.

    Immagina due eventi come l'accensione di altrettante lampadine in due punti qualsiasi dello spazio-tempo. Affermare che la loro separazione è nulla significa dire che l'osservatore si trova esattamente dove sta la prima lampadina quando si accende ed esattamente dove sta la seconda lampadina quando si accende: la separazione temporale tra i due eventi, misurati in un siffatto sistema di riferimento, si chiama TEMPO PROPRIO.

    Se ne deduce che la formula ... più semplice può essere impiegata SOLO quando uno dei due sistemi ha quella caratteristica. Utilizzarla sempre e comunque produce inevitabili errori.

    Non so se sono stato chiaro. :roll:
    Per l'approvazione attendiamo Enzone.

  9. Alvermag

    Scusa Paolo, ho fatto un pastrocchio invertendo due formule. Il concetto finale non cambia ma è sbagliato quello analitico.

    Dammi un attimo così rimetto a posto le cose.

  10. Alvermag

    Ecco qua. Ho deciso di riportare per intero il paragrafo che ho scritto per mio uso personale in relazione alla questione in essere.

    DILATAZIONE DEL TEMPO

    Consideriamo due eventi nel sistema O (coordinate x;t) costituiti, ad esempio, dall’accensione di due lampadine, C e D.

    I due eventi siano distanti spazialmente x e siano temporalmente separati da t, in modo tale che t=x/v (in unità normalizzate: t=x/β).

    Il sistema O’ (coordinate x’;t’) è in moto con velocità v rispetto ad O (nel senso delle x crescenti); l’inizio dei tempi è valutato nel momento in cui C e C’ coincidono.

    Dalla condizione t=x/β già fissata, si ricava che la seconda lampadina si accende, rispetto alla prima, con un ritardo t pari al tempo che impiega A’ a coprire la distanza x.
    In definitiva i due eventi risultano avvenire, per C’, nello stesso luogo (x’=0).

    Riscriviamo le equazioni delle trasformazioni di Lorentz, nelle unità di misura normalizzate:

    x’ = (x–β*t)/ √(1-β^2) [1]
    t’ = (t–β*x)/ √(1-β^2) [2]

    Se poniamo nella [1] la condizione: x=β*t, otteniamo che:

    x’ = 0

    I due eventi accadono quindi, come già scritto, nello stesso luogo per O’.

    Se ora poniamo nella [2] la condizione: x=β*t, otteniamo la formula

    t’ = t*√(1-β^2)

    che regola il legame tra gli intervalli temporali misurati da osservatori in moto relativo, nel caso in cui per uno di essi i due eventi avvengano entrambi nel luogo in cui transita.

    E’ definito TEMPO PROPRIO la durata minima dell'intervallo di tempo misurata da un orologio solidale con gli eventi.

    Per completezza riporto anche l'altro paragrafo (il simmetrico).

    CONTRAZIONE DELLO SPAZIO

    Consideriamo due eventi nel sistema O (coordinate x;t) costituiti, ad esempio, dall’accensione di due lampadine A e B.
    I due eventi siano distanti spazialmente x e siano simultanei, avvengano cioè entrambi all’istante t=0 misurato da due orologi sincronizzati posti nei luoghi degli eventi, A e B.
    I due eventi potrebbero rappresentare gli estremi del metro campione di O, essendo quindi x la lunghezza del metro stesso.
    Immaginiamo due osservatori nel sistema O, uno posto in A e l’altro in B. I due orologi, preventivamente sincronizzati, segneranno la stessa ora: i due eventi sono effettivamente simultanei per questi due osservatori solidali al sistema O.
    Il sistema O’ (coordinate x’;t’) è in moto con velocità v rispetto ad O (nel senso delle x crescenti); l’inizio dei tempi è valutato nel momento in cui A e A’ coincidono.
    A’ e B’ sono due osservatori, solidali al sistema O’, con A’ coincidente con A nell’istante iniziale in cui il suo orologio segna la stessa ora di quello di A.
    I due osservatori A’ e B’ osserveranno, a differenza di A e B, i due eventi avvenire in istanti diversi.

    Riscriviamo le equazioni delle trasformazioni di Lorentz, nelle unità di misura normalizzate:

    x’ = (x–β*t)/ √(1-β^2) [1]
    t’ = (t–β*x)/ √(1-β^2) [2]

    Se poniamo nella [1] la condizione: t=0, otteniamo la formula

    x = x’*√(1-β^2)

    che regola il legame tra gli intervalli spaziali misurati da osservatori in moto relativo, nel caso in cui per uno di essi i due eventi siano simultanei.

    E’ definita LUNGHEZZA PROPRIA la lunghezza massima del corpo, cioè quella misurata nel sistema in cui il corpo stesso è in quiete.

    Spero che sia chiaro, Enzone permettendo.

  11. Paolo

    Riguardando meglio le due formule indicate da Alvy:
    La prima si riferisce al confronto tra intervalli di tempo, per cui a mio avviso è meglio scriverla come
    Δt' = Δt (1 – β ^2)^1/2

    La sconda considera il tempo come T =tc, per cui si può trattare come una misura di “spazio” (S=ct), anch'essa si ricava da quella più generale:
    t’ = (t – vx/c^2)/(1 – v^2/c^2)^1/2
    dato che v/c = β
    t’ = (t – βx/c)/(1 – β2)^1/2
    se considero il tempo con T=tc e quindi anche T' = t'c
    basta moltiplicare entrambi per c
    t’c = c (t – βx/c)/(1 – β2)^1/2
    t’c = tc – βx/(1 – β2)^1/2
    T' = T -βx/(1 – β2)^1/2
    Quindi nella seconda formula preferisco indicare il tempo (tc) con la T maiuscola:

    Non sono però riuscito a capire il tuo ultimo intervento (il limite è mio :oops: ) per cui devo ragionarci sopra...

    Un ultima cosa la formula Δt' = Δt (1 – β ^2)^1/2 confronta due intervalli di tempo.... in caso di più orologi sincronizzati tra loro, non dovrebbe mutare il risultato.

    Giusto per fare un esempio se ho capito il concetto di sincronizzazione, nel quiz usato, un ipotetico orologio posto a 160.000 anni luce (purché sia fermo rispetto alla Terra), per essere sincronizzato con quello terrestre, dovrebbe considerare proprio lo scarto temporale dovuto ai 160.000 anni che impiega la luce per raggiungerci.

    In tal caso anche tale orologio dovrebbe segnare che il viaggiatore ha impiegato 160.000, 011 anni per compiere l'intero tragitto, oppure no?

    Paolo

  12. Alvermag

    Credo, Paolo, che questa sia proprio una delle faccende che crea confusione come ho indicato nel primo intervento della serie.

    Un sistema di riferimento è tale se in ogni suo punto c'è un orologio ed un metro campione. Tutti gli orologi sono sincronizzati ed i metri tarati alla stesso modo. I metri e gli orologi saranno sempre solidali a tale sistema quale che sia la sua velocità, ovviamente costante.
    Se, nel sistema terrestre a noi solidale poni un orologio a 160.000 a/l dalla Terra, questo orologio segnerà l'ora indicata da quello terrestre.
    Quello che puoi dire è che al termine del tuo viaggio relativistico con β=0,99999993
    l'orologio che troverai sul lontano pianeta segnerà un tempo pari a 160.000, 012 anni, perchè tanto è durato il tuo viaggio se misurato nel sistema terrestre.
    Quando l'orologio terrestre segna l'ora 10 anche l'orologio lontano segna l'ora 10: proprio in questo consiste la sincronizzazione, da cui discende la necessità degli infiniti osservatori.

    L'utilizzo di delta (sia per gli spazi che per i tempi) è senz'altro da preferire, sempre per una questione di chiarezza.
    I miei t ed x sono chiaramente riferiti ad intervalli, ma il tuo papproccio è senz'altro preferibile.

    La RR è così: ti sembra di aver capito tutto e poi ... cominci ad avere dubbi amletici. Io ci ho passato gli anni e non posso certo dire di aver tutto chiaro!
    D'altra parte non mi chiamo Alberto! :wink:

  13. Paolo

    Scusa Alvy a mio avviso c'è qualcosa che non va nella condizione che hai posto.
    Ossia t= x/v non è la stessa cosa di dire T =x/v
    Ossia, tu hai posto come condizione:
    tc= x/ β
    per cui
    x c/v= x/β
    x 1/β= x/β
    Solo ponendo β= 1, ossia se la velocità è uguale a quella della luce puoi ottenere la condizione che hai posto.

    Paolo

  14. Alvermag

    No Paolo, scusami ma non ho capito cosa rappresenta T e perchè dovrebbe essere uguale a c*t.

    Ho l'impressione che con questa storia che lo spazio è come il tempo e viceversa si faccia confusione. Io terrei separate le cose, almeno nei calcoli.

    Per me t è un intervallo temporale misurato nel sistema O.
    Non mi servono altri tempi ... :roll:

    Aspettiamo Enzone.

  15. cari amici,
    abbiate pazienza, ma oggi e domani sono giornate terribili (oggi: 10 ore in ospedale per la prima parte della scintigrafia; domani solo 3-4).
    In ogni modo, come già detto preferirei evitare di entrare nei dettagli e ricominciare con calma approfondendo vari punti, tra cui il primo di Alvy. Esso, in pratica ci dice che Terra e galassia formano il sistema FERMO, di riferimento, per cui gli orologi sono sincronizzati, ma in QUEL sistema e restano DUE (uno sulla Terra e uno sulla galassia).
    Un altro punto da ricordare è che per noi l'astronave viaggia a una certa velocità, ma per l'astronauta essa è ferma nello spazio! Il suo orologio gira e fa quello che deve fare, ma lui non pensa proprio di NON percorrere spazio... Infatti percorre l'asse delle T'... (definito da x' = 0). Per lui il tempo passa normalmente e se ne sta fermo al posto di comando, tale e quale alla relatività galileiana. Non è lui che raggiunge la stella, ma è la stella (sistema in movimento) che raggiunge lui! E' lo stesso problema dei muoni... Il legame tra tempo del sistema Terra e tempo dell'orologio dipende da chi osserva. Per uno rallenta l'altro orologio e.... viceversa.

    Comunque, vi prego di farmi iniziare a spiegare le parti più ostiche con calma e poi dimostrare come il diagramma semplifichi e non complichi le cose. Un modo sarà quello del paradosso dei gemelli... ma ne proveremo altri. Se proprio vuole Alvy potremo anche spiegare l'esperimento MM, anche se non penso che non aiuti molto a sintetizzare la visione puramente geometrica e non euclidea necessaria per Minkowski.

    Abbiate pazienza e indicatemi i punti più critici e cominciamo a svilupparli meglio tutti assieme... sempre che riesca a renderli più facili... :roll:

  16. Alvermag

    Caro Paolo, credo che la confusione nasca dalla normalizzazione delle equazioni generali.

    Allora è forse meglio riferirsi alla versione originale:

    x’ = (x-v*t)/√(1-β^2)
    t’ = (t-x*v/c^2)/√(1-β^2)

    La condizione ... incriminata è: x = v*t . Se sostituiamo nella prima otteniamo:

    x' = (v*t-v*t)/√(1-β^2) da cui: x' = 0.

    Inoltre, se poniamo la stessa condizione (x = v*t) nella seconda, otteniamo:

    t’ = (t-x*v/c^2)/√(1-β^2)
    ovvero:
    t' = (t-t*v^2/c^2)/√(1-β^2)

    e quindi:
    t' = t*√(1-β^2)

    Concludendo, l'applicazione della formula semplificata presuppone la condizione x=v*t.

    Fin qui abbiamo usato le espressioni "canoniche"; le distanze si possono esprimere in cm, m, km ed i tempi in s, minuti, secoli, come vuoi (sempre in ottemperanza al sistema di misura scelto!).

    Normalizzare le equazioni vuol dire che c=1, le distanze vanno espresse in unità di tempo-luce (ad esempio anni-luce) ed i tempi in ... tempi (anni, se le distanze sono in ANNI-luce).

    β è pari a v/c ma normalizzando le equazioni è come se c sparisse.
    In pratica la v diventa β, nel senso che v è espressa in frazioni di unità. La velocità della luce non la devi più considerare.

    Comunque se ti servi delle equazioni NON normalizzate non c'è rischio di far confusione.

    Non so se è chiaro quello che ho scritto, non vorrei confonderti le idee.

    Riporto anche il paragrafo che ho dedicato alla normalizzazione, spero ti aiuti.

    UNITA’ DI MISURA NORMALIZZATE

    Si esprima la distanza in TEMPO-LUCE, unità normalizzata rispetto alla velocità della luce: anno-luce, mese-luce, secondo-luce, ecc.
    Il tempo si esprima in unità congruenti con quelle sopra riportate; rispettivamente: anno, mese, secondo, ecc.
    La velocità della luce si esprimerà in unità congruenti con quelle di TEMPO-LUCE: anno-luce/anno, mese-luce/mese, secondo-luce/secondo, ecc.
    Il valore numerico della velocità della luce sarà dunque sempre pari a 1.
    La velocità v di moto di un sistema rispetto all’altro (v<c) sarà quindi espressa come frazione della velocità della luce, equiparandosi, di fatto, al fattore β.
    Riscriviamo dunque le formule della RR alla luce della novità:
    x’ = (x–β*t)/ √(1-β^2)
    t’ = (t–β*x)/ √(1-β^2)

    Esempio e confronto
    in unità canoniche:
    t = 10 s
    x = 300.000 km
    v = 150.000 km/s
    x’ = (300.000-150.000*10)/ √(1-0,5^2) = - 1.385.640 km
    t’ = (10-300.000*150.000/300.000^2)/√(1-0,5^2) = + 10,97 s

    in unità normalizzate:
    t = 10 s
    x = 1 secondo-luce
    v = 0,5
    x’ = (1-0,5*10)/√(1-0,5^2) = - 4,619 s/l
    t’ = (10-0,5*1)/√(1-0,5^2) = + 10,97 s

    Accidenti, piano piano sto pubblicando il mio vademecum che Enzo non voleva neanche vedere! 8-O
    Speriamo che non legga i miei sproloqui .... :roll:

  17. Simone Lotti

    Ho letto un po’ velocemente i commenti di sopra, ma provo a dare delle risposte per come l’ho capita io (ovviamente sperando di aver capito bene, il che è tutto dire).

    Per Alvy, secondo me le due espressioni:
    t’ = t*√(1-β^2)
    t’ = (t – vx/c2)/(1 – v2/c2)1/2 che non è esattamente quella che hai scritto tu (o forse non è questa che intendevi)

    sono due cose totalmente diverse, anche se la prima è ricavata giustamente dalla seconda.

    La prima mette in relazione l’intervallo di tempo (che è un delta e non un t semplice, sono cose diverse) misurato nel sistema fermo con due orologi, con l’intervallo di tempo misurato con un solo orologio nel sistema in movimento visto da quello fermo.

    In pratica è uno scorrere del tempo, se per me passa 1 ora per lui in movimento, visto da me, passa 50 minuti.

    La seconda invece ci dà un tempo istantaneo, ovvero ci dice cosa segna il suo orologio quando il mio segna un certo tot.

    Ad esempio nell’istante che il mio orologio segna le 2, il suo segna le 3 o altro.

    Ovviamente lo sfasamento dipende dalla velocità e dalla sua posizione rispetto a me, ma su questo ci tornerò più tardi se ho tempo.

    Quando il mio orologio segna zero , e lui coincide con me (X=0) anche il suo orologio segna zero(mi sembra dalla formula).

    Per Paolo, hai ottenuto lo stesso risultato che ho trovato io nel risolvere il quiz, quindi o abbiamo fatto giusto entrambi o abbiamo sbagliato entrambi.

    Però secondo me non è questo che intende Enzo.

    Purtroppo ha cancellato il quiz troppo velocemente e non ho fatto in tempo a leggere i commenti.
    Lui quando diceva 160000 anni luce non intendeva la distanza ma il tempo misurato dai terrestri espresso come una lunghezza (in metri, ovvero è il T maiuscolo).
    In pratica equivale al tempo che impiega la luce a percorrere 160000 anni luce di spazio ovvero 160000 anni.
    Quindi si ha il tempo misurato dal terrestre, il tempo proprio di 60 anni dell’astronauta e usando:
    Δt = γ ΔtP si ricava la velocità.
    Ovviamente si puo' calcolare anche gli spazi misurati nei due sistemi.

    Spero di essere stato chiaro, fermo restando di aver capito bene.

    Adesso provo a buttare giù due righe sui dubbi che ho io.

  18. Alvermag

    Mah, caro Simone, l'equazione che hai scritto:
    t’ = (t – vx/c2)/(1 – v2/c2)1/2
    è uguale a quella che ho scritto io:
    t’ = (t-x*v/c^2)/√(1-β^2)
    Perchè scrivi che è diversa?

    Nelle equazioni della RR si parla sempre e soltanto di intervalli di tempo, non di istanti.
    Che l'omissione del delta possa creare qualche fraintendimento può essere vero, ma la sostanza rimane la stessa.
    t (o, se preferite, Δt) è l'intervallo temporale che intercorre tra due eventi in un dato sistema di riferimento.
    t' (o, se preferite, Δt') è l'intervallo temporale che intercorre tra i due stessi eventi in un altro sistema di riferimento, in moto rispetto al primo.

    Rimango dell'idea che se la galassia dista da me 160.000 a/l io la considero distante 160.000 a/l e non voglio sapere altro.
    Concordo sul fatto che Enzo intendesse parlare di tempo ma così si fa confusione: io mi tengo la mia distanza che quella è e quella rimane!
    In un altro sistema una parte di quella distanza si trasformerà in tempo e viceversa, e questo mi sembra sia il vero nocciolo della RR.

    La relatività del tempo e dello spazio si verifica passando sa un sistema ad un altro; nello stesso sistema il tempo e lo spazio sono assoluti. Se poi ci vogliamo divertire a "mischiare" le unità di misura va bene, ma attenti ai fraintendimenti!
    A me non sembra necessario!

  19. Simone Lotti

    Si caro Alvy, io mi riferivo a quando hai detto all'inizio :
    --------------------------------------------------------------------------
    t’ = t*√(1-β^2)
    t’ = (t–β*x)/ √(1-β^2)

    La domanda è: quando vale l’una e quando l’altra?
    -------------------------------------------------------------------------
    Non manca un quadrato nella seconda equazione?(x*v/c^2 invece di β*x)

    Comunque per me la prima tratta intervalli di tempo, la seconda tempi istantanei.
    t è diverso da Δt.
    Ma forse ho capito male io.
    Ciao

  20. Gianni bolzonella

    Per chi è interessato oggi è uscito un nuovo video di Eugene Khutoryansky su you tube in 3D: " gravity's affect on the flow of time in general relativity". Non è per iniziati come molti di voi,ma è bello e semplice.Saluti a tutti e belle notizie per Vincenzo.

  21. Simone Lotti

    Allora provo a porre i miei dubbi e, in particolare provo a spiegare come io interpreto la RR.

    Ovviamente sono considerazioni personali, e non certo quelle di un professore, quindi potrei dire solo delle cavolate (anzi sicuramente sì).

    Comunque anche capire di aver sbagliato è un posso avanti per la comprensione del problema e magari i miei punti di vista possono essere la partenza per maggiori approfondimenti.

    Occorre fare una premessa:
    - La RR è difficile da comprendere non tanto per i passaggi matematici, ma per il concetto in se.
    Purtroppo non siamo abituati a ragionare con tempi e spazi che si deformano, e il nostro cervello (almeno il mio) si rifiuta di accettare ciò che non fa parte della nostra vita quotidiana.
    Se a scuola avessero a suo tempo trattato il problema in giovane età, forse sarebbe stato più facile.

    Provo a spiegarmi.
    Secondo me il punto di base, attorno al quale ruota tutto è la simultaneità.

    La dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze ne sono solo le logiche conseguenze.

    Quando diciamo che la luce è partita da A e da B nello stesso istante per chi si muove, e invece per chi è fermo è partita in due tempi diversi, una prima e una dopo, cosa vuol dire in termini pratici?

    Secondo me se la luce parte quando gli orologi nel sistema in movimento segnano entrambi le 12, anche io che sono fermo devo vedere la stessa cosa (l’evento è lo stesso, non posso vedere un altro orario).
    Ma quando quello in A segna le 12 anche il mio orologio segna le 12 (ad esempio), ma quando quello in B segna le 12 il mio segna le 2, ovvero la luce da B parte dopo.

    Ovviamente per chi si muove vede gli orologi segnare le 12 nello stesso istante.
    Ma questo cosa vuol dire?

    Io vedo ciò che si muove in tempi diversi da punto a punto?

    Quello che io vedo in un colpo solo in realtà sono tanti tempi diversi di chi si muove in base alla posizione?

    In pratica se ci fosse un orologio davanti all’astronave e uno dietro, nello stesso istante vedo che segnano due valori diversi, ma non perché sono sballati o fuori sincronismo nel suo sistema, ma perché per fenomeno fisico io li vedo in due tempi diversi.

    Se ci fosse un treno con tanti vagoni, e in ognuno si proietta lo stesso film in modo sincronizzato, io da fermo vedo tanti filmati sfasati nel tempo.

    La funzione t’ = (t-x*v/c^2)/√(1-β^2) non dice proprio questo?

    Il tempo che segna un orologio in movimento dipende oltre che da delle costanti, da x ovvero la distanza da me.
    Quindi nello stesso mio istante (t) se vedo due orologi che si muovono posizionati in due punti diversi (x1 e x2) li vedo segnare due tempi diversi.
    Ovviamente questo non tiene conto del tempo che impiega la luce a giungere a me, che è una cosa a parte e da aggiungere.
    Io considero di vedere i due orologi come se la luce fosse istantanea.

    Ma allora posso pensare che lo spazio e il tempo sono profondamente dipendenti l’uno dall’altro, due facce della stessa moneta?
    Se cambia uno, cambia anche l’altro, e il tutto in funzione della velocità relativa tra i due sistemi di riferimento.

    Ma adesso posso dire che se non posso osservare gli estremi di un righello simultaneamente allora ne vedrò una lunghezza diversa (dato che comunque si muove)?
    Quindi si deduce che il righello non si è ristretto ma ci appare a noi più corto come se fosse un effetto ottico, anzi come un effetto temporale.
    Questo è molto importante, perché toglie molti dubbi e incertezze... ovviamente se fosse corretta la mia analisi.
    E il tempo? ... uguale, se per me passa 1 ora anche per uno in movimento passa 1 ora, il suo tempo non rallenta, ma noi vediamo che il suo orologio avanza di 1 ora quando il mio avanza di 1 ora?
    Io dico di no, perché nel frattempo si è spostato (ha cambiato x) e quindi io lo vedo con un tempo sfasato, cioè all’incremento di 1 ora devo togliere la mancanza di sincronismo dei tempi nei due punti dello spazio.
    In pratica l’effetto è che per me rallenta, ma non perché lui rallenta, ma perché mentre si sposta io lo vedo sempre più in ritardo dovuto alla mancanza di simultaneità tra due punti diversi dello spazio (che non centra nulla sul fatto che più si allontana più la luce impiega tempo a giungere fino a me).

    E adesso provo a spararla grossa.

    Ma non si può pensare che qualcosa che si muove nello spazio in realtà si muove anche nel tempo rispetto all’osservatore fermo?

    Non nel senso che dopo tot di tempo si è spostato di tot spazio, ma perché è come se fosse passato tra un orologio e un altro successivo non sincronizzato con il precedente.

    Se il muone nel suo sistema percorre 1Km e alla fine arriva a terra che sono 10 Km, posso pensare che mentre percorre un Km in realtà si sta spostando anche tra orologi fissi al sistema terrestre che per lui sono fuori sincronismo, come se andasse avanti nel tempo (di quello terrestre, non il suo)e questo lo porta a fare il percorso reale che è 10 Km oltre a ritrovarsi più giovane?

    Spero di aver fatto capire quello che intendo, perché è difficile da spiegare con delle parole scritte.

    Ma... spero di aver toccato dei punti bollenti, anche se la mia interpretazione sicuramente è sbagliata o quantomeno superficiale e incompleta.

    Spero che si possa far luce su questi aspetti oscuri.

    Ovviamente ho altri paradossi o punti di vista particolari, ma adesso aspetto per capire se sono sulla strada corretta.

  22. Paolo

    Scusa Alvy, ma non sono d'accordo. :roll:

    A mio avviso la confusione nasce tra intervalli di tempo e tempo istantaneo (quella che definisci normalizzazione l'ho usata anch'io, ossia V intesa come frazione di C =1, ossia β ).

    Inizialmente sei partito dalla relazione:
    T’ = T -βx/(1 – β2)^1/2
    ma T è proprio tc e non t, come descritto nel capitolo 9
    http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2015/02/17/la-relativita-speciale-disegnata-da-minkowski-9-definiamo-lo-spaziotempo/

    Poi hai utilizzato la trasformazione iniziale di Lorentz, ossia per x':
    x’ = (x-vt)/(1-β^2)^1/2

    ma x non è un intervallo di spazio, ma una coordinata spaziale sull'asse x di un evento, per cui x non è uguale a vt, ma Δx= vt

    Mi sembra quindi che la confusione nasca da qui.

    D'altronde assumendo invece che x=vt, la trasformazione di Lorentz fornirebbe sempre, qualunque sia la velocità v che x' sia uguale a zero...... ossia la lunghezza (o se preferisci la distanza "spaziale" tra due eventi), qualunque sia la velocità del sistema in movimento, per x' è sempre nulla (cosa a mio avviso in contrasto con la contrazione delle lunghezze che guarda caso dipende dalla velocità, dato che prende in considerazione un intervallo di spazio e non una singola coordinata spaziale).

    Comunque, attendo lumi da Enzo, nel rispetto dei suoi tempi che in questo periodo come più volte ha evidenziato sono risicati.

    Paolo

  23. Paolo

    Scusa Simone, vorrei capire meglio cosa intendi quando dici che per ricavare la velocità si deve partire da:
    Δt = γ ΔtP

    Questa è la stessa relazione che ho usato per ricavare la velocità, solo che è scritta in una forma diversa, ossia.
    Δt’ = Δt (1 – β ^2)^1/2
    Δt = Δt’ 1/(1 – β ^2)^1/2

    Δt’ non è altro che ΔtP, ossia il tempo proprio del sistema in movimento.
    1/(1 – β ^2)^1/2 non è altro che γ
    Quindi:
    Δt = γ ΔtP

    Magari mi sfugge qualcosa e se è così ti ringrazio anticipatamente se me lo fai notare.

    Paolo

  24. Simone Lotti

    Per paolo...ho letto un po' velocemente...
    Io intedo dire che i 160000 anni luce non sono lo spazio ma il T espresso in metri.
    In pratica quando dici che:
    Lo corrisponde a 160.000 anni luce (spazio da percorrere misurato dal terricolo), per me Enzo non intendeva lo spazio ma il tempo.
    Quindi usando solo:
    Δt’ = Δt (1 – β ^2)^1/2
    dove Δt’ è 60 e Δt 160000 trovo β

    Se non sono stato chiaro chiedimi ancora chiarimenti, forse ho interpretato male io

  25. Simone Lotti

    Correzione per Alvy... nel passaggio seguente
    ————————————————————————–
    t’ = t*√(1-β^2)
    t’ = (t–β*x)/ √(1-β^2)

    La domanda è: quando vale l’una e quando l’altra?
    ————————————————————————-
    Ho capito male io, tu intendevi il t come T, tempo misurato in metri.
    Comunque non cambia la sostanza del discorso.
    Nel primo caso sono intervalli di T, nel secondo T istantanei

  26. foscoul

    Gentili Simone Alvy ho trovato un lavoro che mi sembra utile a dipanare dubbi sulle formule corrette atte a per validare i vari postulati della relatività speciale spero possa esservi d'aiuto oltre a voi che già masticate bene la materia anche ad altri che vogliono cercare di capire.
    http://www.mat.unimi.it/users/carati/didattica/dispense/relativita.pdf
    Chiedo scusa ad Enzo se pubblico questo lavoro ma lo ritenevo utile da leggere e da tenere nei contributi.
    Attendo l'intervento di Vincenzo per chiarimenti riguardo al quiz che francamente non ho inteso.

  27. Alvermag

    Allora Paolo, vediamo un poco.

    Quando si scrive x in realtà s'intende Δx. Cosa voglio dire?
    x è la distanza del punto-evento dall'origine del sistema e, come tale, rappresenta la distanza tra due punti-evento.
    La x devi pur riferirla a qualcosa altrimenti non ha senso.

    Dare le coordinate di un generico punto nel normale diagramma cartesiano (x;y) significa indicare le distanze del punto dall'origine.

    Nell'equazione "canonica" della RR:
    x’ = (x-vt)/(1-β^2)^1/2

    x (ed x') sono entrabe una distanza. Per semplicità si fa l'ipotesi che i punti iniziali coincidano con le origini dei due sistemi, ma nulla vieta che i punti iniziali abbiano valori diversi da 0 (direi anzi che in una situazione reale questa potrebbe essere la norma quando si prendano origini stabilite una volta per tutte) ; in questo caso balza all'evidenza la natura di x ed x'.

    -----------------------------------------------

    Fissare la condizione: x=v*t (nell'equazione canonica), essendo x la distanza spaziale stabilita nel sistema O, significa dire che il sistema O' (considerato da O in moto con velocità v) incrocia l'evento 1 e, dopo un certo tempo (pari a t per O) l'evento 2.
    Si tratta quindi di un sistema un pò "speciale", l'unico cioè che abbia quella prerogativa, l'unico a muoversi proprio con quella velocità v atta a garantire il "doppio incrocio". La condizione derivata x'=0 significa proprio questo.

    A te sembra che l'equazione x’ = (x-vt)/(1-β^2)^1/2 dia sempre x'=0 per qualsiasi valore di v.
    Questo è vero, ma ATTENZIONE, perchè x, v e t sono legati. Se cambi v devi cambiare anche x e t in modo congruente. In definitiva sarà sempre vero che x'=0 in tutti e soli quegli infiniti sistemi (infiniti valori di v, da cui il tuo dubbio) in cui è garantito questo legame tra v, x e t.
    Non è facile spiegarsi, spero di essere riuscito a farlo.

    ------------------------------------------------------

    Riguardo all'introduzione di T=c*t confesso di non essere ancora giunto a leggere gli articoli in cui Enzo introduce questo nuovo parametro, quindi è meglio che non mi esponga.
    Diciamo che, per il momento, mi fido delle trasformazioni di Lorentz originali che, d'altra parte garantiscono il risultato, avendo validità generale.
    Nel quiz rimosso non avevo capito la sottigliezza di Enzo (distanza come tempo) che probabilmente discende dall'introduzione di T ed ho seguito la mia .. logica basandomi sulle trasformazioni originali.
    Il risultato è saltato fuori comunque.

    -----------------------------------------------------------

    In quanto alla normalizzazione delle equazioni originali credo si debba fare un salto .. logico, nel senso che le unità di tempo-luce sono strane ma necessarie per affrontare Minkowski. Può darsi che io mi sia fatto un'idea errata della loro interpretazione e per questo, attendo lumi.

    Bene, sembra che questa pausa di riflessione abbia un senso per tutti ......

  28. Alvermag

    Per chiudere la questione dei valori istantanei e degli intervalli, credo che noi, nella nostra vita, misuriamo sempre e comunque degli intervalli (di tempo come di spazio) e, allargando gli orizzonti, sempre e comunque potenze anzichè energie (la potenza è l'energia spesa o assunta nell'unità di tempo).

    Quando parliamo dell'energia elettrica consumata nelle nostre case parliamo di kWh (bruttissima unità di misura adattata agli ... scopi economici) che è effettivamente una u.m. dell'energia; poi però si deve specificare che quell'energia è stata consumata in un determinato intervallo di tempo e quindi si torna ad una .. potenza!
    Per l'energia emanata dal Sole vale la stessa regola: dire che il Sole emana 1 J di energia va bene, ma va bene anche dire che ne emana 10, 100, 1.000. Il punto è: in quanto tempo?

    Dire che in questo momento sono le ore 9,30 ha senso solo perchè riferiamo l'ora ad una determinata posizione del Sole (agli antipodi rispetto alla nostra posizione); misuriamo cioè un intervallo temporale (oltretutto convenzionale).
    Se però abitassimo in un pianeta orbitante intorno a Sirio che, come si sa, è stella doppia? Qualcuno (i rompiscatole non mancano mai) potrebbe decidere che l'ora va riferita alla posizione di Sirio B e non di Sirio A! E allora?

  29. Alvermag

    Questo commento, pur riguardando tutti gli interessati, è principalmente volto ad Enzo.

    L'argomento è la normalizzazione delle trasformazioni di Lorentz, secondo il mio punto di vista.
    Perdonate il tono del commento, non sto pontificando; mi serve per dare forza alle argomentazioni che ho "digerito" in un certo modo ritenendo (forse a torto) di essere nel giusto.

    Bene.
    Chiariamo subito che (per quello che ho capito) le trasformazioni di Lorentz originali hanno valore asoluto, nel senso che vanno bene per tutte le stagioni. Infilandoci dentro i valori giusti (eventi simultanei, non simultanei, isolocali o meno, gialli, verdi e blu) si ottengono i giusti risultati. La RR è tutta qui, arrivederci e grazie.

    Poi salta su un tal Minkowski il quale dice: "si, si, per carità, ottimo lavoro, ma come lo rappresentiamo in un diagramma?"
    Per farlo introduciamo delle strane unità di misura, "normalizzate" rispetto alla velocità della luce.

    Visto che c è costante in qualunque sistema di riferimento, che ne dite di porla pari ad 1 anzichè tirarci dietro lo scomodissimo 300.000 km/s?
    Perchè no, ma che succede?
    "Bene", dice Minkowski "dal momento che c è pur sempre una velocità devo escogitare un'unità di misura adatta .... mumble ... mumble .... eureka! La nuova velocità della luce sarà pari al rapporto di:
    - una distanza espressa in tempo-luce, cioè pari al tempo impiegato dalla luce a percorrerla.
    - un tempo espresso nella stessa unità di misura del tempo impiegato per definire la distanza".

    Mamma mia che groviglio!

    "Beh no" dice lui "se esprimo la velocità in anni-luce/anno il risultato vale 1. Se esprimo la velocità in secondi-luce/secondo il risultato vale sempre 1 e così via. Geniale no?".

    Un paio di ... sfere! Come la metti con le distanze ed i tempi che compaiono nelle trasformazuoni di Lorentz?
    "Ma, amico mio, le unità di misura di distanze e tempi le ho già indicate"

    mmm, è' vero. E la velocità v?

    "Beh, effettivamente, qui la cosa va chiarita per bene. E' chiaro che v sarà sempre minore di 1. Utilizzando le stesse unità di misura normalizzate esprimerò v in anni-luce/anno oppure in secondi-luce/secondo, con la differenza che il valore sarà minore di 1.
    La velocità della luce sembra non esserci più, in realtà è nascosta nel modo in cui valuto la velocità v".

    Quindi, caro Minkowski, hai ottenuto un sistema di grandezze fisiche, ciascuna individuata da una sua unità di misura normalizzata. E' come aver creato un nuovo sistema di unità di misure, dopo il CGS, l'MKS, il SI, abbiamo quello normalizzato.

    "E bravo il mio amico. Le grandezze non sono più legate (apparentemente) alla velocità della luce ma vivono di vita propria. Le formule di Lorentz variano di conseguenza ma, in fondo, non è cambiato nulla a parte il fatto che ora possiamo disegnare quello che avviene. Ti pare poco?"

    Non mi pare poco, me pari matto!!!! 8-O

    Ecco Enzo, questo è ciò che ho capito.

  30. Per favore... avevo chiesto di porre domande precise e dubbi su ciò che ho scritto finora... Sollevando problemi in modo caotico e proponendo nuovi siti web temo che si faccia solo confusione...

    Sono disposto a rivedere e a spiegare meglio tutto quanto ho scritto, ma andando con ordine e indicandomi i punti più ostici...

    Invito tutti a leggere prima TUTTI i capitoli e poi passare alle domande... :-|

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