28/09/15

31. Cubiche complete numeriche ***

Con questo articolo concludiamo il discorso sui flessi e sulle cubiche, lavorando sulla loro forma completa. Non si deve, però, solo leggere ma anche … agire direttamente.

Le cose si possono complicare ancora un po’. Siate forti e non desistete proprio adesso che viene il bello. Finora, nella nostra cubica, abbiamo escluso o il termine in x2, ossia quello che ha coefficiente b, o quello in x (coefficiente c). E’ ora di introdurli tutti e due e studiare la cubica completa (o quasi).

Consideriamo nuovamente i due casi, quello con soluzioni reali dell’equazione che annulla la derivata prima e quella con soluzioni immaginarie. La relazione che ci permette di scegliere i coefficienti adatti è (se necessario, andate a rivedere gli articoli precedenti...):

b2 – 3ac      …. (1)

Se questa è maggiore di zero abbiamo due soluzioni reali; se è minore di zero, non abbiamo soluzioni reali; se è uguale a zero ne abbiamo due coincidenti. Dovremmo già sapere bene che tipo di curve otterremo nei vari casi, ma non fa certo male fare nuovamente degli esempi pratici.

Affinché la relazione precedente sia maggiore di zero deve essere:

b2 – 3ac > 0

b2 > 3ac

Poniamo ad esempio a = 1

Otteniamo

b2 > 3c

o anche

c < b2/3

Poco importa il segno di b, dato che la relazione impone solo che c sia minore del quadrato di b (sempre positivo) diviso per tre.

Poniamo allora b = 3 e otteniamo:

c < 9/3 = 3

Possiamo quindi scegliere per c qualsiasi valore minore di 3, ad esempio 2.

Abbiamo, perciò

a = 1

b = 3

c = 2

Il termine noto d può essere scelto a piacere, dato che NON compare nella derivata prima. Possiamo, perciò, sceglierlo uguale a zero (semplifichiamo un po’ la faccenda). Non è difficile capire, però, cosa succederebbe se non fosse uguale a zero. Le ascisse che individuano i punti particolari (quelli che annullano la derivata prima e non solo) restano immutati. Ciò che cambia è solo la y corrispondente, che viene spostata verso l’alto o verso il basso a seconda del segno di d. Conclusione, questa, che abbiamo già discusso precedentemente.

Controlliamo di aver fatto le operazioni giuste, riscrivendo la relazione (1) e vediamo se è veramente maggiore di zero

b2 – 3ac

32 – 3·1·2 = 9 - 6 = 3 > 0

Perfetto!

Possiamo, allora scrivere la nostra funzione di terzo grado (quasi) completa:

y = x3 + 3x2 + 2x        

y’ = 3x2 + 6x + 2 = 0        …. (2)

Utilizziamo prima la soluzione generalizzata letterale

x1 = (- b - (b2 – 3ac)1/2)/3a = ( - 3 – (9 – 6)1/2)/3 = (- 3 + √3)/3 = (- 3 – 3/√3)/3 = - 1 – 1/√3

x2 = (- b + (b2 – 3ac)1/2)/3a = (- 3 + (9 – 6)1/2)/3 = (- 3 + √3)/3 = (- 3 + 3/√3)/3 = - 1 + 1/√3

Avremmo, ovviamente, potuto risolvere direttamente l’equazione (2) (come si farebbe nel caso di una funzione qualsiasi).

x1,2 = (- 6 +/- ( 36 –24)1/2)/12 =  (- 6 +/- 2 √3)/12 =  (- 3 +/- √3)/3 =  (- 3 +/- 3/√3)/3 = - 1 +/– 1/√3

Riflettete bene su come abbiamo agito: è un ottimo esercizio di calcolo letterale e numerico.

Notate che per eseguire il penultimo passaggio  ho moltiplicato e diviso √3 per √3/√3

Beh… lascio a voi il calcolo delle y1 e y2 corrispondenti. Vi do, però, un consiglio… ponete  t = 1/√3, in modo da portarvi dietro l’espressione  (-1 +/- t), su cui eseguire il cubo e il quadrato. Le cose si semplificheranno notevolmente e potrete subito vedere che le due y sono simmetriche rispetto all’asse x e che il risultato è esprimibile con un rapporto  in cui è presente ancora la radice di 3. Per fare esperienza, vi chiederei di non calcolare i valori numerici di x1 e x2 (ossia calcolare la radice di tre e poi dividere uno per lei e sommare o sottrarre ancora a uno), ma di lasciare le due ascisse sotto la forma scritta prima… E’, ovviamente, una richiesta  legata alla necessità di esercitarsi, dato che normalmente si potrebbe calcolare il valore numerico finale.

Passiamo alla derivata seconda:

y” = 6x + 6 = 0

Da cui

xF = - 6/6 = -1

che cade, ovviamente, a metà strada tra x1 e x2.

yF = (-1)3 + 3(-1)2 – 2 = -1 + 3 – 2 = 0

Il punto di flesso (obliquo, dato che la derivata prima in questo punto è diversa da zero) ha coordinate:

x= -1

yF = 0

La funzione è di terzo grado e quindi devono essere tre i punti che annullano la y.

Uno è il punto di flesso che abbiamo trovato. L’altro è sicuramente l’origine, dato che per x = 0 anche y = 0

Per trovare il terzo, basta che annulliamo la funzione, mettendo in evidenza la x

x (x2 + 3x+ 2) = 0

Una soluzione è ovviamente x = 0.

Le altre due si trovano annullando la parentesi tonda (equazione di secondo grado):

x1,2 [y = 0] = (- 3 +/- (9 – 8 )1/2)/2 = (- 3 +/- 1)/2

x1[y = 0] = (- 3 + 1)/2 = -1          il punto di flesso già trovato

x2[y = 0]  = (- 3 – 1)/2 = - 2

Le intersezioni con l'asse x sono sempre molto importanti per disegnare correttamente la curva finale.

Non ci resta, adesso, che scoprire qual è il massimo e qual’e il minimo tra (x1, y1) e (x2, y2)

La derivata seconda vale:

y” = 6x + 6

Per

x1 = - 1 – 1/√3

si ha:

6 (-1 – 1/√3) + 6 = - 6 + 6  - 6/√3 = - 6/√3 < 0

(x1,y1) è un punto di massimo

x2 = - 1 + 1/√3

6 (-1 + 1/√3) + 6 = - 6 + 6 + 6/√3 > 0

(x2,y2) è ovviamente un minimo

Il flesso, allora, deve essere ascendente dato che si passa da derivata seconda negativa a derivata seconda positiva.

Non ci resta che calcolare la tangente nel punto di flesso per un miglior disegno (e per conferma)

y’ = 3x2 + 6x + 2

m = y’(-1) = 3 · 1 - 6 + 2 = - 1

Questa soluzione si poteva ricavare immediatamente, ricordando quanto avevamo trovato precedentemente, ossia:

m = - b2/3a + c = - 9/3 + 2 = - 3 + 2 = - 1

y – 0 = - 1 (x + 1)

y = - x – 1

A questo punto, potete divertirvi a disegnare il grafico della funzione

Passiamo, adesso, a un caso completo in cui la derivata prima non abbia soluzioni reali. Lasciamo sempre d = 0.

L’espressione

b2 – 3ac

deve essere, adesso, minore di zero.

Poniamo, di nuovo, a = 1

Da cui:

b2 < 3c

Ossia:

c > b2/3

Scegliamo, nuovamente, b = 3

e abbiamo:

c > 3

Scegliamo c = 4 e la funzione diventa:

y = x3 +3x2 + 4x

Quando è  uguale a zero?

y = x(x2 + 3x + 4) = 0

Sicuramente, la curva taglia l’asse x in x = 0, y = 0.

Troviamo le soluzioni dell’equazione tra parentesi:

x2 + 3x + 4 = 0

x1,2 [y = 0] = (- 3 +/- (9 – 16)1/2)/2 = (- 3 +/- (-7)1/2)/2

Impossibile! Compare una radice quadrata di un numero negativo. L’unico punto in cui la curva taglia l’asse x è l’origine.

Potremo annullare la derivata prima, ma è inutile perché anch’essa, per come abbiamo scelto i coefficienti, non può avere soluzioni. Non ci resta che annullare la derivata seconda. Se essa ammette una soluzione, questa deve dare luogo a un punto di flesso obliquo dato che la derivata prima non si annulla mai.

y’ = 3x2 + 6x + 4

y” = 6x + 6 = 0

Da cui:

6x = - 6

xF = - 1

Sostituendo nella funzione di partenza, otteniamo

yF = (-1)3 +3(-1)2 + 4(-1) = -1 +3 – 4  = - 2

La derivata seconda è negativa prima del punto di flesso e poi diventa positiva. Il flesso è, quindi, ancora ascendente.

Troviamo la retta tangente nel punto di flesso:

m = y’(-1) = 3 – 6 + 4 = 1

oppure (ma è la stessa cosa):

m = - b2/3a + c = - 9/3 + 4 = - 3 + 4 = 1

y – (- 2) = 1(x + 1)

y + 2 = x + 1

y = x – 1

A questo punto potete passare a disegnare il grafico.

Per non farci mancare niente, facciamo anche il caso in cui esista una e una sola soluzione che annulla la derivata prima. Ciò vuol dire che:

b2 – 3ac  = 0

Poniamo, come sempre, a = 1 e b = 3. Ne segue subito che:

9 – 3c  = 0

c = 3

La funziona è allora:

y = x3 + 3x2 + 3x

Dove si annulla? Sicuramente per x = 0 (a cui corrisponde y = 0) e poi per:

x2 + 3x + 3 = 0

Ossia:

x = (- 3 +/- ( 9 – 12))/6

Nessuna soluzione reale.

Annulliamo la derivata prima che deve avere, ovviamente, una sola soluzione (provare per credere):

y’ = 3x2 + 6x + 3 = 0

x1= - b/3a  =  - 3/3 = - 1

E la y corrispondente vale:

y1= - 1 + 3·1 – 3 = - 1

Annulliamo la derivata seconda:

y” = 6x + 6 = 0

xF = - 1

e quindi anche

yF = - 1

Nel punto F(-1, -1) si annulla, perciò, sia la derivata prima che la seconda: abbiamo un punto di flesso orizzontale.

Per x < -1 la derivata seconda è negativa, per x > -1 la derivata seconda è positiva, per cui il flesso è ascendente.

Ovviamente, la tangente è una retta parallela all’asse delle x e vale.

y = - 1

Il grafico, come sempre, tocca a voi!

Rileggendo gli articoli precedenti non ci stupiremo di certo se abbiamo sempre trovato come ascissa del flesso (qualunque esso sia) il valore -1, dato che:

- b/3a = - 1  sempre.

Abbiamo fatti molti esempi e li abbiamo trattati a volte rifacendoci alle formule generali e a volte svolgendo i calcoli. Potremmo anche aver fatto un po’ di confusione, ma leggendo e rileggendo, facendo confronti e stabilendo uguaglianze sono sicuro che in questo modo l’essenza del procedimento diventi sempre meno legato a regole standard, memorizzate una volta per tutte. La matematica deve essere una continua conquista e non deve mai apparire un linguaggio monotono e ripetitivo: è sempre possibile scoprire un modo diverso per trovare lo stesso risultato.

Tra un po’ inserirò anche le figure per permettervi un confronto. Avendo eseguito i passaggi direttamente su word è facile che mi sia scappato qualche errore . Mi fido, comunque, di voi per “beccarli” subito! Chiedo scusa in anticipo.

Bene salutiamo i flessi e dirigiamoci verso gli asintoti, che parzialmente conosciamo già.

 

QUI il capitolo precedente

QUI il capitolo successivo

QUI l'intero corso di matematica

5 commenti

  1. Paolo

    Caro Enzo ho provato a calcolare le ordinate dei punti che annullano la derivata prima della funzione y= x³ + 3x² + 2x e a disegnare le diverse figure. :mrgreen:

    Parto dai calcoli, poi per il resto solo Figure: 8) 8)

    Ponendo 1/√3 =t , l'ordinate del primo punto con x1= -1 -1/√3, ossia (-1 -t) vale:
    y1 = (-1 - t )³ + 3 (-1 - t )² +2 (-1 - t ) = (-1 - t ) ((-1 - t )² + 3 (-1 - t ) +2)=
    y1 =(-1 - t ) ((1 ² + t ² -2 (-1) (t) + -3 +3t +2)=
    y1 =(-1 - t ) ((1 + t ² +2 t -3 - 3t +2) = (-1 - t ) (t ² -t ) =
    y1 = - t ² +t - t³ +t ² = t - t³ = t (1 – t²)
    sostituendo a t il valore iniziale, ossia 1/√3, si ottiene:
    y1 =1/√3 ((1 – 1²/√3²) = 1/√3 (1 – 1/3) =
    y1 = 1/√3 (3 – 1)/3 = 1/√3 2/3 = 2/3√3 = 2/5,19 = +0,38

    L'ordinate del secondo punto con x2= -1 +1/√3, vale:
    y2 = (-1 + t )³ + 3 (-1 + t )² +2 (-1 + t ) = (-1 + t ) ((-1 + t )² + 3 (-1 + t ) +2)=
    y2 = (-1 + t ) (1 ² + t ² + 2 (-1) (t) -3 +3 t +2)=
    y2 = (-1 + t ) (1 + t ² - 2 t -3 +3t +2)= (-1 + t ) ( t ² + t) =
    y2 = - t ² -t + t ³ + t ²= -t (1 – t²)
    sostituendo a t il valore iniziale, ossia 1/√3, si ottiene:
    y1 =-1/√3 ((1 – 1²/√3²) = -1/√3 (1 – 1/3) =
    y1 = -1/√3 (3 – 1)/3 = -1/√3 2/3 = - 2/3√3 = - 2/5,19 = - 0,38

    Come promesso questa è la figura che rappresenta la prima funzione, anche in questo caso ho disegnato solo i punti che distano 0,1 x uno dall'altro, così si può notare l'andamento della curva.

    http://www.astrobin.com/full/215950/0/

    La seconda figura invece si riferisce alla seconda funzione, ossia y= x³ + 3x² + 4x, che non ha Minimi o Massimi reali, ma solo un Flesso Obliquo Ascendente (purtroppo questa figura è un po' sacrificata e il flesso compare quasi al bordo inferiore dell'immagine, ma ciò è dovuto alla scelta che ho fatto di non modificare la scala dell'immagine al fine di apprezzare meglio le differenze tra le diverse funzioni...)

    http://www.astrobin.com/full/215950/B/

    La Terza figura mostra l'ultima funzione, ossia y= x³ + 3x² + 3x, anche in questo caso non ci sono Minimi o Massimi, ma il Flesso è orizzontale, ossia la derivata prima si annulla in un solo punto, su cui come si nota la curva si sofferma molto.... essendo poi questo punto proprio quello che annulla anche la derivata seconda XF= -b/3a, si ha un bel Flesso Orizzontale Ascendente

    http://www.astrobin.com/full/215950/C/

    Per evitare che il sito blocchi il post per eccesso di immagini, l'ultima parte del ragionamento la continuo nel prossimo post. :arrow:

    Paolo

  2. Paolo

    La mia solita curiosità mi ha spinto a vedere come cambia la funzione usando un valore di c non solo più basso di 2, ma anche negativo, ossia c=-1.
    In tal caso l'importante relazione (b² – 3ac) diventa:
    3²– 3(1) (-1)
    9 +3 = 12

    Essendo 12 maggiore di zero, non si incorre in numeri immaginari (radice quadrate di numeri negativi), e la funzione diventa y= x³ + 3x² -x con a=1; b=3 e c=-1.

    Per trovare l'ascissa dei punti che annullano la derivata prima, y’ = 3x² +6x -1, basta usare la formula generale: x1,2 = (-b ±√(b² – 3ac))/3a
    Quindi:
    x1 = -1 - √12/3 = -2,154
    x2 = -1 +√12/3 = +0,154

    L'ordinate del primo punto con x1= -1 - √12/3, usando il sistema (-1 -t) ponendo
    t= √12/3, vale:
    y1 = 8√12/9 +3 = 3,08 + 3 = +6,079
    L'ordinate del secondo punto con x1= -1 +√12/3= 0,1547
    y2 =-8√12/9 +3 = - 0,079

    La derivata seconda, vale:
    y” = 6x + 6
    0 = 6x + 6 la derivata seconda si annulla quando:
    xF = - 6/6 = -1
    e yF = 3

    Il comportamento della derivata seconda indica che:

    Il primo punto Max (-2,154; +6,08) è un Massimo, dato che la derivata seconda inserendo l'ascissa del punto, restituisce un valore negativo;

    Il secondo punto Mi (+0,154; -0,079) è un Massimo, dato che la derivata seconda inserendo l'ascissa del punto, restituisce un valore positivo;

    IL Flesso Obliquo naturalmente, è ascendente poiché la derivata seconda passa da negativa per valori inferiori a xF a positiva.

    Infine l'equazione della retta tangente il punto di Flesso, diventa:
    y = -4x -1
    e il suo coefficiente angolare è m=-1

    Ed ecco la figura in cui si nota come si sia allargato il divario tra minimo e massimo, presumo proprio a causa del risultato positivo crescente fornito dalla relazione (b² – 3ac).

    http://www.astrobin.com/full/215950/D/

    Paolo

  3. caro Paolo,
    dovremmo mettere insieme tutti i tuoi calcoli e rappresentazioni grafiche come dimostrazione che la matematica può essere un vero divertimento mentale (quando si ha a disposizione e si ha voglia di usare la materia prima...)!!!
    Grande!!! :-P

  4. Paolo

    Caro Enzo a mio avviso spesso la matematica viene presentata come una serie di formule da ricordare a memoria ed applicare.

    Purtroppo una simile impostazione/rappresentazione ne uccide l'essenza. :cry:

    Nei tuoi molteplici articoli sulla matematica (delle vere e proprie lezioni) hai sempre cercato di mostrare come si arriva a queste dogmatiche formulette, svelandone l'anima.

    Per esempio una cosa è conoscere le due soluzioni di un'equazione di secondo grado completa:
    a² + bx + c = 0
    x= (-b +/-√√(b² - 4ac))/2a

    altro è capire come si ricava, in fondo bastano pochi passaggi per arrivare alla soluzione, come hai perfettamente esposto in questo articolo (breve)

    http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2014/05/30/23-le-equazioni-di-secondo-grado/

    Così il re è nudo, i dogmi scompaiono e lasciano il posto alla comprensione, per cui quel risultato non è qualcosa da prender per buono, ma un'ovvia conseguenza, una logica soluzione, o meglio soluzioni visto che ve ne sono due, all'equazione di partenza...

    Presa così la matematica diventa comprensibile anche a chi come me non ha grandi basi alle spalle, anzi.......ed è capace di mostrare anche il suo lato divertente...... :-P

    Paolo

  5. Daniela

    Non sai quanto condivido la tua riflessione, Paolo, sull' "uccisione" della matematica a scuola... io stessa ne sono stata vittima ed è triste comprendere, a distanza di troppi anni, quanto gli anni passati a scuola avrebbero potuto essere più divertenti e proficui!

    Tanto per farti un esempio, quando iniziai la facoltà di Economia, invece di affrontare subito l'esame di Matematica 1 (come il buon senso avrebbe suggerito, proveniendo la liceo scinetifico), lo rimandai a tempo indeterminato perché i docenti svolgevano lezioni incomprensibili e gli esami venivano superati da pochi eletti.
    Finalmente, dopo alcuni anni, arrivò il prof. Villanacci che ribaltò la situazione: spiegazioni chiare, tante esercitazioni in classe, esame suddiviso in tre prove scritte anziché una, esercizi non facilissimi ma affrontabili (il livello un po' meno difficile degli esercizi era controbilanciato dal minore tempo dato per lo svolgimento, quindi era necessario esercitarsi molto ed avere dimestichezza con la materia per superare le prove) e, dulcis in fundo, era pure simpatico!
    Morale: corso stracolmo di studenti, al termine delle tre prove ci vollero ore per verbalizzare il voto sui libretti di chi aveva superato l'esame (tra cui la sottoscritta con un bel 26 - per un errore stupido sui limiti, altrimenti avrei preso di più :-D ) e non indovinerai mai il premio riservato dalla Facoltà al professore... assegnazione di qualche ricercatore in più? Neanche per idea: fu rimosso dal corso di Matematica 1 (obbligatorio per tutti i piani di studio) e assegnato all'opzionale e sconosciuto Matematica delle assicurazioni!! :(

    Qualunque altro commento appare superfluo... :roll:

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