Gen 15

48. Perché gli integrali sono più difficili delle derivate *

Le derivate comportano sicuramente dei problemi quando le funzioni sono piuttosto complesse. Tuttavia, con un po’ di attenzione e di pazienza, si riesce a portare a compimento l’esercizio. Insomma, le derivate spaventano, ma non poi tanto. Dovrebbe succedere lo stesso con gli integrali che sono l’operazione inversa. E, invece, come tutte le operazioni inverse, le difficoltà crescono di molto. Non è, quindi, assurdo giudicare gli integrali ben più ostici delle derivate. Capita a tutti, anche ai migliori matematici…

Prima di andare avanti con il calcolo degli integrali indefiniti, fermiamoci a riflettere su un problema molto comune in matematica: l’operazione inversa.

Consideriamo l’operazione più semplice in assoluto: la somma di due numeri interi positivi. Essa è sempre possibile. Qual è l’operazione inversa? La differenza… E qui sorge il primo problema. Se eseguiamo la differenza di due numeri postivi NON è detto che il risultato sia un numero positivo. In poche parole, per potere applicare l’operazione inversa è necessario introdurre dei numeri speciali, quelli negativi.

2 + 3 = 5

2 – 3 = ?

Dobbiamo “inventarci” il numero negativo – 1

Passiamo al prodotto. Moltiplicando due numeri interi, sia positivi che negativi (ormai li conosciamo), si ottiene sempre un numero intero. L’operazione inversa (la divisione) non garantisce lo stesso risultato e si devono introdurre i numeri frazionari o  -se preferite- decimali.

5 · 7 = 35

7/5 = ?

Dobbiamo inventarci il numero decimale 1,4.

Continuiamo con il quadrato e la radice quadrata. E’ sempre possibile eseguire il quadrato di un numero, qualsiasi esso sia, ma non è sempre possibile eseguire la radice quadrata di un numero qualsiasi. Provate, infatti, a fare la radice quadrata di un numero negativo… Per ottenere comunque un risultato è necessario introdurre i numeri immaginari.

(8) 2 = 64

(-8)  2 = 64

√ 64 = 8

√ -64 = ?

Dobbiamo inventarci il numero i = √ (-1) e scrivere

√ (- 64) = √ (- 1) · √ (64) = i 8

E’ inutile proseguire: le operazioni inverse creano sempre dei grossi problemi.

La stessa cosa avviene per la derivata e l’integrale.

Data una funzione continua è sempre possibile calcolarne la derivata (al limite dà come risultato zero). E’ altrettanto facile fare l’operazione inversa? Sicuramente no. Per come è definito l’integrale è necessario che la funzione su cui si opera sia una derivata. Magari lo è anche, ma non è banale trovare la funzione che l’ha generata.  Si cerca di maneggiare in tutti i modi la funzione da integrare, utilizzando le varie proprietà, ma non sempre si riesce.

In casi disperati si ricorre, se possibile, allo sviluppo in serie della funzione da integrare. Essendo composta da una somma di potenze è relativamente facile determinare gli integrali dei vari termini e poi sommare.

Con l’avvento dei calcolatori si sono aggiunte le integrazioni numeriche che sfruttano piccoli intervalli in cui la funzione viene approssimata con qualcosa di decisamente più semplice. Un caso classico è quello del moto di un oggetto perturbato da n corpi. Nei periodi in cui i “rompiscatole” sono distanti si possono fare approssimazioni drastiche, che poi si devono rendere estremamente più raffinate, quando ci si avvicina a un compagno di viaggio.

In poche parole, per risolvere problemi di meccanica celeste con n corpi in azione (ma ne bastano solo tre)  il calcolo analitico dell’integrale diventa un problema insormontabile, tranne che in casi particolari (vedi punti lagrangiani).

Queste semplici considerazioni vogliono portare a una conclusione altrettanto banale nella sua “schiettezza”: calcolare un integrale indefinito è un’impresa decisamente più complicata del calcolo di una derivata. Non sentitevi, perciò, “ignoranti” se un integrale vi sembra un muro invalicabile. Lo è anche per molti professionisti…

In ogni modo, prima di passare alle serie o alle integrazioni numeriche, bisogna provare e riprovare. Le difficoltà non devono essere considerate degli … alibi!

 

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12 commenti

  1. Daniela

    Okkio Prof... l'8 accanto a parentesi e trattino è stato trasformato in faccina con gli occhiali.

    Oppure l'hai fatto apposta per far diventare gli intergarli un po' più divertenti???  :lol:

  2. umberto

    per dirlo in altro modo la matematica (i teoremi del calcolo integrale) ci assicurano che esiste una primitiva di una funzione continua (che non é altro che l'area sottesa con un estremo lasciato libero) ma nessuno può garantirci quale sia

     

  3. cara Dany... è stato duro toglierlo (ho dovuto lasciare uno spazio in più) !!!  :mrgreen:

  4. Daniela

    Eh sì, quando si scrive un 8 vicino a delle parentesi il "rischio faccina" è sempre in agguato!!

    E il bello è che te ne accorgi solo dopo avere pubblicato, se no che sorpresa sarebbe??

    :-D

  5. Mik

    Curiosità Enzo, ma è dimostrato che non esiste una procedura meccanica per il calcolo degli Integrali pari a quella che esiste per le derivate? (ovviamente parlo di funzioni "tradizionali", non robe patologiche). Per fare un parallelo, c'è un equivalente del teorema di Abel Ruffini che in algebra dice che non esistono formule risolutive delle equazioni dal quinto grado in su?  Oppure un giorno un novello Gauss potrebbe stupire il mondo matematico con effetti speciali? (Gauss che comunque a suo tempo sugli Integrali ne ha dette eccome...).

  6. caro Mik,

    non credo esistano procedure meccaniche... (che io conosca). Ma penso che tutto il fattibile sia stato fatto. Certe espressioni sono decisamente impossibili da integrare e ci si deve accontentare degli sviluppi in serie che, comunque, possono essere estremamente accurati.

  7. Giulio Pelli

    Scusatemi, lungi da me offendere nessuno e capisco che a volte sia utile semplificare nozioni di matematica per far digerire meglio la materia agli studenti, ma definire l'integrale come operazione inversa della derivata è qualcosa di abominevole. Non è corretto e non dovrebbe passare questo messaggio. Nessun tipo di integrale è l'operazione inversa della derivata.

    Posso capire che in Fisica si tenda a semplificare termini matematici a favore di argomenti più complessi e pertinenti alla materia, ma scrivere un articolo presentando l'integrale come un'operazione inversa al pari di sottrazione e divisione è oltremodo oltraggioso. Lo dico col cuore, in quanto amante e ricercatore di Matematica.

    Giulio

  8. caro Giulio, andare contro quello che dice apertamente il teorema fondamentale del calcolo integrale mi sembrava ancora più osceno...

    ...il valore dell'integrale di una funzione, a partire da un punto fisso fino ad un punto variabile  del suo dominio, equivale esattamente a trovare una primitiva della funzione stessa...

    Fare esempi esplicativi con funzioni inverse di tipo molto più comune, mettendo bene in chiaro cosa si stia facendo, io la chiamo divulgazione semplice. Anche la matematica ha il diritto e il dovere di essere capita e non rimanere appannaggio di pochi eletti. Figuriamoci se avessi fatto così con la relatività e con la MQ...

  9. Giulio Pelli

    Nessuno sta andando contro il teorema. Derivata, Primitiva e Integrale (definito, indefinito, di Lebesgue...) hanno definizioni proprie e nessun integrale può essere chiamato "l'operazione inversa della derivata", è una definizione che fa comodo ma non è corretta. Poi, che grazie al Teorema fondamentale del calcolo integrale si metta in relazione l'integrale con la ricerca di una primitiva nessuno lo mette in dubbio, ma questo continua a non significare che l'integrale sia l'operazione inversa della derivata. E' sottile la linea che divide questi concetti ma esiste eccome.

     

  10. Forse hai considerato questo circolo come un corso di analisi matematica... ritengo più che sufficiente impostare il problema in termini che siano comprensibili e sicuramente non colpiti da errori tali da inficiare una conoscenza abbastanza precisa dei concetti principali. Nel tuo corso di lezioni fai bene a spostare anche il pelo nell'uovo, qui da noi basta e avanza. Almeno non facciamo gli errori dei tuttologi televisivi e non ci ritiriamo in torri d'avorio a mostrare a pochi quanto siamo bravi...

    A ognuno il suo compito... io sono contento e fiero del mio, anche ammettendo pubblicamente che la derivata può essere tranquillamente considerata l'inverso dell'integrale. Basta provare... Prendi una funzione, gli fai la derivata e poi l' integrale. Il risultato è la funzione di partenza, così come quando sommi e togli un numero o fai il quadrato di una radice quadrata...

    Pensiamo all'ignoranza macroscopica che c'è in giro e non a togliere le foglioline dal prato durante una tempesta di vento autunnale...

  11. caro Giulio,

    aggiungo che, tralasciando siti amatoriali e la versione italiana di wikipedia (spesso scritta da inesperti), preferisco riferirmi a wiki inglese, curata direttamente da professionisti o a siti ben più seri.

    Vai a cercare la definizione di "integral" su wikipedia inglese e su questo sito (tra i tanti) http://mathworld.wolfram.com/Integral.html

    Parole come "antiderivative" e "the operation of integration is the reverse of differentiation" sono all'ordine del giorno...

    Fammi sapere come finirà la tua crociata contro di loro. Non vedo l'ora di imparare qualcosa di più, con umiltà e voglia di conoscere... Buon lavoro!

     

  12. Giulio Pelli

    Prendi una funzione, ne fai la derivata, ne fai l'integrale indefinito (se calcolabile esplicitamente) e NON ottieni la funzione di partenza ma un insieme di funzioni (tra cui certamente anche quella di partenza). Ma questo, ripeto, è la potenza del Teorema che collega i due concetti ma non è una definizione.

    In lingua inglese chiamano la primitiva (una sola particolare) come antiderivata e anche là poi sicuramente ci saranno persone che per comodità diranno che l'integrale indefinito è l'antiderivata, ma rimane un errore.

    Wikipedia ad esempio fa proprio questo errore e se leggi attentamente nelle note in cui parla dell'antiderivata, si vede chiaramente che non vi è alcuna fonte affidabile...

    Buon lavoro anche a te :)

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