22/11/16

QUIZ: Mancato… No, colpito! Impossibile… Un paradosso relativistico? ****

Un bel problemino relativistico (RR) che sembra portare a un paradosso. Un’attenta analisi dei fatti, però, fa rientrare tutto nelle regole… Einstein , per questa volta, si salva. Io lo giudico abbastanza difficile (rispetto a quello della volta scorsa). A voi smentirmi, come fate di solito!

Consideriamo, nuovamente, le nostre due astronavi A e B di lunghezza uguale (Lo). Esse viaggiano una contro l’altra lungo l’asse x, separate da una piccola differenza in y, in modo da non scontrarsi. Ciascuna vede l’altra avvicinarsi con una velocità u (Fig. 1).

Figura 1
Figura 1

Se ci poniamo su A, quando la coda di B tocca la punta di A, un missile viene sparato dalla coda di A verso B (Fig. 2a). Ovviamente il missile andrà a vuoto, a causa della contrazione della lunghezza di B, visto da A.

Figura 2
Figura 2

Tuttavia, se ci poniamo su B, la stessa situazione porterà a un colpo vincente del missile di A (Fig. 2b). Attenzione: poniamo uguale a zero il tempo che il missile compie per andare da A a B.

Assurdo! Siamo in relatività ristretta ed entrambi i sistemi devono vedere lo stesso fenomeno, ossia anche B deve concludere che il missile non può colpirlo o viceversa. Chi ha ragione? E perché?

Consiglio di svolgere il problema identificando una serie di eventi E(xA,tA) nel sistema di A e, poi, utilizzare le trasformazioni di Lorentz per ottenere gli stessi eventi nel secondo sistema E(xB,tB)

Il mistero si risolve con dei confronti e con un po’ di ragionamento…

In un secondo tempo (ma non subito, per favore), si potrebbe anche rappresentare graficamente con Minkowski… Ma, prima, esercitiamoci con gli eventi e le loro trasformazioni.

13 commenti

  1. Pippo

    Ti diverti, eh?

    ho risolto il problema, non senza fatica, ma sono ancora messo male, ho solo il telefonino, e non riesco a scrivere formule o fare disegni. Lo farò una volta tornato a casa!

    per ora dico solo che nessuno si fa male ...e non c' è paradosso!

    si vede bene dal diagramma di Minkowski...!

    Spero che altri risolvano presto!

    saluti

  2. non vedo l'ora, Pippo... per due motivi: dirti bravo  e saperti in forma!!!! :-P

  3. Arturo Lorenzo

    Salve Pippo, ti auguro anche io una veloce guarigione (in questo caso una violazione del limite di c ci può stare  :-D  )

    In merito al quiz, a ben guardarlo a me somiglia molto al paradosso dello sciatore velocista relativistico (cade o non cade nella buca lunga quanto i suoi sci ?...). E' vero che qui si muove sia l'astronave A che l'astronave B. Però, mi impedisce qualcosa di considerare A ferma e  B in moto verso A con velocità u ?

  4. Umberto

    Chiaramente se consideriamo A fermo  il missile non colpisce B , ovvero la proiezione degli estremi di A contiene  B che da fermo ha lunghezza uguale ad A, ma in movimento viene visto da A come di lunghezza ridotta. Il viceversa non sembra vero; se da B considerato fermo guardo A ; se uno degli estremi coincide, essendo A ridotto la coda sembra cadere internamente a B (è così il missile lanciato con velocità infinita). se considero due eventi simultanei per A (lancio missile e allineamento testa di A con coda di B ) non lo sono per B; ma la lunghezza di B è data da due eventi simultanei per B; se prendiamo come istante di azzeramento l'allineamento testa A-coda B , applicando le trasformazioni di Lorentz trovo che il missile è stato lanciato prima da A, quando la coda di B era ancora fuori portata

    c\cdot \Delta t_{A}=\gamma (v)(c\Delta t_{B}-\beta (v)\Delta x_{B})

    ma \Delta t_{B}=0, \Delta x_{B}=L_{0} lunghezza propria; sostituendo :

    \Delta t_{A}=-\gamma (v)L_{0}\beta (v)/c)=\gamma (v)L_{0}\frac{v}{c^{2}}, cioè il missile è partito prima dalla coda di A.

    Dobbiamo vedere dove si trovava la coda di A in tale istante; in questo tempo ha percorso uno spazio pari a \Delta x=v\cdot \Delta t_{A}=-\gamma (v)L_{0}\frac{v^{2}}{c^{2}}; per ottenere la posizione totale bisogna sommare questa (in valore assoluto) con la lunghezza L di A vista sempre da B,

    L=\frac{L_{0}}{\gamma (v)},

    ,\gamma (v)L_{0}\frac{v^{2}}{c^{2}}+\frac{L_{0}}{\gamma (v)}=L_{0}(\gamma (v)\frac{v^{2}}{c^{2}}+\frac{1}{\gamma (v)})

    ho fatto dei conti, sostituendo a gamma la sua espressione in funzione di c e v; questa quantità risulta maggiore i Lo

     

  5. aspetterei il ritorno in forma di Pippo, anche se posso anticipare che la sequenza temporale degli eventi in un sistema può essere diversa in un altro... provate pure a usare Minkowski, se volete... :wink:

  6. Pippo

    Piccolo suggerimento, purtroppo solo a parole, visto che sono a letto e non posso fare disegni, ma siete comunque bravi!

    È vero che si muovono entrambi , ma rispetto a chi ? Non ci interessa ! Allora nulla vieta di assumere B "in quiete" (notate le " ) e A in moto relativo , supp. verso destra, rispetto a B. Fate un diagramma di Minkowski per B: gli estremi percorrono due linee di universo parallele all'asse t verticale, la loro distanza è la longhezza propria L0 della nave B. La striscia verticale di piano compresa è la "striscia " o "tubo " di universo di tutta la nave.

    Adesso disegnate la striscia di universo della nave A, che sarà inclinata verso destra di arctg v rispetto alla verticale.

    Le due striscie di universo si intersecano, bisogna capire che cosa rappresentano i punti di intersezione delle linee terminali di B e di A. Poi bisogna individuare  la lunghezza propria L0 di A e la sua lunghezza contratta: chiaramente la propria è parallela a x' , asse spaziale di A , la contratta è parallela invece a x , asse spaziale di B .

    E poi bisogna ragionare: quando la punta di A è nella coda di B , parte il missile trasversale dalla coda di A , ma dove si trova questo " evento" ?

    È fuori o dentro la striscia di universo di B?

    Eccetera....disegnando il diagramma di Minkowski nel rifermento di A , le cose non devono cambiare !Gli eventi sono sempre gli stessi, visti da due OI diversi!

  7. Pippo, sei stato più che preciso ed è per questo che sono deciso a mandare avanti la proposta appena pubblicata. Spero che tu sarai dei NOSTRI! Pensa, però, a guarire meglio... sei troppo prezioso... :mrgreen:

  8. Umberto

    non avevo parlato di diagrammi di Minkowski perchè era stato richiesto esplicitamente di non usarli, e di usare le trasformazioni di Lorentz; è chiaro che si "vede" meglio anche il mio tentativo di spiegazione.Cercherò di completare al più presto.

  9. Simone Lotti

    Vorrei provare anche io a risolvere il quiz… ma non sono sicurissimo che sia tutto corretto.

    Premetto che possiamo considerare ciascuna astronave ferma nel suo sistema di riferimento, e considerare sempre e solo l’altra astronave muoversi a velocità v.

    Nel caso specifico considero l’astronave A fissa, e l’astronave B’ in moto.

    Premetto che ciò che avviene in un sistema deve essere visto allo stesso modo dall’altro sistema.

    Considero le astronavi A e B’ entrambe lunghe 1 nel proprio sistema.

    La velocità relativa è pari a v=0.6c

    Considero che quando la punta di A coincide con la coda di B’ si ha:

    Xpunta_a = X’coda_b’ = 0   e i relativi orologi posti in quei punti segnare Tpunta_a = T’coda_b’ = 0.

    Se considero un altro orologio posto sulla coda di A sincronizzato con quello della punta, quando entrambi segnano zero parte il missile dalla coda di A. (Tpunta_a = Tcoda_a = 0)

    Analizzando dal sistema fisso il missile non colpirà l’astronave B’, perché quest’ultima risulta essere contratta, e quindi essere più corta di A.

    Analizzando dal sistema in moto, si dovrebbe dire il contrario, ovvero l’astronave A è più corta di B’ e quindi dovrebbe verificarsi l’impatto.

    Così non è, perché la simultaneità degli eventi vista dal sistema in moto è diversa.

    Dal punto di vista di B’, quando la punta di A coincide con la coda di B’, l’orologio sulla punta di A segna zero, esattamente come l’orologio sulla coda di B’, ma in quel preciso istante l’orologio posto sulla coda di A visto da B’ non segna più zero, ma un valore maggiore.

    Non è in quell’istante che parte il missile nel sistema di riferimento di B’.

    Rispetto B’ i due orologi posti rispettivamente sulla punta e sulla coda di A, non sono sincronizzati.

    Siccome che lo stesso fenomeno deve essere visto allo stesso modo, ovvero se il missile parte quando l’orologio posto sulla coda di A segna zero, la stessa cosa deve essere vista da B’, ma quando ciò avviene la coda di A vista da B’ si trova in una altra posizione, ovvero fuori dall’ingombro dell’astronave B’.

    Anche visto da B’ non avviene nessun impatto.

    Provo a fare qualche diagramma di Minkowski.

    Nel primo disegno traccio gli assi, l’iperbole di calibrazione, e disegno le astronavi (sono la freccia rossa e arancione).

    Spero che si capisca.

     

     

     

    Analizzando il secondo grafico dal punto di vista di A, si capisce che, quando la punta di A coincide con la coda di B’, la punta di B’ si trova a X=-0.8 (contrazione delle lunghezze).

    Se in quel istante (Tpunta_a = Tcoda_a = 0) parte il missile dalla coda di A, non colpirà mai l’astronave B’, dato che la punta di B’ si trova a X=-0.8, mentre la coda di A si trova a X=-1.

     

     

     

     

    Ma se analizziamo il terzo grafico dal punto di vista di B’, è l’astronave A ad essere contratta (X’=0.8 contro X’=1 della propria lunghezza nel proprio sistema).

    Ma è anche vero che in quel istante, quando la coda di A si trova a X’=0.8 il suo orologio segna T=0.6.

    Il missile è già partito da un po’di tempo, dato che parte a T=0.

     

     

     

     

    Quindi passiamo all’ultimo grafico, ovvero torniamo un po’ indietro nel tempo, e verifichiamo quanto segue.

    Nel sistema di A, quando T=0, la punta di B’ si trova a X=-0.8(come avevo già detto), quindi nessun impatto.

    Nel sistema di B’, in quel istante, T’ vale -0.6, e la punta di B’ si trova a X’=1 (notare che è sempre 1 indipendentemente dal suo tempo dato che l’astronave B’ rispetto al suo sistema è ferma e si muove solo nel tempo).

    Ma la coda di A si trova a X’=1.25, ovvero maggiore di 1 che è la lunghezza dell’astronave B’ misurata nel suo sistema.

    Non può avvenire nessun impatto, anche visto da B’.

    Spero di non aver fatto errori grossolani.

    Un saluto a tutti.

     

     

     

  10. caro Simone, potresti farmi vedere la contrazione di A vista dal sistema di B, nell'ultima figura?

  11. Simone Lotti

    Mi sa proprio che l’ultimo grafico sia sbagliato :oops: … non ho pensato quadrimensionalmente (citazione di un vecchio film…).

    Il seguente grafico dovrebbe essere corretto (spero).

    Analizzando meglio cosa è simultaneo nel sistema di B’, si ha quanto segue.

    Quando nel sistema B’ il tempo vale T’=-0.75, la coda di A segna T=0 (quindi parte il missile), ma visto da B’ si trova a X’=1.25.

    Ma dato che la punta di B’ si trova sempre a X’=1 nel suo sistema, non avviene l’impatto.

    Invece la punta di A si trova a X’=0.45 e il suo orologio segna T=-0.6.

    Si nota che la lunghezza di A visto da B’ è 1.25-0.45=0.8.

    Spero di averci preso, dopo una giornata faticosa di lavoro non sono proprio lucido al 100%.

    Ciao.

     

     

  12. Simone Lotti

    Va bene il nuovo grafico, o è sbagliato?

  13. caro Simone,

    direi che ci siamo... comunque oggi stesso esce la soluzione e potrai controllare direttamente... :wink:

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