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27/12/16

Fabricius e la pietra Lagrangiana (di Fabrizio)

Seguendo gli articoli di Enzo ho notato che citava l'utilizzo della "lagrangiana" per la trattazione del problema http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2016/09/24/la-doppia-doppia-ragnatela-dallenergia-ai-lobi-di-roche/. Avevo già visto citato questo misterioso oggetto anche da altri che ne parlavano come di una cosa fondamentale nella fisica classica e, ancora di più, nella fisica moderna. A grandi linee sapevo di cosa si trattasse, ma non avevo mai approfondito l'argomento. La citazione di Enzo mi ha incuriosito ulteriormente e ho cercato di capire meglio cosa fosse questa lagrangiana.

Per ordinare quanto sono riuscito a capire ho provato a metterlo per scritto, questo articolo nasce da questi appunti. Non sono certo una lezione di fisica, ma solo gli appunti di un autodidatta che vorrei condividere e mettere a confronto con il circolo.

Come nei trailer dei film anticipo le scene principali.

 

animazione_75

Ho giocato un po' con Harry Potter. Ovviamente non c'è nulla di magico nella lagrangiana, ma alcune volte, da come escono alcune soluzioni, sembra che un po' di magico ci sia. Non esageriamo con queste fantasie perché già Maupertuis fu preso di mira dalla satira di Voltaire per avere dato una interpretazione troppo sopranaturale al precursore della lagrangiana, non vorrei che se la prendesse anche con me.

La lagrangiana è una espressione matematica che racchiude in se tutto quello che c'è da sapere sul sistema. Una specie di DNA del problema o, visto in altro modo, lo stato del sistema che stiamo studiando. Fu trovata da Lagrange, da qui il nome, e pubblicata nel 1788 nel suo libro dal titolo "Meccanica Analitica".

 

figura_1_100

Per racchiudere il problema nella lagrangiana in qualche modo si usa la parola magica KappaU, infatti occorre mettere insieme energia cinetica (K) e energia potenziale (U).

La lagrangiana sarebbe interessante, ma poco utile se non avessimo uno strumento per estrarre la soluzione da questa espressione, la nostra luce Eulgrange. Lagrange ci ha dato anche questo, aiutato da Eulero. Questo strumento è fatto di una equazione, denominata equazione di Eulero-Lagrange, nella quale inserire la lagrangiana per ottenere la soluzione, cioè la posizione nel tempo delle componenti del sistema fisico che stiamo esaminando. Un caratteristica importante di questa equazione: è sempre la stessa indipendentemente dal sistema di riferimento e dalle coordinate scelte. Quindi il riferimento potrebbe essere inerziale o non; le coordinate cartesiane o di qualsiasi altro tipo. Unico vincolo è quello di usare il minimo numero di coordinate possibili per il problema, se tutti i vincoli fossero così!

Quello che mi ha sorpreso è che esista una espressione che abbia queste "magiche" proprietà. Ancora più sorprendente è che una lagrangiana esiste non solo per sistemi che sono trattabili con la meccanica classica, ma anche quando c'è di mezzo l'elettricità ed il magnetismo, quando la fisica classica non basta più ed occorre ricorrere alla meccanica quantistica o alla relatività. Anzi sembra che più si vada avanti e più la lagrangiana diventi importante. Per di più lo strumento per estrarre le soluzioni rimane sempre lo stesso. Monsù Giüsep aveva visto lontano!

Verrebbe da pensare che esiterà pure una espressione di questo genere, ma se ci sono voluti Lagrange ed Eulero per trovarla, sarà una cosa talmente complicata che è meglio lasciare perdere!

Invece non è poi così complicata, almeno in molti casi trattabili con la meccanica classica. Si tratta di ricorrere a due grandezze già viste in altri articoli: l'energia cinetica e l'energia potenziale.

Lagrangiana=energia cinetica – energia potenziale o utilizzando simboli spesso impiegati

\LARGE {\color{Red} \mathfrak{L}=K-U}

Attenzione al segno meno, non è un errore di battitura! Non è il segno più, che darebbe l'energia totale, almeno nei casi dove posso trascurare l'effetto degli altri tipi di energia. È proprio meno.

Cosa sono l'energia cinetica e l'energia potenziale è ben spiegato all'interno di questo articolo http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2016/09/24/la-doppia-doppia-ragnatela-dallenergia-ai-lobi-di-roche/  a partire da dove è collocata la figura con Maga Magò e Mago Merlino. Vedremo negli esempi come l'energia cinetica possa dipendere dal sistema di riferimento. Occorre fare attenzione ad utilizzare l'energia cinetica come vista da un riferimento inerziale.

Per entrare meglio nello spirito del metodo di Lagrange può essere utile sentire dallo stesso Lagrange quali erano le sue intenzioni come le scrisse nella introduzione del suo libro "Meccanica Analitica":  "Ridurre la teoria della meccanica … a delle formule generali, il cui semplice sviluppo fornisce tutte le equazioni necessarie per la risoluzione del problema" e nelle avvertenze al lettore "I metodi che espongo non richiedono né costruzioni geometriche né ragionamenti geometrici o meccanici, ma soltanto operazioni algebriche". Per questa ragione nel libro non ci sono figure.

figura_2_100

Non vorrei essere stato uno studente del prof. Lagrange!

Devo dire che c'è un limite a quanto ho affermato sopra. Non tutti i sistemi meccanici sono completamente racchiudibili in una Lagrangiana. Per esserlo, non ci devono essere forze come l'attrito che non generano (o non sono dovute a) una energia potenziale. Questo non preoccupa molto i fisici che si occupano di fisica fondamentale perchè li non c'è l'attrito. Ma anche in molti altri casi i fenomeni di attrito possono essere trascurati, almeno fino ad una certa approssimazione. Questo comunque non impedisce l'applicazione del metodo di Lagrange, poiché può essere applicato anche quando ci sono queste altre forze.

 

Riassumo quanto ho detto finora:

  • la lagrangiana è una espressione che racchiude lo stato di un sistema fisico;
  • per i sistemi meccanici la lagrangiana è energia cinetica – energia potenziale;
  • esiste uno strumento per estrarre l'equazione del moto dalla lagrangiana, l'equazione di Eulero-Lagrange;
  • l'equazione di Eulero-Lagrange ha la stessa forma nei riferimenti inerziali e nei riferimenti non inerziali, con le coordinate cartesiane o polari o di qualsiasi altro tipo di coordinate.

Con questo per ora mi fermo. La prossima volta ci saranno alcuni semplici esempi per esplorare le forme che assume la lagrangiana in diversi sistemi di riferimento e con diversi tipi di coordinate. Poi entrarà in scena l'equazione di Eulero-Lagrange che, come ogni ospite di riguardo, sarà preceduta da una adeguata presentazione.

Intanto vi lascio un piccolo quiz.

Quale è la lagrangiana di un corpo lasciato cadere verticalmente sulla superficie terrestre idealmente sotto la sola forza di gravità? Approssimiamo la superficie terrestre ad un riferimento inerziale.

Fabrizio

 

La serie completa degli articoli sulla Lagrangiana la trovate QUI

4 commenti

  1. maurizio

    indicando con x la distanza del corpo dal piano di riferimento (superficie terrestre), direi che

    K =  1/2 m  (d(x)/(dt))^2     e   U= mgx     quindi  L = 1/2  (x')^2  -  mgx

     

     

  2. Umberto

    prova.

    Fabrizio ha dei problemi a rispondere ai commenti a questo articolo.

  3. Bravissimi! Va molto bene spezzettato così... permette di digerire molto bene i vari passaggi...

    Quasi quasi mi posso ritirare in pensione dalla ... pensione!

    Daniela e io siamo insieme a chiacchierare e il Circolo va avanti alla grandissima!!!!

  4. Fabrizio

    Ieri non riuscivo a far apparire le mie risposte che andavano nello spam. Oggi Enzo li ha sbloccati ed i messaggi sono apparsi.  Provo ad inviare nuovamente questa risposta che tra i vari tentativi che ho fatto ieri era finita nel post di Enzo.

    Maurizio,

    aspetterei eventuali altre risposte per mettere a confronto anche la mia risposta.

    Tanto per continuare a ragionare sull'argomento dico che vedo almeno due modi per ricavare questa lagrangiana. Uno più semplice e credo comunque legittimo, ed uno leggermente più complesso. Quello più complesso mi sembra più vicino a quello che dice Lagrange nelle avvertenze al lettore viste sopra. Per non mettere fuori strada dico che non riguarda la scelta delle coordinate cartesiane, né l'approssimazione dell'energia potenziale vicina alla superficie terrestre.

     

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